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中山市2012—2013高二级第二学期期末统一考试(数学文文) -


中山市高二级 2012—2013 学年度第二学期期末统一考试

高二数学试卷(文科)
本试卷共 21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟.

? ? bx ? a ,其中 b ? 参考公式:回归直线 y

? (x
i ?1 n

n

i

/>
? x )( yi ? y )

? ( xi ? x )2
i ?1

?

?x y
i ?1 n i i ?1

n

i

? nx y
2

? xi2 ? nx

, a ? y ? bx .

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的.)

1 的共轭复数是 1? i 1 1 1 1 A. ? i B. ? i C. 1 ? i D. 1 ? i 2 2 2 2 x2 y2 ? ? 1 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6,则 ?ABF2 (F2 为右焦点)的周长是 2.过双曲线 16 9
1.复数 z ? A.28 B.22 C.14 D.12 3.由直线与圆相切时,圆心到切点连线与直线垂直,想到平面与球相切时,球心与切点 连线与平面垂直,这种思维方式是 A.归纳推理 B.演绎推理 C.类比推理 D.其它推理 4. 执行下面流程图的程序: 输入 x 计算 x ?

x( x ? 1) 的值 2

x ? 100?



输出结果 x

否 若开始输入的值为 x ? 3 ,则输出的 x 的值是 A. 6 B. 21 C. 156 D. 231 5. 在独立性检验中,统计量 K 2 有两个临界值:3.841 和 6.635;当 K 2 >3.841 时,有 95% 的把握说明两个事件有关,当 K 2 >6.635 时,有 99%的把握说明两个事件有关,当

K 2 ? 3.841 时,认为两个事件无关. 在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了 2000
人,经计算的 K 2 =20.87,根据这一数据分析,认为打鼾与患心脏病之间 A.有 95%的把握认为两者有关 C.有 99%的把握认为两者有关 B.约有 95%的打鼾者患心脏病 D.约有 99%的打鼾者患心脏病

高二数学(文科)试卷

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6. 用火柴棒摆“金鱼” ,如图所示: ? ① A . 8n ? 2
2 2

② B. 8n ? 2
2 2

③ C. 6 n ? 2 D. 6 n ? 2

按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为

7. 椭圆

x y x y ? ? 1 与双曲线 ? ? 1 焦点相同的充要条件是 25 9 m 9
B. m ? 7 C. m ? 25 D. m ? 43

A. m ? 16

8. 函数 y ? x ? ln x ? 2 的单调递增区间是 A. (0, )

1 e

B. (0, e)

C. ( , ??)

1 e

D.

(e, ??)

9. 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,已知灯口直径 60cm,灯深 40cm,则光源到反射镜顶点的距离是 A.11.25cm 10. 给出如下四个命题: ①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ②命题“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ” ; ③“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ” ; ④“ x ? 0 ”是“ x ? B.5.625cm C.20cm D.10cm

1 ? 2 ”的充分必要条件 x
B. 3 C. 2 D. 1

其中正确的命题个数是 A.4

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答 题卡相应横线上) (一)必做题(11~13 题) 11.设 f 0 ( x) ? cos x , f1 ( x) ? f 0/ ( x) , f 2 ( x) ? f1/ ( x) ,… … , f n?1 ( x) ? f n/ ( x) (n∈N),则 f2013(x) = . . 12.已知命题 p: ?x0 ? R , x02 ? 2 x0 ? a ? 0 ,若 ? p 为 真命题,则实数 a 的取值范围是 13.教材上一例问题如下: 一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 有关, 现收集了 7 组观测数据如下表,试建立 y 与 x 之间的回归方程.
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温度 x/℃ 产卵数 y/个

21 7

23 11

25 21

27 24

29 66

32 115

35 325

某同学利用智能手机上的 Mathstudio 软件研究它时 (如右图所示) , 分别采用四种模型, 所得结果如下: 序号 模型 ①
y ? ax ? b


y ? ae
bx


y ? ax ? c
2



y ? ax ? bx2 ? cx ? d
3

计算 结果

?a ? 19.87 ? ?b ? ?463.731 ?r ? 0.864 ?

?a ? 0.015 ? ?b ? 0.284 ?r ? 0.993 ?

?a ? 0.367 ? ?c ? ?202.543 ?r ? 0.896 ?

? a ? 0.271 ?b ? ?20.171 ? ? ?c ? 501.638 ? d ? ?4145.892 ? ? ? r ? 0.995

根据上表,易知当选择序号为

的模型时,拟合效果最好.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题,若两题都做,取 14 题为最后得分) 14 . ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 ( ? , ? ) (0 ? ? ? 2? ) 中 , 曲 线

? (cos ? ? sin ? ) ? 1 与 ? (cos ? ? sin ? ) ? ?1 的交点的极坐标为
15. (几何证明选讲选做题)如图所示,⊙O 上一点 C 在直径 AB 上的 射影为 D,CD=4,BD=8,则⊙O 的半径等于____________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证 明过程和演算步骤.) 16 .( 13 分 ) 设 函 数 f ( x) ? ax3 ? (a ? b) x2 ? bx ? c , 其 中



a ? 0, b, c ? R .
1 1 (1)计算 f ?( ) ; (2)若 x ? 为函数 f ( x) 的一个极值点,求 f ( x ) 的单调区间. 3 3
17. (13 分)通过市场调查,得到某产品的资金投入 x (万元)与获得的利润 y (万元) 的数据,如下表所示: 资金投入 x 利润 y

2 2

3
3

4
5

5
6

6
9
^

(1)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程 y ? bx ? a ; (2)现投入资金 10 (万元) ,求估计获得的利润为多少万元. 18. (13 分)有一块边长为 6 m 的正方形钢板,将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方 形,然后焊接成一个无盖的蓄水池. 截去的小正方形的边长 x 为多少时,蓄水池的容 积最大?最大容积是多少?

19. (14 分)已知复数 z 满足 | z |? 2 , z 2 的虚部为 2 ,
高二数学(文科)试卷 第3页(共 4 页)

(1)求 z ; (2)设 z , z 2 , z ? z 2 在复平面对应的点分别为 A,B,C,求 ?ABC 的余弦.

20. (13 分)已知直线 l : y ? x ? 2 与抛物线 x2 ? y 交于 A( xA , y A ) 、 B( xB , yB ) 两点,l 与 x 轴交于点 C( xC ,0) . (1)求证:
1 1 1 ? ? ; x A xB xC
1 1 1 ? 与 的计算结果依然相等(如图 2、图 3 所示) ,你 x A xB xC

(2)某同学利用 TI-Nspire 图形计算器作图验证结果时(如图 1 所示) ,尝试拖动改变 直线 l 与抛物线的方程,发现

能由此发现出关于抛物线的一般结论,并进行证明吗?

图1

图2

图3

21. (14 分)若 a1 ? 0 , a1 ? 1 , an ?1 ? (1)采用反证法证明: an?1 ? an ;

2an (n ? 1,2,?, ). 1 ? an

1 ,写出 a2 、 a 3 、 a4 、 a 5 的值,观察并归纳出这个数列的通项公式 an ; 2 a ?p } 是等比数列,并求出公比 q 的值. (3)证明:存在不等于零的常数 p,使 { n an
(2)令 a1 ?

高二数学(文科)试卷

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中山市高二级 2012—2013 学年度第二学期期末统一考试

数学(文科)答案
一、选择题: AACDC DBCBC 二、填空题: 11. ? sin x ; 14. (1, ) ; 2 三、解答题: 16. 解: (1) f '( x) ? 3ax2 ? 2(a ? b) x ? b . 分) ????(3 12. 15. 5
(1, ??) ;

13. ④;

?

1 1 1 b?a 所以 f '( ) ? 3a ? ( )2 ? 2(a ? b) ? ? b ? . 3 3 3 3
分)

????(5

1 1 (2)由 x ? 为函数 f ( x) 的一个极值点,得 f ?( ) =0. 3 3

????(6 分)

1 由 f ?( ) =0,得 a=b. 3

??(7 分) ????(9

故 f '( x) ? 3ax2 ? 2(a ? a) x ? a =a(3x2-4x+1)= a(3x ? 1)( x ? 1) =0, 分) 由 a ? 0 ,令 f '( x) ?0 ,解得 x ?

1 1 或 x ? 1 ;令 f '( x) ?0 ,解得 ? x ? 1 . ??(11 分) 3 3

1 1 所以,函数 f(x)的单调增区间是(-∞, ),(1,+∞) ,单调减区间是 ( ,1) . ?(13 分) 3 3

17. 解: (1) x ? 分)

2?3? 4?5? 6 2?3?5? 6?9 ? 4, y ? ? 5. 5 5

????(3

高二数学(文科)试卷

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b?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

?

2 i

2 ? 2 ? 3? 3 ? 4 ? 5 ? 5 ? 6 ? 6 ? 9 ? 5? 4 ? 5 ? 1.7 . 4 ? 9 ? 16 ? 25 ? 36 ? 5 ?16

????(7

分)

? a ? y ? bx ? ?1.8 , ? y ? 1.7 x ? 1.8 .
? ? 15.2 (万元) (2)当 x ? 10 (万元) ,y

^

???? (10 分) ???? (13 分) ??(3 分)

18. 解:由题可知,蓄水池的底面边长 6-2x,容积为: V ( x) ? x(6 ? 2 x)2 .

?x ? 0 由于 ? ,所以函数 V(x)的定义域为 x∈(0,3). ?6 ? 2 x ? 0
令 V '( x) ? 12 x2 ? 48x ? 36 ? 12( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,解得 x=1(x=3 舍). 当 x ? (0,1) 时,V '( x) ? 0 ;当 x ? (1,3) 时,V '( x) ? 0 . 因此,当 x=1 时, V ( x) 具有最大值,最大值为 V(1)=16.

????(4 分) ????(7 分) ????(10 分) ????(12 分)

故截去的小正方形的边长 x 为 1m 时, 蓄水池的容积最大, 其最大容积是 16m3 . ? (13 分) 19. 解: (1)设 z ? x ? yi ( x, y ? R) , 由题意得 z 2 ? x2 ? y 2 ? 2 xyi . ???? (2分)

? x2 ? y 2 ? 2 ? ?? ? ? 2 xy ? 2

??(4分)

? x ? 1 ? x ? ?1 解得 ? 或? , ? y ? 1 ? y ? ?1
故 z ? 1 ? i 或 z ? ?1 ? i . 分) (2)当 z ? 1 ? i 时, z 2 ? 2i, z ? z 2 ? 1 ? i , 所以 A(1,1), B(0,2), C (1, ?1) , uu r uu r BA ? (1,1) ? (0, 2) ? (1, ?1) , BC ? (1, ?1) ? (0, 2) ? (1, ?3) ,
cos ?ABC ?

????(6

| BA |g| BC |

uu r

BAgBC

uu r uu r

uu r ?

1 ? 1 ? ( ?1) ? ( ?3) 2 5 . ? 2 2 2 2 5 1 ? 1 g ( ?1) ? ( ?3)

????(10分)

当 z ? ?1 ? i 时, z 2 ? 2i, z ? z 2 ? ?1 ? 3i , A(?1, ?1), B(0, 2), C (?1, ?3) . uu r uu r BA ? (?1, ?1) ? (0, 2) ? (?1, ?3) , BC ? (?1, ?3) ? (0, 2) ? (?1, ?5) ,
高二数学(文科)试卷 第6页(共 4 页)

cos ?ABC ?

| BA |g| BC |

uu r

BAgBC

uu r uu r

uu r ?

( ?1) ? ( ?1) ? ( ?3) ? ( ?5) 8 75 . ? 2 2 2 2 75 ( ?1) ? ( ?3) g ( ?1) ? ( ?5)

???? (14 分)

20. 解: (1)证明:联立直线 l 与抛物线的方程组,
?y ? x ? 2 1 1 1 1 1 ? ? ?? . 得? 2 ,解得 xA ? ?1 , xB ? 2 ,则 ? x x ? 1 2 2 A B ?x ? y

????(3

分) 令 y ? x ? 2 ? 0 ,解得 xC ? ?2 ,则 分) 所以, 分) ( 2 ) 一 般 结 论 : 直 线 l : y ? kx? b( k? 0 )与 抛 物 线 x2 ? 2 py ( p? 0)交 于 A( xA , y A ) 、
B( xB , yB ) 两点,l 与 x 轴交于点 C( xC ,0) ,则
1 1 1 ? ? . x A xB xC 1 1 1 ? ? . x A xB xC
1 1 ?? . xC 2

????(4

????(5

????(7 分)

证明如下:
? y ? kx ? b 联立直线 l 与抛物线的方程组, 得: ? 2 , ? x ? 2 py

消 y 得: x2 ? 2 pkx ? 2 pb ? 0 , 分) 所以 xA ? xB ? 2 pk , xA xB ? ?2 pb , 从而
1 1 x A ? xB 2 pk k ? ? ? ?? . x A xB x A xB ?2 pb b

????(9

???? (11 分) ???? (12 分) ????(13 分)

1 k b ?? . 令 y ? kx ? b ? 0 ,解得 xC ? ? ,则 xC b k

所以,

1 1 1 ? ? . x A xB xC

21.解: (1)假设 an?1 ? an ,即

2an ? an , 解得 an ? 0, 1. 1 ? an

????(2 分) ????(3 分)

从而 an ? an?1 ? ??? a 2 ? a1 ? 0,1 与题设 a1 ? 0 , a1 ? 1 相矛盾,
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故 an?1 ? an 成立. (2) a1 ? 分) 猜想 an ? 分) (3)因为 又

??(4 分) ????(7

16 1 2 4 8 , a2 ? , a3 ? , a4 ? , a5 ? , 17 2 3 5 9
2n ?1 . 2n ?1 ? 1

????(9

an ?1 ? p (2 ? p)an ? p ? , an ?1 2an

???? (11 分) ???? (12 分) ???? (13 分)

an ?1 ? p an ? p ? ?q , an ?1 an

所以 (2 ? p ? 2q)an ? p(1 ? 2q) ? 0 , 因为上式是关于变量 an 的恒等式,故可解得 q ?

1 , p ? ?1 . 2

???? (14 分)

高二数学(文科)试卷

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