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数列求和方法(二)


石泉中学课时教案
科目:高二数学 单元(章节)课 题 本节课题 教师: 张艳琴 数列 数列求和方法(二) 知识与技能:掌握非等差、等比数列求和的几种常见模型与方法 三维目标 过程与方法:通过对几种数列求和方法的学习,培养学生的计算能力; 情感与价值:培养学生观察、归纳的能力,培养学生的应用意识. 提炼的课题 教学重难点 分组求和法与裂项相消法 重点: 分组求和法与裂项相消法 难点: 分组求和法与裂项相消法的应用 教 一、数列求和的常用方法 探究: (前一天布置的思考题)学生分析各题通项特点,归纳求和方法 (1) 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (2n ? 1) ? (2)
1 1 1 1 ? ? ??? n ? 2 4 8 2

授课时间:第 6 周

星期五

2016 年 4 月 1 日







1 1 1 1? ? (3) (1 ? ) ? (3 ? ) ? (5 ? ) ? ? ? ?(2n ? 1) ? n ? ? 2 4 8 2 ? ?

(4) 1 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2 ? 2 2 ) ? ? ? (1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 n?1 ) ? (5) 1 ? (6)
1 1 1 1 ? 3 ? ? 5 ? ? ? ? (2n ? 1) ? n ? 2 4 8 2

1 1 1 1 ? ? ??? ? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)

小结: (板书)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn,

通常采用的解法: 1.公式法 2.分组求和法

找(或求) an →分析通项 an 的结构→ 二、方法讲解 1、分组求和法:

3.错位相减法

→Sn

有一类数列,它既不是等差数列,也不是等比数列.若将这类数列适当拆开,可分为几个

等差、等比数列或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 2、裂项相消法: 把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求和时一些正 负项相互抵消,于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和,这一求和方法称为裂项相消法。适
? c ? 用于类似 ? ? (其中 ?an ? 是各项不为零的等差数列, c 为常数)的数列、部分无理数列等。 ? an an ?1 ?

用裂项相消法求和,需要掌握一些常见的裂项方法: (1)

1 1 1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ,特别地当 k ? 1 时, n n ? 1 ? n ? n ? 1 n?n ? k ? k ? n n ? k ? ? ?
1 1 ? n?k ? n k

(2)

?

n ? k ? n ,特别地当 k ? 1 时

?

1 ? n ?1 ? n n ?1 ? n

三、典例精讲 例 1、求和: Sn ? ? 2 ? 3 ? 5?1 ? ? ? 4 ? 3 ? 5?2 ? ? ? 6 ? 3 ? 5?3 ? ? ? ? ? 2n ? 3 ? 5? n ? 例 2、数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 四、高考链接
1 ,求它的前 n 项和 Sn n(n ? 1)

(2010 山东)已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26, ?an ?的前 n 项和 S n (1)求 an 及 S n (2)令 bn ?

1 an ? 1
2

(n ? N ? ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn

分析:本题主要考查等差数列的基本知识,考查逻辑推理能力、等价变形和运算能力。 首先根据 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26,利用等差数列的通项公式求出等差数列的首项与公差,则 问题(1)易解;问题(2)利用裂项法即可求和 解析: (1)设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 , 公差为 d

? a3 ? 7 ? a ? 2d ? 7 ?a ? 3 由? ?? 1 ?? 1 ?a5 ? a7 ? 26 ?2a1 ? 10d ? 26 ? d ? 2
由 a n ? a1 ? (n?)d , S n ?

n(a1 ? a n ) 得 an ? 2n ? 1, S n ? n(n ? 2) 2

(2)由 an ? 2n ? 1 ? an ? 1 ? 4n(n ? 1) 则 bn ?
1 1 1 1 ? ( ? ) 4n(n ? 1) 4 n n ? 1

2

1 1 1 1 1 1 ) 故 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn = (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 2 3 n n ?1

1 1 n = (1 ? )? 4 n ? 1 4(n ? 1)

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 4(n ? 1)

1、求和: Sn ? ? a ? 1? ? ? a 2 ? 2 ? ? ? a 3 ? 3? ? ? ? ? a n ? n ? 2、求数列
1 1 1 1 , , ,? , ,? 的前 n 项和 Sn . 1? 2 2 ? 3 3 ? 2 n ? n ?1

课堂 检测 内容

3、

1 1 1 ? ?? ? ? 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1)

.

4、

1 1 1 1 =__________ ? ? ? ... ? 2 ? 4 3?5 4 ? 6 (n ? 1)( n ? 3)

1、 12 ? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? 5 2 ? 6 2 ? ? ? 992 ? 1002 =____________; 2、在数列 {an } 中, an ?
1 , . 则前 n 项和 Sn n(n ? 1)(n ? 2)



1 课 后 3、在数列 {a } 中, a ? 求 S99 = ; n n n n ? 1 ? (n ? 1) n 作 业 n?2 a n ? (n ? 1)( n ? 2) , 4、已知数列 {an} 满足: a1 ? 6 , a n?1 ? 布置 n

(1)求 a 2 , a3 ; (2)若 d n ? 预 习 内 容 布置
an ,求数列 {dn } 的通项公式; n(n ? 1)


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