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河北省滦南县第一中学2015-2016学年高二数学10月月考试题 文


滦南一中 2015-2016 学年度高二年级第一学期十月月考 文科数学试题
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.在空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上分别取 E、F、G、H 四点,如果 EF,GH 交于 一点 P,则 ( ) A.P 一定在直线 BD 上 B.P 一

定在直线 AC 上 C.P 一定在直线 AC 或 BD 上 D.P 既不在直线 AC 上,也不在直线 BD 上 2.已知 m,n 是不同的直线,α ,β 是不重合的平面,则下列命题中正确的是( ) A.若 m∥α ,m∥n,则 n∥α B.若 m⊥α ,n⊥α ,则 n⊥m C.若 m⊥α ,m∥β ,则α ⊥β D.若α ⊥β ,m? α ,则 m⊥β 3.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,异面直线 AB,A1D1 所成的角等于 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° ( )

4.某几何体的三视图,如图所示,则这个几何体是

A.三棱锥

B.三棱柱

C.四棱锥

D.四棱柱 ( D.π )

5.一个正方体的体积是 8,则这个正方体的内切球的表面积是 A.8π B.6π C. 4π

6.如图(1)所示,在正方形 SG1G2G3 中,E,F 分别是 G1G2 及 G2G3 的中点,D 是 EF 的中点,现 在沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体,使 G1,G2,G3 三点重合,重合后的点记为 G,如图(2)所示,那么,在四面体 S-EFG 中必有 ( )

A.SG⊥△EFG 所在平面 B.SD⊥△EFG 所在平面 C.GF⊥△SEF 所在平面 D.GD⊥△SEF 所在平面 7.如图,A 是平面 BCD 外一点,E、F、G 分别是 BD、DC、CA 的中点,设过这三点的平面为 α ,则在图中的 6 条直线 AB、AC、AD、BC、CD、DB 中,与平面α 平行的直线有( )

1

A.0 条

B.1 条

C.2 条

D.3 条

8.如图,若Ω 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到的几何体, 其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH∥A1D1,则下列结论中 不正确的是 ( )

A.EH∥FG B.四边形 EFGH 是矩形 C.Ω 是棱柱 D.Ω 是棱台 9.如图所示,将无盖正方体纸盒展开,直线 AB、CD 在原正方体中的位置关系是(

)

A.平行 B.相交且垂直 C.异面直线 10.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为 A. 3 3 πR 24 B. 3 3 πR 8 C.

D.相交成 60°角 ( D. 5 3 πR 8 )

5 3 πR 25

11.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是 BB1、BC 的中点.则图中阴影部分 在平面 ADD1A1 上的正投影为 ( )

12.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm )为

2

(

)

A.48+12 2 C.36+12 2

B.48+24 2 D.36+24 2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13 .在几何体①圆锥;②正方体;③圆柱;④球;⑤正四面体中,三视图完全一样的是 ________.

2

14.用斜二测画法画边长为 2 的正三角形的直观图时,如果在已知图形中取的 x 轴和正三角 形的一边平行,则这个正三角形的直观图的面积是 ________. 15.矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D,则四面 体 ABCD 的外接球的体积为____________. 16.如图是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积是________.

三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(10 分) 如图所示,空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 上的点, AE AH 1 CF CG 且满足 = = , = =2. EB HD 2 FB GD (1)求证:四边形 EFGH 是梯形; (2)若 BD=a,求梯形 EFGH 的中位线的长.

18.(12 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,D、E、F 分别为棱 PC、AC、AB 的中点,已知 PA⊥

AC,PA=6,BC=8,DF=5.
求证:(1)直线 PA∥面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC.

3

19.(12 分)如图,正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a,连接 A′C′,A′D,A′B,

BD,BC′,C′D,得到一个三棱锥.求:
(1)三棱锥 A′-BC′D 的表面积与正方体表面积的比值; (2)三棱锥 A′-BC′D 的体积.

20.(12 分)如下图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点.

(1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1; 21.(12)如图,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°, (1)求三棱锥 P-ABC 的体积; (2)证明:在线段 PC 上存在点 M,使得 AC⊥BM,并求 的值.

PM MC

22.(12 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=AC=2AA1=2,∠BAC =120°,D,D1 分别是线段 BC,B1C1 的中点,P 是线段 AD 上异于端点的点.

(1)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l,说明理由,并证明直线 l ⊥平面 ADD1A1; (2)设(1)中的直线 l 交 AC 于点 Q,求三棱锥 A1-QC1D 的体积.

4

十月月考文科数学答案 一.选择题. B C D B C 二.填空题. 13. ②④ A C D D A 6 4 A A 125 π 6

14.

15.

16.

36+128π

三.解答题.

AE AH 1 17.(1)证明 因为 = = , EB HD 2 1 所以 EH∥BD,且 EH= BD. 3
因为 = =2, 2 所以 FG∥BD,且 FG= BD. 3 1 因而 EH∥FG,且 EH= FG, 2 故四边形 EFGH 是梯形. 1 2 (2)解 因为 BD=a,所以 EH= a,FG= a, 3 3 1 1 所以梯形 EFGH 的中位线的长为 (EH+FG)= a. 2 2 18. (1)在△PAC 中,D、E 分别为 PC、AC 中点,

CF CG FB GD

6分

10 分

则 PA∥DE,PA?面 DEF,DE? 面 DEF, 因此 PA∥面 DEF. 1 1 (2)△DEF 中,DE= PA=3,EF= BC=4,DF=5, 2 2 ∴DF =DE +EF ,∴DE⊥EF, 又 PA⊥AC,∴DE⊥AC. ∴DE⊥面 ABC,∴面 BDE⊥面 ABC.
2 2 2

5分

12 分

19.

(1)∵ABCD-A′B′C′D′是正方体,

∴A′B=A′C′=A′D=BC′=BD=C′D= 2a, ∴三棱锥 A′-BC′D 的表面积为 1 3 2 4× × 2a× × 2a=2 3a . 2 2 而正方体的表面积为 6a ,故三棱锥 A′-BC′D 的表面积与正方体表面积的比值为 2 3a 3 . 2 = 6a 3
2 2

6分

(2)三棱锥 A′-ABD,C′-BCD,D-A′D′C′,B-A′B′C′是完全一样的.
5

故 V 三棱锥 A′-BC′D=V 正方体-4V 三棱锥 A′-ABD 1 1 2 a 3 =a -4× × a ×a= . 3 2 3
3

12 分

20.(1)证明:在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5,∴AC⊥

BC.
又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面 BCC1B1. ∵BC1? 平面 BCC1B,∴AC⊥BC1. (2)证明:设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连接 DE,又四边形 BCC1B1 为正方形. ∵D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,∴DE∥AC1. ∵DE? 平面 CDB1,AC1?平面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1. 12 分 6分

21.(1)在△ABC 中,AB=1,AC=2,∠BAC=60° 1 1 3 ? S△ABC= AB·AC·sin∠BAC= ×1×2×sin60°= . 2 2 2 又∵PA⊥面 ABC, ∴PA 是三棱锥 P-ABC 的高, 1 1 3 3 ∴V 三棱锥 P-ABC= PA·S△ABC= ×1× = . 3 3 2 6 (2)过点 B 作 BN 垂直 AC 于点 N,过 N 作 NM∥PA 交 PC 于 M,则 5分

MN⊥面ABC? ?

?? ? AC? 面ABC?

? ? ?? ? MN∩BN=N?

MN⊥AC

AC⊥面BMN? ?
? BM? 面BMN?

?? AC⊥BM,

9分

3 1 CM CN 2 3 PM 1 此时 M 即为所找点,在△ABN 中,易知 AN= ? = ? = ? = . 2 PC AC 2 4 MC 3

12 分

22.

(1)在平面 ABC 内,过点 P 作直线 l 和 BC 平行.

2分

理由如下: 由于直线 l 不在平面 A1BC 内,l∥BC, 故直线 l 与平面 A1BC 平行. 在△ABC 中,∵AB=AC,D 是线段 AC 的中点, ∴AD⊥BC,∴l⊥AD. 又∵AA1⊥底面 ABC,∴AA1⊥l. 而 AA1∩AD=A,∴直线 l⊥平面 ADD1A1. 6分

6

(2)过点 D 作 DE⊥AC 于点 E. ∵侧棱 AA1⊥底面 ABC,∴三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱, 则易得 DE⊥平面 AA1C1C. 在 Rt△ACD 中,∵AC=2,∠CAD=60°, ∴AD=AC·cos60°=1, ∴DE=AD·sin60°= 3 . 2

1 1 ∴S△QA1C1= ·A1C1·AA1= ×2×1=1, 2 2 ∴三棱锥 A1-QC1D 的体积

VA1-QC1D=VD-QA1C1= ·S△QA1C1·DE= ×1×

1 3

1 3

3 3 = . 2 6

12 分

7


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