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上海宝山区2013年一模数学试卷与答案


数学试卷 8
本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

考生注意:
1.本试卷包括试题卷和答题纸两部分,答题纸另页,正反面. 2.在本试题卷上答题无效,必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3.可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格

内直接 写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.在复数范围内,方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的根是 2.已知 ? ? . .

2? ?1 ? 2 ? ?3 ? ? X ?? ? ? ? ,则二阶矩阵 X= ?3 1 ? ? ? 5 ? 1?

3.设 A(2,3), B(?1,5) ,且 AD ? 3 AB ,则点 D 的坐标是__________. 4.已知复数 ( x ? 2) ? yi ( x, y ? R )的模为 3 ,则 5.不等式 x ?
3

y 的最大值是 x

.

7 9 ? 的解集是 _________________. 2 2


6.执行右边的程序框图,若 p ? 0.95 ,则输出的 n ? 开始 输入 p

n ? 1,S ? 0

S? p?




S?S?
7.将函数 f ( x) =

1 2 nx 3 sin

输出 n 的图像按向量 n ? (?a,0) ( a > 0 )平移,所得图像对应的函数 结束 .

1 cos x n ? n ?1 为偶函数,则 a 的最小值为

8.设函数 f ( x) 是定义在 R 上周期为 3 的奇函数, 且 f (?1) ? 2 , 则 f2 0 ( 1 ) 2 0 ( 1 2 ) ?f 9.二项式 ( x ?

?

_.

1
3

x

)10 展开式中的常数项是

(用具体数值表示)

10.在 ?ABC 中,若 B ? 60?, AB ? 2, AC ? 2 3, 则?ABC 的面积是
n ??


[

11.若数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 3? n ? (?2)? n?1 ,则 lim(a1 ? a 2 ? ? ? a n ) =_______. 12.已知半径为 R 的球的球面上有三个点,其中任意两点间的球面距离都等于

?R ,且经过 3

这三个点的小圆周长为 4? ,则 R= . 13.我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系,如 3|12 表示 3 整除 12.试类比课本中不 等关系的基本性质,写出整除关系的两个性质.①__________________________________; ②______________________________________. 14.设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 是平面直角坐标系上的两点,定义点 A 到点 B 的曼哈顿距离 则 L( A, B) 的最小值为 L( A, B) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 . 若点 A(-1,1),B 在 y 2 ? x 上, .

二、选择题 (本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.现有 8 个人排成一排照相,其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为??( )
3 3 (A) P 5 ?P 3 8 6 3 (B) P 8 ?P 6 ?P 3 3 5 (C) P 6 ?P 5 8 4 ( D) P 8 ?P 6

16. 在 △ ABC 中 , 有 命 题 : ① AB ? AC ? BC ; ② A B ? BC ?

uuu r uuu r

uuu r

u uur

u u ur u u r r C? 0 A;③若

u u ur u u ur u u ur u u ur uuu r uuu r ( A B? A C )? ( A ? B A)C ?,则△ 0 ABC 是等腰三角形;④若 AB ? CA ? 0 ,则△ABC 为
锐角三角形.上述命题正 确的是??????????????????????( (A) ②③ (B) ①④ (C) ①② (D) ②③④ 17.函数 f ( x) ? x | arcsin x ? a | ?b arccos x 是奇函数的充要条件是???????( (A) a ? b ? 0
2 2

) )

(B) a ? b ? 0

(C) a ? b

(D) ab ? 0 )

18.已知 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ?[ ?1,0),
2 ? x ? 1, x ? [0,1],

则下列函数的图像错误的是????????(

(A) f ( x ? 1) 的图像 (B) f (? x) 的图像 (C) f (| x |) 的图像 (D) | f ( x) | 的图像 三、解答题 (本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要步骤。 19. (本题满分 12 分)

AB ? AC ? 2 ,∠ BAC = 90 ,E 是 AA1 的 如图,直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的体积为 8,且
中点,O 是 C1B1 的中点.求异面直线 C1E 与 BO 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)

O C1 A1 E A

B1
C1

O A1 E

B1

B
F C

B A

C

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分.
π 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A >0, ? >0, | ? | < ) 的图像与 y 轴的交点为(0,1) , 2

它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 ( x0 , 2) 和 ( x0 ? 2π, ?2). (1) 求 f ( x) 的解析式及 x0 的值; (2)若锐角 ? 满足 cos? ? 的值.
1 ,求 f (4? ) 3

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小 题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? log 2 (4x ? b ? 2x ? 4) , g ( x) ? x . (1)当 b ? ?5 时,求 f ( x) 的定义域; (2)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 b 的取 值范围. 22.(本题满分 16 分 )本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分. 设抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,经过点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点.
2

(1)若 p ? 2 ,求线段 AF 中点 M 的轨迹方程 ; (2) 若直线 AB 的方向向量为 n ? (1, 2) ,当焦点为 F ?

?1 ? , 0 ? 时,求 ?OAB 的面积; ?2 ?

(3) 若 M 是抛物线 C 准线上的点,求证:直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3

小题满分 8 分. 已知定义域为 R 的二次函数 f ( x) 的最小值为 0 ,且有 f ,直线 ( 1 ? x ) ? f ( 1 ? x ) 被 f ( x) 的 图 像 截 得 的 弦 长 为 4 17 , 数 列 ?an ? 满 足 a g () x ? 4 ( x ? 1 ) 1 ?2 ,
* aa ? g af ? a ?? 0 n N ? ? ? ? ? ? ? ? n ? 1 n n n
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(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求数列 ?a n ? 的通项公式; (3)设 b ,求数列 ?bn ? 的最值及相应的 n ? 3 fa ? g a ?? ? ? n n n ? 1
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上海市宝山区 2013 届高三一模数学试题 参考答案
考生注意:
1.本试卷包括试题卷和答题纸两部分,答题纸另页,正反面. 2.在本试题卷上答题无效,必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3.可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1.在复数范围内,方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的根是 2.已知 ? ?

.?

2? ?1 ? 2 ? ?3 ? ? X ?? ? ? ? ,则二阶矩阵 X= ?3 1 ? ? ? 5 ? 1?

1 3 ? i 2 2 ? ?1 0 ? .? ? ? ?2 ?1?
.

3.设 A(2,3), B(?1,5) ,且 AD ? 3 AB ,则点 D 的坐标是__________ (?7,9) ; 4.已知复数 ( x ? 2) ? yi ( x, y ? R )的模为 3 ,则 5.不等式 x ?
3

y 的最大值是 x

3

7 9 ? 的解集是 _________________. [?1, 2] 2 2
.6

6.执行右边的程序框图,若 p ? 0.95 ,则输出的 n ? 开始 输入 p

n ? 1,S ? 0

S? p?




S?S?

1 2n

输出 n 结束

n ? n ?1

7.将函数 f ( x) =

3 sin x 的图像按向量 n ? (?a,0) ( a > 0 )平移,所得图像对应的函数 1 cos x
.

为偶函数,则 a 的最小值为

5 ? 6
( 2 0 1 2 ) ?f
0 ? _.

8.设函数 f ( x) 是定义在 R 上周期为 3 的奇函数, 且 f (?1) ? 2 , 则 f( 2 0 1 1 ) 9.二项式 ( x ?
6 (?1) 6 C10 ? 210

1
3

x

)10 展 开 式 中 的 常 数 项 是

(用具体数值表示)

10.在 ?ABC 中,若 B ? 60?, AB ? 2, AC ? 2 3, 则?ABC 的面积是

.2 3

11.若数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 3? n ? (?2)? n?1 ,则 lim(a1 ? a 2 ? ? ? a n ) =_______.
n ??

7 6

12.已知半径为 R 的球的球面上有三个点,其中任意两点间的球面距离都等于 这三个点的小圆周长为 4? ,则 R= .2 3

?R ,且经过 3

13.我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系,如 3|12 表示 3 整除 12.试类比课本中不 等 关 系 的 基 本 性 质 , 写 出 整 除 关 系 的 两 个 性 质 . ① _____________________ ; ② _______________________. 解答参考:① a | b, b | c ? a | c ;② a | b, a | c ? a | (b ? c) ; ③ a | b, c | d ? ac | bd ;④ a | b, n ? N * ? an | bn 14.设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 是平面直角坐标系上的两点,定义点 A 到点 B 的曼哈顿距离

L( A, B) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 . 若 点 A(-1,1),B 在 y 2 ? x 上 , 则 L( A, B) 的 最 小 值
为 .

7 4

二、选择题 (本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.现有 8 个人排成一排照相,其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为??( C)
3 3 (A) P 5 ?P 3 8 6 3 (B) P 8 ?P 6 ?P 3 3 5 (C) P 6 ?P 5 8 4 ( D) P 8 ?P 6

16. 在 △ ABC 中 , 有 命 题 : ① AB ? AC ? BC ; ② A B ? BC ?

uuu r uuu r

uuu r

u uur

u u ur u u r r C? 0 A;③若

u u ur u u ur u u ur u u ur uuu r uuu r ( A B? A C )? ( A ? B A)C ?,则△ 0 ABC 是等腰三角形;④若 AB ? CA ? 0 ,则△ABC 为
锐角三角形.上述命题正确的是??????????????????????(A) (A) ②③ (B) ①④ (C) ①② (D) ②③④ 17.函数 f ( x) ? x | arcsin x ? a | ?b arccos x 是奇函数的充要条件是???????( A ) (A) a ? b ? 0
2 2

(B) a ? b ? 0

(C) a ? b

(D) ab ? 0

18.已知 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ?[ ?1,0),
2 ? x ? 1, x ? [0,1],

则下列函数的图像错误的是????????( D )

(A) f ( x ? 1) 的图像 (B) f (? x) 的图 像 (C) f (| x |) 的图像 (D) | f ( x) | 的图像 三、解答题 (本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要步骤. 19. (本题满分 12 分)

AB ? AC ? 2 ,∠ BAC = 90 ,E 是 AA1 的 如图,直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的体积为 8,且

中点,O 是 C1B1 的中点.求异面直线 C1E 与 BO 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)

O C1 A1 E A

B1
C1

O A1 E

B1

B
F C

B A

C

解:由 V ? S ? AA1 ? 8 得 AA 1 ? 4 ,?????????3 分 取 BC 的中点 F,联结 AF,EF,则 C1F / / BO , 所以 ?EC1F 即是异面直线 C1E 与 BO 所成 的角,记为 ? . ?????????5 分

C1F 2 ? 18 , C1E 2 ? 8 , EF 2 ? 6 ,?????????8 分
cos ? ? C1F 2 ? C1E 2 ? EF 2 5 ? ,?????????11 分 2C1F ? C1E 6
5 ??????????????????12 分 6

因而 ? ? arc cos

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分.
π 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A >0, ? >0, | ? | < ) 的图像与 y 轴的交点为(0,1) ,它 2

在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 ( x0 , 2) 和 ( x0 ? 2π, ?2). (1)求 f ( x) 的解析式及 x0 的值; (2)若锐角 ? 满足 cos? ? 的值. 解: (1)由题意可得 A ? 2,
1 ,求 f (4? ) 3

T 2π ? 2π,T =4π, ? 4π 即 2 ?

??

1 ,?????????3 分 2

π 1 π f ( x) ? 2sin( x ? ? ), f (0) ? 2sin ? ? 1, 由 | ? | < ,?? ? . 2 2 6

π? ?1 f ( x) ? 2sin ? x ? ? ?????????? ?????????????????5 分 6? ?2

1 π 1 π π 2π f ( x0 ) ? 2sin( x0 ? ) ? 2, 所以 x0 ? ? 2kπ+ , x0 ? 4kπ+ (k ? Z), 2 6 2 6 2 3



x0 是最小的正数,? x0 ?

2π ; ????????????????????7 分 3

π 1 2 2 , (2) ? ? (0, ), cos ? ? ,? sin ? ? 2 3 3 7 4 2 ? cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ? ,sin 2? ? 2sin ? cos ? ? , ????????????10 分 9 9

π 4 2 7 4 6 7 f (4? ) ? 2sin(2? ? ) ? 3 sin 2? ? cos 2? ? 3 ? ? ? ? .???????14 分 6 9 9 9 9 21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

已知函数 f ( x) ? log 2 (4x ? b ? 2x ? 4) , g ( x) ? x . (1)当 b ? ?5 时,求 f ( x) 的定义域; (2)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 b 的取值范围. 解: (1)由 4 x ? 5 ? 2 x ? 4 ? 0 ??????????????????3 分 解得 f ( x) 的定义域为 (??,0) ? (2, ??) .?????????6 分

4 ? (2)由 f ( x) ? g ( x) 得 4 x ? b ? 2 x ? 4 ? 2 x ,即 b ? 1 ? ? 2 x ? x 2 ?

? ? ????????9 分 ?

4? ? 令 h( x) ? 1 ? ? 2 x ? x ? ,则 h( x) ? ?3 ,??????????????????12 分 2 ? ?

? 当 b ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立.??????????????????14 分
22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小 题满分 7 分. 设抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,经过点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点.
2

(1 )若 p ? 2 ,求线段 AF 中点 M 的轨迹方程; (2) 若直线 AB 的方向向量为 n ? (1, 2) ,当焦点为 F ?

?1 ? , 0 ? 时,求 ?OAB 的面积; ?2 ?

(3) 若 M 是抛物线 C 准线上的点,求证:直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列. 解:(1) 设 A( x0 , y0 ) , M ( x, y ) ,焦点 F (1, 0) ,

x ?1 ? x? 0 ? ? x0 ? 2 x ? 1 ? 2 则 由题意 ? ,即 ? ??????????????2 分 ? y0 ? 2 y ? y ? y0 ? ? 2
所求的轨迹方程为 4 y 2 ? 4(2 x ?1) ,即 y 2 ? 2 x ? 1??????????4 分 (2) y 2 ? 2 x , F ( , 0) ,直线 y ? 2( x ? ) ? 2 x ? 1 ,????????5 分
2 1

1 2

由?

? y2 ? 2x 得, y 2 ? y ?1 ? 0 , ? y ? 2x ?1
1 5 y1 ? y 2 ? ?????????????????7 分 2 2 k
?????????????????8 分

AB ? 1 ?
d? 1 , 5

S ?OAB ?

1 5 d AB ? 2 4

?????? ???????????9 分

(3)显然直线 MA、MB、MF 的斜率都存在,分别设为 k1、k2、k3 . 点 A、B、M 的坐标为 A(x1 ,y1 )、B(x2 ,y 2 )、M(设直线 AB: y ? k ? x ?

p ,m). 2

? ?

2p p? 2 2 ? ,代入抛物线得 y ? k y ? p ? 0 ,????????11 分 2?

所以 y1 y2 ? ? p 2 ,?????????????????12 分 又 y12 ? 2 px1 , y22 ? 2 px2 , 因而 x1 ?

p y12 p 1 p y2 p p4 p p ? ? ? y12 ? p 2 ? ,x2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? y12 ? p2 ? 2 2 2p 2 2p 2 2 p 2 2 py1 2 2 y12

? p2 2? 2 y ? ? m? 1 ? 2 y ? m y2 ? m 2 p ? y1 ? m ? ? y1 ? ? ? 2m ? ? ? ? ? 14 ? ? ? 因 而 k1 ? k2 ? 1 2 2 2 2 p p p p ? y1 ? p ? p ? y1 ? p ? x1 ? x2 ? 2 2


而 k3 ?

0?m 2m ?? ,故 k1 ? k2 ? 2k3 .????????????????? 16 p ? p? p ??? ? 2 ? 2?

分 23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 已知定义域为 R 的二次函数 f ( x) 的最小值为 0 ,且有 f ,直线 ( 1 ? x ) ? f ( 1 ? x ) 被 f ( x) 的 图 像 截 得 的 弦 长 为 4 17 , 数 列 ?an ? 满 足 a g () x ? 4 ( x ? 1 ) 1 ?2 ,
* aa ? g af ? a ?? 0 n N ? ? ? ? ? ? ? ? n ? 1 n n n
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(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求数列 ?a n ? 的通项公式; (3)设 b ,求数列 ?bn ? 的最值及相应的 n ? 3 fa ? g a ?? ? ? n n n ? 1
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2 23 解: (1)设 f ( x) ? a?x ? 1? ?a ? 0? ,则直线 g ( x) ? 4( x ?1) 与 y ? f ( x) 图像的两个交点
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为(1,0) ,?

16? ?4 ? 1, ? ???????????????????2 分 ?a a?
2

2 ? 4 ? ? 16 ? ? ? ? ? ? ? ? 4 17?a ? 0? ,? a ? 1 , fx () ? x ? 1 ??????4 分 ? ? ?a? ? a ?

2

a ? a ? 1 , g a ? 4 a ? 1 (2) f ??? ? ?? ? ? n n n n
2

? aa ? · 41 a ? ? a ? 1 ? 0 ? ?? ? ? ? n ? 1 n n n
2

???????????????5 分 ? a ? 1 4 a ?? 31 a ? 0 ? ? ? n n ? 1 n ?

? a ? 2 , ? a ? 1 , 4 a ? 3 a ? 1 ? 0 ????????????6 分 1 n n ? 1 n

3 ? a ? 1 ?? a ? 1 , a ? 11 ? ? n ? 1 n 1 4 3 a 1 数列 ? ?是首项为 1,公比为 的等比数列???????????8 分 n? 4
3 3 ? ? ? ? ???????????????10 分 ??? a a 1 ?? ? n 1?? , n? ? ? ? ? 4 4
n ? 1 n ? 1

2 n ?1 ? n ? ? 3 n ?1 ? 2 ?? 3 ?n ?1 ? ? ? ? ?3? ? ?3? (3) b ? 3 a ? 1 4 a ? 1 ? 3 ?? ? ? ? 4 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? n n n ? 1 ?4? ? ?4? ? ? ? ?? 4 ? ? ?? 4 ? ? ? ?? ?

2

?3 ? 令b , u?? ? n ?y ?4 ?

n ? 1

2 2 ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 , 则y ? 3 u ?? ?? ? 3 u ?? ? ????12 分 ? ? ? ? 2 ? 4 ? 4 ? ? ? ? ? 2

3 9 2 7 9 1 * ,? 的值分别为 1 ? n ? N u , , , ??,经比较 距 最近, 4 1 6 6 4 16 2 189 ∴当 n 时, bn 有最小值是 ? ,??????????????15 分 ? 3 256
当 n? 时, bn 有最大值是 0 ????????????????18 分 1
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