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2012届广东省云浮高三第一次模拟考试(数学理科)


广东省云浮 2012 届高三第一次模拟考试(数学理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式:锥体体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

第 Ⅰ 卷 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的. 1.已知 A, B 是非空集合,命题甲: A ? B ? B ,命题乙: A ? B ,那么 ? A.甲是乙的充分不必要条件 C.甲是乙的充要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 ( )

2.复数

2i ? i ?1 A . 1? i

( B.



?1 ? i

C. 1 ? i

D. ?1 ? i

?x ? y ? 0 ? 3.已知点 N ( x, y) 在由不等式组 ? x ? y ? 0 确定的平面区域内,则 N ( x, y) 所在平面区域的 ?x ? 2 ?
面积是 A.1 ( ) B.2 C.4 D.8

4.等差数列{a n}中,已知 a3 ? 5 , a2 ? a5 ? 12 , an ? 29 ,则 n 为 A. 13 5. 函数 y ? log 2 B. 14 C. 15 D. 16

( )

1? x 的图像 1? x

( ) B. 关于主线 y ? ? x 对称 D. 关于直线 y ? x 对称
2 2 主视图 左视图

A. 关于原点对称 C. 关于 y 轴对称

6.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A. 4 2 B.





2 2
2 2 3

C.

4 2 3

D.

2 俯视图

7.已知平面 ? , ? , ? ,直线 m , l ,点 A,有下面四个命题: A . 若 l ? ? , m ? ? ? A 则 l 与 m 必为异面直线;

B. 若 l ?? , l ? m 则 m ? ? ; C. 若 l ? ? ,m ? ? ,l ? ? , m ?? 则 ? ? ? ; D. 若 ? ? ? , ? ? ? ? m, ? ? ? ? l , l ? m ,则 l ? ? . 其中正确的命题是 ( )

8.某种游戏中,黑、黄两个“电子狗”从棱和为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 出发沿棱 向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段” ,黑“电子狗”爬行的路线是 AA1→A1D1→?, 黄“电子狗”爬行的路线是 AB→BB1→?,它们都遵循如下规则:所爬行的第 i+2 段与第 i 段所在直线必须异面直线(其中 i 是正整数).设黑“电子狗”爬完 2012 段、黄“电子狗” 爬完 2011 段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、黄“电子狗”间的距离是 ( ) A. 0 B. 1 C.

2

D.

3

第 Ⅱ 卷 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题是必做题,每道试题考生都必须做答. 9.

?

0

?1

1 ? x 2 dx ?

.

10.函数 f ( x) ? sin x ? cos 2 x , x ? R 的最小正周期为
2

? ? 11.在直角 ?ABC 中, ?C ? 90 , ?A ? 30 , BC ? 1 ,

D 为斜边 AB 的中点,则 AB? CD =
12.若双曲线

.

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0) 的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 , 则以双曲 a2 9

线的顶点和焦点分别为焦点和顶点的椭圆的离心率为__________. 13.将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排 成一数列:1,1,1,1,2, 1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,?, 右图所示程序框图用来输出此数列的 前若干项并求其和,若输入 m=4 则相应最后的输出 S 的值是__________. (二)选做题:第 14、15 题是选做题,考生只能从中选做一题. 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线 C1 、C2 的极坐标方程分别为 ? ? ?2 cos(? ?

?
2

),

2 ? cos(? ? ) ? 1 ? 0 ,则曲线 C1 上的点与曲线 C2 上的点的最远距离为 4
________.
N O A M

?

B

15. (几何证明选讲选做题) 如图,点 M 为 ? O 的弦 AB 上的一点,连接 MO . MN ? OM ,

MN 交圆于 N ,若 MA ? 2 , MB ? 4 ,则 MN ?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , S 是该三角形的面积, (1) a ? (2sin 若 度数; (2)若 a ? 8 , B ?

?

B cos ,sin B 2

cos ? B )

B

,b ? (sin B ? cos B, 2sin

?

? ? B ) ,a / / b ,求角 B 的 2

2? , S ? 8 3 ,求 b 的值. 3

17(本小题满分 12 分) 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是

2 3 和 假设两人射击是否击中目标,相互 3 4

之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响 ⑴求甲射击 3 次,至少 1 次未击中目标的概率; ... ⑵假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击,问:乙恰好射击 4 次后,被中止射击 ... 的概率是多少? ⑶设甲连续射击 3 次,用 ? 表示甲击中目标时射击的次数,求 ? 的数学期望 E? . (结果可以用分数表示)

18. (本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 中(图 1) E 是 BC 的中点, DB ? 2 , ,

D

C
D

A C

DC ? 1, BC ? 5 ,AB ? AD ? 2. 将 (图 1) 沿直线 BD
折起,使二面角 A ? BD ? C 为 60 (如图 2)
0

A

E
E

(1)求证: AE ? 平面 BDC ; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (3)求点 B 到平面 ACD 的距离.

B
图1

B 图2

19(本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ?

x2 4a ? 1 ? (1 ? 2a) x ? ln(2 x ? 1) . 2 2

(1)设 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 极大值和极小值; (2) a ? R 时讨论函数 f ? x ? 的单调区间.

20.(本小题满分 l4 分)如图, P 是抛物线 C : y ?

1 2 x 上横坐标 2

Y Q

大于零的一点,直线 l 过点 P 并与抛物线 C 在点 P 处的切线垂直,直线
l 与抛物线 C 相交于另一点 Q .

(1)当点 P 的横坐标为 2 时,求直线 l 的方程; ??? ??? ? ? (2)若 OP ? OQ ? 0 ,求过点 P, Q, O 的圆的方程.
O

P X

21. (本小题满分 l4 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,正数数列 ?bn ?中 b2 ? e,
n ?1 (e 为 自 然 对 数 的 底 ? 2.718 ) 且 ?n ? N * 总 有 2 是 S n 与 an 的 等 差 中 项 ,

bn?1 是bn与bn ? 1 的等比中项.
(1) 求证: ?n ? N * 有 an ? an?1 ? 2 n ; (2) 求证: ?n ? N * 有

3 (a n ? 1) ? ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bn ? 3a n ? 1 . 2

高三数学(理科)试题答案
一.选择题: 1、B; 2、A; 3、C; 4、C; 5、A; 6、B; 7、D; 8、D

二、填空题:

9.

? ; 4

10.

?



11. -1 ;

12.

2 13 ; 13

13. 15;

选做题:14.

2 ?1

15.

2 2

三、解答题: 16.解: (1)? a / /b

?

?

? 4 cos B ? sin 2

? 4 cos B ?

1 ? cos B ? 2 cos 2 B ? 1 ? 0 2

B ? cos 2 B ? 0 2
? cos B ? 1 2

??B ? (0,1800 )
(2)? S ? 8 3

??B ? 60? ????????6 分
1 ? ac sin B ? 8 3 ????????7 分 2 得 c ? 4 ????????8 分

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? 82 ? 42 ? 2 ? 8 ? 4cos1200 ????????10 分

?b ? 4 7 ????????12 分
17.解: (1)记“甲连续射击 3 次,至少 1 次未击中目标”为事件 A1,由题意,射击 3 次, 相当于 3 次独立重复试验,故 P(A1)=1- P( A1 )=1- ( ) = 答:甲射击 3 次,至少 1 次未击中目标的概率为

2 3

3

19 27

19 ;????????4 分 27

(2) 记“乙恰好射击 4 次后,被中止射击”为事件 A2,由于各事件相互独立,

1 1 3 1 1 1 3 3 3 × × × + × × × = , 4 4 4 4 4 4 4 4 64 3 答:乙恰好射击 4 次后,被中止射击的概率是 ????????8 分 64 2 (3)根据题意 ? 服从二项分布, E? ? 3 ? ? 2 ????????12 分 3 1 3 1 2 1 6 0 1 p(? ? 1) ? C3 ? ( ) ? ( ) 2 ? (3)方法二: p (? ? 0) ? C3 ? ( ) ? 3 27 3 3 27 2 1 12 p (? ? 2) ? C32 ? ( ) 2 ? ( )1 ? 3 3 27 2 1 8 3 p (? ? 1) ? C3 ? ( )3 ? ( )0 ? 3 3 27
故 P(A2)=

? p

0

1

2

3

1 27

6 27

12 27

8 27

E? ? 0 ?

1 6 12 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ??????? 27 27 27 27

?12 分 说明: , (1)(2)两问没有文字说明分别扣 1 分,没有答,分别扣 1 分。

第(3)问方法对,算错数的扣 2 分 18.解:

2. ? AM ? BD 2 因 DB ? 2 , DC ? 1, BC ? 5 满足: DB ? DC ? BC , 所以 ?BCD 是 BC 为斜边的直角三角形, BD ? DC , 1 因 E 是 BC 的中点,所以 ME 为 ?BCD 的中位线 ME // CD , 2 1 ? ME ? BD , ME ? 2 ? ?AME 是二面角 A ? BD ? C 的平面角? ?AME = 60 0 ? AM ? BD , ME ? BD 且 AM、ME 是平面 AME 内两相交于 M 的直线 ? BD ? 平面AEM ? AE ? 平面 AEM? BD ? AE 1 因 AB ? AD ? 2. , DB ? 2 ? ?ABD 为等腰直角三角形? AM ? BD 2 1 1 AE 2 ? AM 2 ? ME 2 ? 2 AM ? ME ? cos?AME ? 1 ? ? 2 ? 1 ? ? cos60? ? 4 2 ? AE 2 ? ME 2 ? 1 ? AM 2 ? AE ? ME ? BD ? ME, BD ? 面BDC, ME ? 面BDC? AE ? 平面BDC
2 2

(1) 如图取 BD 中点 M,连接 AM,ME。因 AB ? AD ?

??1 分

?? 2 分 ??3 分 ??4 分

? 1,
3 3 ? AE ? 4 2
?? 6 分 ?? 7 分

(2)如图,以 M 为原点 MB 为 x 轴,ME 为 y 轴,建立空间直角坐标系,??.. 8 分 则由(1)及已知条件可知 B(1,0,0), E (0, ,0) ,

1 2

1 3 A(0, , ) ,D (?1,0,0) ,C (?1,1,0) 2 2 1 3 AB ? (1,? ,? ), CD ? (0,?1,0), 2 2 设异面直线 AB 与 CD 所成角为 ? ,
则 cos? ? AB ? CD AB ? CD ??10 分

?? 9 分

?

1 2 ? 2 ??11 分 2 2 ?1

由 AD ? (?1,? ,?

1 3 ), CD ? (0,?1,0), 可知 n ? ( 3,0,?2) 满足, 2 2 n ? AD ? 0, n ? CD ? 0, n 是平面 ACD 的一个法向量,
3 ?0? 3
2

?? 12 分

记点 B 到平面 ACD 的距离 d,则 AB 在法向量 n 方向上的投影绝对值为 d 则 d ? AB ? n ??13 分 所以 d ?

n

? 3 ? ? 0 ? ?? 2?

?

2

2 21 7

?? 14 分

(2) ,(3)解法二: 取 AD 中点 N,连接 MN,则 MN 是 ?ABD 的中位线,MN//AB,又 ME//CD

所以直线 AB 与 CD 所成角为 ? 等于 MN 与 ME 所成的角, 即 ?EMN 或其补角中较小之一 AE ? 面BCD, DE ? 面BCD ? AE ? DE ,N 为在 Rt?AED 斜边中点 所以有 NE=

?? 8 分

1 1 2 1 2 ,MN= AB ? ,ME= , AD ? 2 2 2 2 2
MN 2 ? ME 2 ? NE 2 2 MN ? ME
??.9 分

? cos ? ? cos ?EMN ?

2 1 2 ? ? 2 = 4 4 4 ? 4 2 1 2? ? 2 2

??10 分

(3)记点 B 到平面 ACD 的距离 d,则三棱锥 B-ACD 的体积 V B ? ACD ? 分 又由(1)知 AE 是 A-BCD 的高、 BD ? CD ?VB ? ACD ? V A? BCD ?

1 d ? S ?ACD , 3

??11

1 AE ? S ?BCD ?..12 分 3 1 3 ?1 3 ? ? ? ? ? ? 2 ?1? ? 3 2 ?2 ? 6

E 为 BC 中点,AE ? BC? AC ? AB ?
2

2 又, DC ? 1, AD ? 2 , ?ACD为等腰?,

S ?ACD

1 1 ?1 ? ? ? CD ? AD 2 ? ? CD ? ? ? 1 ? 2 2 ?2 ?

? 2?

2

7 ?1? ?? ? ? 4 ?2?

2

??13 分

? B 到平面 ACD 的距离 d ?

3VB ? ACD ? S ?ACD

3?

3 6 ? 2 21 7 7 4

??14 分

解法三: (1) 因 DB ? 2 ,DC ? 1, BC ? 5 满足:DB ? DC ? BC , BD ? DC , 1 分 如图,以 D 为原点 DB 为 x 轴,DC 为 y 轴,建立空间直角坐标系, ??.. 2 分
2 2 2

则 条 件 可 知 D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0) , E (1, , 0) , A(a,b,c) a>0,b>0,c>0) ??.3 分 得 AB ? AD ? 分

1 2

(由图知

2. a2 ? b2 ? c2 ? (a ? 2)2 ? b2 ? c 2 ?

? 2?

2

? a ? 1, b2 ? c 2 ? 1 ? .. 4

平面 BCD 的法向量可取 n1 ? (0,0,1) ,

u r

uur u uuu r u r 5分 DA ? (1, b, c), DB ? (2,0,0) ,所以平面 ABD 的一个法向量为 n1 ? (0, c, ?b) u ur r u u ur r u n1 ? n2 b 则锐二面角 A ? BD ? C 的余弦值 cos ? n1 , n2 ? ? u ur ? ? cos 60? ?..6 r u 2 b ? c2 n1 ? n2


从而有 b ?

r 1 3 1 3 uur 3 uuu , A(1, , ,c ? ), EA ? (0,0, ), DC ? (0,1,0) 2 2 2 2 2 uu uuu r r uu uuu r r EA? DC ? 0, EA ? DB ? 0 ? EA ? DC, EA ? DB 所以 AE ? 平面 BDC
由 ( 1 )

7分 9分 ,

(2)

1 3 A(1, , ) 2 2



D(0,0,0),

B(2,0,0),C(0,1,0)

1 3 AB ? (1,? ,? ), CD ? (0,?1,0), 2 2
设异面直线 AB 与 CD 所成角为 ? ,则 cos? ? AB ? CD AB ? CD ??10 分

?
(3)由 AD ? (?1,? ,?

1 2 ? 2 ??11 分 4 2 ?1

1 3 ), CD ? (0,?1,0), 可知 n ? ( 3,0,?2) 满足, 2 2 n ? AD ? 0, n ? CD ? 0, n 是平面 ACD 的一个法向量,
3 ?0? 3
2

?? 12 分

记点 B 到平面 ACD 的距离 d,则 AB 在法向量 n 方向上的投影绝对值为 d 则 d ? AB ? n ??13 分 所以 d ?

n

? 3 ? ? 0 ? ?? 2?

?

2

2 21 7

?? 14 分

19.(1)? a ? 1,? f ( x) ?

x2 5 1 ? 3x ? ln(2 x ? 1), x ? ? 2 2 2
5 (2 x ? 1)( x ? 3) ? 5 ? 2 x ? 1?? x ? 2 ? = = ,??????1 2x ?1 2x ?1 2x ?1

f ?( x ) = x ? 3 ?


令 f ?( x ) =0,则 x =

x
f ?( x )

1 或 x =2????????2 分 2 1 1 1 1 (? , ) ( ,2) 2 2 2 2 ? + 0

2 0

(2,+ ? ) +

f ( x)
?4 分

?

极大

?

极小

?

???????

1 5 11 f ? x ?极大 =f ( ) ? ln 2 ? 2 2 8



5 f ? x ?极小 =f (2) ? ln 5 ? 4 ????????5 分 2
(2) f ?( x ) = x ? (1+2 a )+ 令 f ?( x ) =0,则 x =

4a ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1-2) ? 4a ? 1 ? 2 x ? 1?? x ? 2a ? = = 2x ?1 2x ?1 2x ?1

1 或 x =2 a ?????6 分 2 1 1 i、当 2 a > ,即 a > 时, 2 4 x 1 1 1 1 (? , ) ( ,2 a ) 2 2 2 2 ? + 0 f ?( x )

2a 0

(2 a ,+ ? ) +

f ( x)

?

?

?

所以 f ( x) 的增区间为( ?

1 1 1 , )和(2 a ,+ ? ) ,减区间为( ,2 a )?????8 分 2 2 2
2

ii、当 2 a =

1 1 ? 2 x ? 1? ? 0 在( ? 1 ,+ ? )上恒成立, ,即 a = 时, f ?( x ) = 2 4 2 2x ?1

所以 f ( x) 的增区间为( ?

1 ,+ ? )?????10 分 2 1 1 1 1 iii、当 ? <2 a < ,即 ? < a < 时, 2 2 4 4 x 1 1 2a ( ? ,2 a ) (2 a , ) 2 2 ? + 0 f ?( x )

1 2
0



1 ,+ ? ) 2
+

f ( x)

?

?

?

所以 f ( x) 的增区间为( ? 分 iv、当 2 a ? ?

1 1 1 ,2 a )和( ,+ ? ) ,减区间为(2 a , )?????12 2 2 2

x
f ?( x )

1 1 ,即 a ? ? 时, 2 4 1 1 (? , ) 2 2 ?

1 2
0



1 ,+ ? ) 2
+

f ( x)

?

?

1 1 1 ,+ ? ) ,减区间为( ? , )?????14 分 2 2 2 1 1 1 1 综上述: a ? ? 时, f ( x) 的增区间为( ,+ ? ) ,减区间为( ? , ) 4 2 2 2 1 1 1 1 1 ,减区间为(2 a , ) ? < a < 时, f ( x) 的增区间为( ? ,2 a )和( ,+ ? ) 4 4 2 2 2 1 1 a = 时, f ( x) 的增区间为( ? ,+ ? ) 4 2 1 1 1 1 ,减区间为( ,2 a ) a > 时, f ( x) 的增区间为( ? , )和(2 a ,+ ? ) 4 2 2 2
所以 f ( x) 的增区间为( 说明:如果前面过程完整,最后没有综上述,可不扣分 20 解: (Ⅰ)把 x ? 2 代入 y ?

1 2 x ,得 y ? 2, 2
得 y? ? x ,

∴点坐 P 标为(2,2). ????????1 分 由 y?

1 2 x , ① 2

∴过点 P 的切线的斜率 k 切 ? 2,????????2 分 直线 l 的斜率 k1 ? ?

1 1 ?? , 2 k切

????????3 分

1 ( x ? 2) , 2 1 2 (Ⅱ)设 P( x0 , y0 ), 则 y0 ? x0 . 2
∴直线 l 的方程为 y ? 2 ? ?

即 x ? 2 y ? 6 ? 0 ????????4 分

∵ 过点 P 的切线斜率 k 切 ? x0 ,因为 x0 ? 0. ∴ 直线 l 的斜率 k1 ? ?

1 1 ?? , x0 k切
②????????5 分

直线 l 的方程为 y ?

1 2 1 x0 ? ? ( x ? x0 ). 2 x0

设 Q( x1 , y1 ) ,且 M ( x, y ) 为 PQ 的中点, 因为 OP? OQ ? 0 ,所以过点 P, Q, O 的圆的圆心为 M ( x, y ) 半径为 r ? PM ,????????6 分 且 x0 x1 ? y0 y1 ? x0 x1 ?

??? ??? ? ?

1 2 2 x0 x1 ? 0 ,????????8 分 4

所以 x0 x1 ? 0 (舍去)或 x0 x1 ? ?4 ????????9 分 联立①②消去 y ,得 x 所 以 x0 x 1 ? ? x
2

2 ? x ? xo 2 ? 2 ? 0 x0

由题意知 x0 , x1 为方程的两根, 所 以 x0 ?

2 0

? 2 ? ?4 , 又 因 为 x0 ? 0 ,

2 ,

y0 ? 1 ;
所以 x1 ? ?2

2 , y1 ? 4 ????????11 分

? 2 , ?x ? ? ? 2 ????????12 分 ∵ M 是 PQ 的中点,∴ ? ?y ? 5. ? ? 2

r 2 ? ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ?

27 4

????????13 分

所以过点 P, Q, O 的圆的方程的方程为

(x ?

2 2 5 27 ????????14 分 ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4

n ?1 21 解:(1) 2 是 S n 与 an 的等差中项 ? S n ? 2 n ? an

? a1 ? S1 ? 2 ? a1 ? a1 ? 1 S n ? 2 n ? a n ? S n ?1 ? 2 n ?1 ? a n ?1 ? a n ?1 ? S n ?1 ? S n ? 2 n ?1 ? a n ?1 ? (2 n ? a n ) ? 2 n ? a n ? a n ?1 ? 2a n ?1 ? 2 n ? a n

1分

2分
n ?1

法一 :? 2 ? (2
n ?1 n

a n?1 ? 4 ? 2 a n ? 2
n n n n ?1

n ?1

a n ?1 ? 2 a n ? 4
n

n

a n ?1 ? 2 a n ) ? (2 a n ? 2

a n?1 ) ? ? ? (2 2 a 2 ? 2a1 )

3分

4 n 4 (4 ? 1) ? 2 n?1 a n?1 ? 2 ? (4 n ? 1) 3 3 2 1 1 1 2 1 ? a n ?1 ? ? 2 n ? ? n , a n ? ? 2 n ? ? n 3 3 2 3 3 2 1 1 1 1 1 ? a n ?1 ? 2 n ? ? ( n ? 2 n ) ? 0, a n ?1 ? a n ? ? 2 n ? ? n ? 0, 3 2 3 3 2 n ? a n ? a n ?1 ? 2 ? 4 n ? 4 n ?1 ? ? ? 4 ?
(2)由(1)得 a n ?

4分

5分

1 n 2 1 ?2 ? ? n 3 3 2

3 1 3 2 (an ? 1) ? 2 n?1 ? n ? ? 2 n?1 ? 1, 3a n ? 1 ? 2 n ? n ? 1 ? 2 n ? 1 2 2 2 2 n ?1 n ? 只需证:2 ? 1 ? ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bn ? 2 ? 1
2 bn?1 是bn与bn ? 1 的等比中项 ? bn?1 ? bn ? bn ? b2 ? e, bn ? 0

6分

n ? 1时, b12 ? b1 ? b2 ? e ? b1 ?

? 1 ? 1 ? 4e 2

7分

? 4e ? 8 ? b1 ?

?1? 9 e ? 1, b1 ? 1 ? ? e 2 b1 8分

ln b1 ? ln 1 ? 0 ? (21?1 ? 1) , ln b1 ? ln(b1 ? 1 ) ? 1 ? 21 ? 1 所证不等式成立

n ? 2时
2 2 bn ?1 ? bn ? bn ? bn ? ln bn ?1 ? 2 ln bn

? ln bn ? 2 ln bn ?1 ? ?. ? 2 n ? 2 ln b2 ? 2 n ? 2 ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bn ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? 2 n ? 2 ? (2 n ?1 ? 1) ? 3 (a n ? 1) 2

9分 10分

2 2 又 ln(bn ?1 ? 1) ? ln(bn ? bn ? 1) ? ln(bn ? bn ? 1 ? bn ) ? ln(bn ? 1) 2 ? 2 ln(bn ? 1)

11分 12分 13分

?ln(bn ? 1) ? 2 ln(bn ?1 ? 1) ? 2 2 ln(bn ?2 ? 1) ? ? 2 n ?1 ln(b1 ? 1) ? 2 n ?1 ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bn ? ln(b1 ? 1) ? ln(b2 ? 1) ? ? ? ln(bn ? 1) ? 1? 2 ? 2 ??? 2
2 n ?1

? 2 ? 1 ? 3a n ? 1
n

综上所述, 总有 分

3 (a n ? 1) ? ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bn ? 3a n ? 1 成立 2

14

解法二:

S n ? 2 n ? a n ? S n ?1 ? 2 n ?1 ? a n ?1 a n ?1 ? S n ?1 ? S n ? 2a n ?1 ? 2 n ? a n 1分

i)当n ? 1时, a1 ? S1 ? 2 ? a1 ? a1 ? 1, a 2 ?

2 ? a1 3 ? 2 2

? a1 ? a 2 ? 2成立

2分

ii )假设n ? k时, a k ? a k ?1 ? 2 k , 则n ? k ? 1时有a k ? 2 ? ak ?2 ? 2
k ?1

a k ?1 ? a k ? 2

a k ?1 ? 2 k ?1 2 k ? 2 k ?1 ? ? ? 0; a k ? 2 2 2 ? 2 k ?1 也成立

2 k ?1 ? a k ?1 , 3分 2 2 k ?1 ? a k ?1 2 k ?1 ? 2 k ? a k ?1 ? ? ?0 2 2 4分

综合i ), ii )可知a n ? a n ?1 ? 2 n 成立

(2)

1 1 1 1 2a n ?1 ? 2 n ? a n ? a n?1 ? 2 n ?1 ? a n ? a n ?1 ? ? 2 n ?1 ? (a n ? ? 2 n ) 2 3 2 3 1 1 ?1? ? a n ? ? 2 n ? (a1 ? ? 2)? ? 3 3 ?2?
n ?1

5分 6分

1 2 1 2 ? ? n ? a n ? (2 n ? n ) 3 2 3 2
? 1 ? 1 ? 4e 2

2 bn?1 是bn与bn ? 1 的等比中项 ? bn?1 ? bn ? bn

? b2 ? e, bn ? 0 i) 当n ? 1时b1 ?

b12 ? b1 ? b2 ? e ? b1 ?

7分

?1? 9 e ? 1, b1 ? 1 ? ? e 2 b1 3 (a1 ? 1) , ln b1 ? ln(b1 ? 1 ) ? 1 ? 2 ? 3a1 ? 1 2 8分

? ln b1 ? ln 1 ? 0 ?

ii)假设 n ? k , k ? N * 时不等式 则 n=k+1 时要证明

3 (a k ? 1) ? ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bk ? 3a k ? 1 成立, 2

3 (a k ?1 ? 1) ? ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bk ? ln bk ?1 ? 3a k ?1 ? 1 2 3 3 只需证明: (a k ?1 ? 1) ? (a k ? 1) ? ln bk ?1 ? 3a k ?1 ? 1 ? (3a k ? 1) 2 2 1 1 2 k ?1 ? k ?1 ? ln bk ?1 ? 2 k ? k 即只需证明: ?.9 2 2


? bk ?1 ? bk2 ? bk ? bk2 ? ln bk ?1 ? 2 ln bk ? ln bk ?1 ? 2 ln bk ? 2 2 ln bk ?1 ? ?. ? 2 k ?1 ln b2 ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 ?
.10 分

1 2 k ?1

??.

又 ln(bk ?1 ? 1) ? ln(bk2 ? bk ? 1) ? ln(bk ? 1) 2 ? 2 ln(bk ? 1)

11分

? lnbk ?1 ? ln(bk ?1 ? 1) ? 2ln(bk ? 1) ? 2 2 ln(bk ?1 ? 1) ? ? 2 k ?1 ln(b2 ? 1) 12分 1 1 1 1 k ?1 k 只需证明 2 ln(b2 ? 1) ? 2 ? k ? ln(e ? 1) ? 1 ? ? 1 ? k 2 4 2 4 3 2 l e ? 1) ? n ? (e ? 1) ( ? e 3 只 需 证 明 2
13 分 由 (1 ? e) ? 16 ? 8.1? 8.1? 0.3 ? 2.7 ? e 可知上面结论都成立
2 3 3

综 合 (i)(ii) 可 知 ?n ? N * , 立 ?..14 分

3 (a n ? 1) ? ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bn ? 3a n ? 1 成 2

法三: n=1 时同法一: n ? 2 时左边证明同法一 当 n ? 2 时,证明右边如下:

10 分

lnbn?1 ? ln bn ? ln(bn ? 1) ? ln(bn ? 1) ? lnbn?1 ? ln bn ? ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bn ? ln(b1 ? 1) ? ln(b2 ? 1) ? ? ? ln(bn ? 1) ? ln b2 ? ln b1 ? lnb3 ? ln b2 ? ? ? lnbn?1 ? ln bn ? lnbn?1 ? ln b1 ? lnbn?1
只 11 分
2 2 又 ln(bn ?1 ? 1) ? ln(bn ? bn ? 1) ? ln(bn ? bn ? 1 ? bn ) ? ln(bn ? 1) 2 ? 2 ln(bn ? 1)







lnbn?1 ? 2n ? 1 ? 3an ? 1(n ? 2)
12分

? lnbn ?1 ? ln(bn ?1 ? 1) ? 2 ln(bn ? 1) ? 2 2 ln(bn ?1 ? 1) ? ? ? 2 n ?1 ln(b2 ? 1) ? 2 n ?1 ln(1 ? e) 1 n ?1 n 只需证明 2 ln(e ? 1) ? 2 ? 1 ? ln(e ? 1) ? 2 ? n ?1 (n ? 2) 2 1 3 3 ? 2 ? n ?1 ? (n ? 2) ? 只需证明 ln(e ? 1) ? ? (e ? 1) 2 ? e 3 13 2 2 2
分 由 (1 ? e) 2 ? 16 ? 8.1? 8.1? 0.3 ? 2.7 3 ? e 3 可知上面结论都成立 综上所述 ?n ? N * ,

3 (a n ? 1) ? ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bn ? 3a n ? 1 成立 ?..14 分 2 1 n n 注 1: 若证 ln bn ?1 ? 2 ln(b1 ? 1) ? 2 ? 1 ? ln(b1 ? 1) ? 1 ? n 必须 n ? 3 才行 2 1 当n ? 1,2时 ln(b1 ? 1) ? 1 ? n 不成立 2
实际上 ln(b1 ? 1) ? 0.79,当n ? 3时, 才有 ln(b1 ? 1) ? 1 ?

1 1 ? 1 ? n 成立 8 2

注2 : 设a n ?1 ? ? ? 2 n ?1 ?

1 1 1 1 1 (a n ? ? ? 2 n )则 (? ? 2 n ) ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 ? (? ?) ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 3


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