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椭圆中的最值、定值(一)


椭圆中的最值和定值问题
一 椭圆中的定值问题 由于椭圆只研究中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆问题,故动态椭圆过动 点问题一般不会出现,椭圆中的定值问题包括以下几个方面: 1、与椭圆有关的直线过定点 (1) y ? k ( x ? x0 ) ? y0 表示横过定点 ( x0 , y0 ) 的直线; (2) A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2

y ? C2 ) ? 0 表示过直线 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与
A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点;

2、与椭圆有关的圆过定点问题

x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0 表示横过直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆的方程;
3、与椭圆有关的参数的定值问题 二 椭圆中的最值问题 1、参数的取值范围 由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如 k , a, b, c, ( x, y) 等值的变 化,此类问题主要是根据几何特征建立关于参数的不等式或函数进行求解; 2、由于直线或椭圆的动点引起的长度或面积的变化。此类问题主要是建立参数
(如k或( x, y)) 的函数,运用函数或基本不等式求值;

探究一 与椭圆有关的定值问题 在椭圆中出现的定值问题, 椭圆本身一般为固定的椭圆,主要是椭圆上的动点构 成的直线或与准线有关的动直线过定点问题。
x2 例 1 椭圆 ? y 2 ? 1 的左顶点为 A ,过 A 做两条相互垂直的弦 AM, AN 交椭圆于 4
M , N 两点

(1)当直线 AM 的斜率为 1 时,求点 M 的坐标; (2)当直线 AM 斜率变化时,直线 MN 是否过 x 轴上的一定点;若过定点,请求出 定点坐标,若不过定点,请给出理由。

例 2 椭圆的两焦点分别为 F1 (? 3,0), F2 ( 3,0) ,且椭圆过 (1,

3 ) 2

(1)求椭圆的标准方程; 6 (2)过 (? ,0) 作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆于 M , N 两点, A 为左顶点,试判 5 断 ?MAN 是否为定值; 探究二 与椭圆有关的最值问题 与椭圆有关的最值问题一般建立两类函数: 一是关于 k 的函数, 二是关于点 ( x, y ) 的函数;

例 3 如图,在平面直角坐标系中,椭圆的中心在原点 O ,右焦点 F 在 x 轴上, 椭圆于 y 轴交于 A, B 两点, 其右准线与 x 轴交于点 T , 直线 BF 交椭圆于 C 点,P 为椭圆弧 AC 上一点 (1)求证: A, C , T 三点共线; (2)如果 BF ? 3FC ,四边形 APCB 的最大面积是
6?2 ,求此时椭圆的方程和点 P 的坐标; 3
O B y A P C F T x

探究三 椭圆和圆的综合问题 椭圆和圆的综合问题中, 题目中往往存在多种曲线混合,椭圆以考查标准方程和 离心率为主,而圆中会涉及定值或最值问题。

例 4 如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,其右准线 a 2 b2

l 与 x 轴交点为 T ,过椭圆的上顶点 A 做椭圆右准线的垂线,垂足为 D ,四边形

AF F2 D 为平行四边形 1

(1)求椭圆的离心率; (2)设线段 F2 D 与椭圆交于点 M ,是否存 在实数 ? 使得 TA ? ?TM ?若存在,请求 出 ? 的值,若不存在,请说明理由; (3) B 是 l 上的一动点,若 ?AF2 B 的外 接圆面积的最小值是 4? ,求椭圆的方程;
F1 O A

y D M F2 T x

例 5 (2011 江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1的 4 2

顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴 的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)当直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; y (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB

P B M A N C x

规律提炼 1、定值问题求解策略 (1)可以从一般的情形来论证, 即用类似方程 ax ? b ? 0 恒有解的思路来解决问题; (2)也可以运用从特殊到一般的思路来解决问题,即先求出特殊情况下的值,如 直线的斜率不存在的情况,再论证该特殊情况对一搬情形也成立; 2、最值问题的求解策略 (1)如果建立的函数是关于斜率 k 的函数,要增加考虑息率不存在的情况; (2)如果建立的函数是关于点 ( x, y ) 的函数,可以考虑用代入消元、基本不等式、 三角换元或几何解法来解决问题;

椭 圆 最 值
类型 1:焦点三角形角度最值-------最大角法(求离心率问题) x2 y 2 1. 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 两个焦点为 F1 , F2 ,如果曲线 C 上存在一点 Q,使 a b

FQ ? F2Q ,求椭圆离心率的最小值__________; { 1
2. F1、F2 为 椭 圆

2 } 2

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的 左 、 右 焦 点 , 如 果 椭 圆 上 存 在 点 P , 使 a2 b2 ?F1 PF2 ? 90? , 离 心 率 e 的 取 值 范 围 是 ______. ( 思 考 : 将 角 度 改 成 150 )
? 2 ? ,} 1? ? ? 2 ?

{?

x2 y2 3. 若 A, B 为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴两端点, Q 为椭圆上一点,使 a b 6 ? e ? 1} ?AQB ? 1200 ,此椭圆离心率的最小值是__________。 { 3
类型 2:一动点两定点最值 ① | MP | ?

1 | MF | :最小值为 M 到对应准线的距离-----运用第二定义,转点距到线距突 e

破 ②︱MP︱+︱MF2︱:最大值 2a+︱PF1︱,最小值 2a–︱PF1︱---运用第一定义,变加为减突 破 1. 若椭圆

x2 4

?

y2 3

F 椭圆上的点 M 使得 | MP | ?2 | MF | ? 1 内有一点 P ?1,1? , 为右焦点,
;(思考:将题中的 2 去掉会怎样呢?)
( 2 6 3 ,1)

的值最小,则点 M 的坐标为 2. 已知 A(?2, 3) , F是

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,点 M 为椭圆的动点,求 MA ? 2 MF 的最 16 12

小值,并求出此时点 M 的坐标。

5 x2 y2 ? ? 1 的上一点, F1 、 F2 为左右焦点;且 A(1,2) 求 | MA | ? | MF1 | 3 点 M 为椭圆 3 25 16
的最小值
(提升: | MA | ? 1 | MF1 |?| MA | ? | MM ' |?| AM ' | 第二定义)

e

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,点 P 为 C 上,则 3| PA | ?5 | PF1 | 4. 定点 A(2, 1) , F 为椭圆 C : 1 25 16
的最小值 5. P(-2, 3 ),F2 为椭圆 最值
(提示:2a- | PF |?| MP | ? | MF2 |? 2a? | MP | ? | MF1 |? 2a? | PF1 | 1
2 2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,点 M 在椭圆上移动,求︱MP︱+︱MF2︱的 25 16
(第一定义法 ) 最大值 12,最小值 8

x y ? ? 1 的右焦点,点 M 在椭圆上,求︱MP︱+︱MF2︱最值. 25 16 最大值 10+ 37 ,最小值 61 2 7. F1 , F2 是双曲线 x 2 ? y ? 1 的左、右焦点,M(6,6)为双曲线内部的一点,P 为双曲线 3
6. P(-2,6),F2 为椭圆 右支上的一点,求:(1) (1)8(2)11/2 的最小值;(2) 的最小值。

类型 3:点到线最值---------参数法 1、求椭圆
4 5 ? 2 10 } 5

x2 ? y 2 ? 1 上点 M(x,y)到直线 l:x+2y=4 的距离的最值。 4
2 2

{ 4 5 ? 2 10 ,
5

2. 椭圆 7 x ? 4 y ? 28 上的点到直线 l : 3x ? 2 y ? 16 ? 0 的距离最短. 3. 椭 圆

24 10 13

x2 y 2 ? ? 1 上 的 点 到 直 线 x ? 2y ? 2 ? 0 的 最 大 距 离 及 相 应 坐 标 . 16 4

10

(?2 2,? 2 )

类型 4:面积最值(组合式)---------参数法

x2 ? y 2 ? 1 的内接矩形面积的最大值. 2 2 1. 椭圆 2 x2 y 2 ? ? 1 上运动,则 x ? y 的最大值。 2. 点 P 在椭圆 10 25 16 x2 y2 3. 椭圆 2 ? 2 ? 1 与 x 轴、y 轴正方向相交于 A、B 两点,在椭圆的劣弧 AB(第一象限内) a b
上取一点 C,使四边形 OACB 的面积最大,求最大面积。

x2 y 2 ? ? 1 上一点,那么 2 x ? 2 y 的最大值是 4.设 P ( x, y ) 是椭圆 64 36
值是 最小值____ 。

. x ? y 的最大
2 2

20, 36, 64

类型 5:分式最值---------斜率法 1、 若 点 ( x , y )在 椭 圆 4 x2 ? y 2 ? 4 上 , 求 __. 2 ? 13 , 2 ? 13
3 3

y ?1 最 大 值 为 _____ _ , 最 小 值 为 ___ x?2

2、若点 ( x, y ) 在椭圆

y x2 y2 ? ? 1 上,求 最大值为_____ _,最小值为___ __. 0 x?3 4 1

类型 6:点到点最值---------二次函数法 1、求定点 A(2,0)到椭圆

x2 y2 ? ? 1 )上的点之间的最短距离。 16 9

2、定长为 d ? d ?

2 2 2b 2 ? ? 的线段 AB 的两个端点分别在椭圆 x ?y ? (a? ?0上 1 b ) 2 2 a ? a b 移动,求 AB 的中点 M 到右准线 l 的最短距离。

? ?


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