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25南通市海安高级中学2012-2013学年高三(上)12月检测数学试卷


2012-2013 学年江苏省南通市海安高级中学高三(上)12 月检测数学 试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填在答题卡相应的位置 上) 1. 分)复数 (5 (i 为虚数单位)的实部是 ﹣1 .

考点: 复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 把给出的复数分子分母同时乘以 1+i,整理成 a+bi(a,b∈R)的形式,则实部可求. 解答: 解: . 所以复数 (i 为虚数单位)的实部是﹣1.

故答案为﹣1. 点评: 本题考查了复数的基本概念,考查了复数代数形式的乘除运算,复数的除法采用分组 分母同时乘以分母的共轭复数,此题是基础题. 2. 分) (5 (2012?泉州模拟)集合 A={3,2 },B={a,b},若 A∩B={2},则 A∪B= 2,3} .
a

{1,

考点: 并集及其运算;交集及其运算. a 分析: 根据题意,若 A∩B={2},则 2∈A,则可得 2 =2,可得 a 的值,进而可得 b 的值,再 由并集的意义,可得答案. 解答: 解:根据题意,若 A∩B={2},则 2∈A,2∈B, a a 而已知 A={3,2 },则必有 2 =2, 故 a=1, 又由 2∈B,且 a=1 则 b=2, 故 A∪B={1,2,3}, 故答案为{1,2,3}. 点评: 本题综合考查并集、交集的意义与运算,要求学生有一定的逻辑分析能力. 3. 分)已知等比数列{an}的各项都为正数,它的前三项依次为 1,a+1,2a+5,则数列{an} (5 n﹣1 的通项公式 an= 3 . 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 因为此等比数列的前三项依次为 1,a+1,2a+5,根据等比数列的性质可得,第 2 项的 平方等于第 1 第 3 项之积,列出关于 a 的方程,由各项都大于 0,求出满足题意的方 程的解即可得到 a 的值,然后把 a 的值代入得到前 3 项的值,根据前 3 项的值分别求
1

出等比数列的首项和公比,根据首项和公比即可写出等比数列的通项公式. 2 解答: 解:由 1,a+1,2a+5 为等比数列的前 3 项,得到(a+1) =2a+5, 2 化简得:a =4,由 a+1>0 得到 a>﹣1,所以解得 a=2, 所以等比数列的前 3 项依次为:1,3,9,则 a1=1,q=3, n﹣1 则数列{an}的通项公式 an=3 . n﹣1 故答案为:3 点评: 此题考查学生掌握等比数列的性质,灵活运用等比数列的通项公式化简求值,是一道 综合题.

4. 分)若 θ∈( (5



) ,sin2θ=

,则 cosθ﹣sinθ 的值是





考点: 三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 计算题. 分析: 求出表达式的平方的值,根据角的范围确定表达式的符号,求出值即可. 解答: 2 解: (cosθ﹣sinθ) =1﹣sin2θ= ,又 ,cosθ<sinθ 所以 cosθ﹣sinθ= 故答案为: . ,

点评: 本题是基础题,考查三角函数的化简求值,注意角的范围三角函数的符号的确定,是 本题的关键.

5. 分) (5 (2013?哈尔滨一模)设 , , 是单位向量,且 于 60° . 考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题. 分析: 根据 , , 是单位向量,且 的夹角. 解答: 解:∵ , , 是单位向量,且 ∴ ∴两边平方可得:1+1﹣2cos ∴cos ∵ = =1 ,

,则向量 , 的夹角等

,可得

,两边平方,即可求得向量 ,

2

∴ 故答案为:60° 点评: 本题考查向量知识的运用,考查向量的数量积,解题的关键是等式两边平方. 6. 分)若函数 y=lnx+2x﹣6 的零点为 x0,则满足 k≤x0 的最大整数 k= 2 . (5 考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数零点的判定定理即可得出. 解答: 解:∵f(2)=ln2﹣2<0,f(3)=ln3>0,∴函数 y=lnx+2x﹣6 的零点 x0∈(2,3) . ∴满足 k≤x0 的最大整数 k=2. 故答案为 2. 点评: 熟练掌握函数零点的判定定理是解题的关键. 7. 分)定义在 R 上的可导函数 y=f(x)满足 f(x+5)=f(﹣x)(2x﹣5)f′(x)>0.已 (5 , 知 x1<x2,则“f(x1)>f(x2)”是“x1+x2<5”的 充分必要 条件. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 求出函数 y=f(x)图象的对称轴,然后根据(2x﹣5)f'(x)>0,判定函数在对称轴 两侧的单调性,最后根据函数的单调性对充分性和必要性分别加以验证,即可得到本 题答案. 解答: 解:∵f(5+x)=f(﹣x) ,∴函数 y=f(x)的图象关于 x= 对称 ∵(2x﹣5)f'(x)>0, ∴x> 时,f'(x)>0,可得函数 f(x)单调递增;当 x< 时,f'(x)<0,可得函 数 f(x)单调递减 ①当 f(x1)>f(x2)时,结合 x1<x2,由函数单调性可得 ≤x2<5﹣x1 或 x1<x2< ∴x1+x2<5 成立,故充分性成立; ②当 x1+x2<5 时,因为 x1<x2,必有 x1<5﹣x2≤ 成立, 所以结合函数的单调性,可得 f(x1)>f(x2)成立,故必要性成立 综上所述,“f(x1)>f(x2)”是“x1+x2<5”的充分必要条件. 故答案为:充分必要 点评: 本题给出函数单调性的命题, 要我们进行充分必要性的判断, 主要考查函数的单调性、 用导函数的正负判断函数单调和充分必要条件的判定等知识,属于属中档题. 8. 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 的图象过点 A(2,1) (5 ,且在点 A 处的切线方程 2x ﹣y+a=0,则 a+b+c= 0 . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.
3
3 2

专题: 计算题;导数的概念及应用. 3 2 分析: 由函数 f(x)=x +ax +bx+c 的图象过点 A(2,1) ,推导出 8+4a+2b+c=1,由 f(x) 在点 A 处的切线方程 2x﹣y+a=0,推导出 f′(2)=3×4+2a×2+b=2,a=﹣3,由此能 求出 a+b+c 的值. 3 2 解答: 解:∵函数 f(x)=x +ax +bx+c 的图象过点 A(2,1) , ∴8+4a+2b+c=1, 2 且 f′(x)=3x +2ax+b, ∵f(x)在点 A 处的切线方程 2x﹣y+a=0, ∴f′(2)=3×4+2a×2+b=12+4a+b=2, f(x)在点 A 处的切线方程为 y﹣1=2(x﹣2) ,即 2x﹣y﹣3=0,





解得 a=﹣3,b=2,c=1, ∴a+b+c=﹣3+2+1=0. 故答案为:0. 点评: 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程的求法及其应用,解题时要认真审 题,注意等价转化思想的合理运用. 9. 分)在平面直角坐标系中,两条平行直线的横截距相差 20,纵截距相差 15,则这两 (5 条平行直线间的距离为 12 . 考点: 两条平行直线间的距离. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 作出图形,利用等面积,即可得到结论. 解答: 解:由题意,如图所示, 设两条平行直线间的距离为 d,则 AB=20,BC=15,AB⊥BC ∴BC=25 由等面积可得 ×15×20= ×25×d, ∴d=12 故答案为:12.

点评: 本题考查两条平行直线间的距离,考查学生的计算能力,属于基础题.

4

10. 分) (5 (2012?桂林一模)半径为 4 的球面上有 A,B,C,D 四点,且满足 AB⊥AC, AC⊥AD,AD⊥AB,则 S△ ABC+S△ ACD+S△ ADB 的最大值为(S 为三角形的面积) 32 . 考点: 基本不等式;球内接多面体. 专题: 计算题;压轴题. 2 2 2 2 分析: AB=a, 设 AC=b, AD=c, 根据 AB⊥AC, AC⊥AD, AD⊥AB, 可得 a +b +c =4R =64, 而 S△ ABC+S△ ACD+S△ ADB= (ab+ac+bc) ,利用基本不等式,即可求得最大值为. 解答: 解:设 AB=a,AC=b,AD=c, ∵AB⊥AC,AC⊥AD,AD⊥AB,∴a +b +c =4R =64 ∴S△ ABC+S△ ACD+S△ ADB= (ab+ac+bc)≤ (a +b +c )=32 ∴S△ ABC+S△ ACD+S△ ADB 的最大值为 32 故答案为:32. 点评: 本题考查求内接几何体,考查基本不等式的运用,属于基础题.
2 2 2 2 2 2 2

11. 分)已知 A(3, (5

) 是原点,点 P 的坐标为(x,y)满足条件 ,O



则 z=

的取值范围是 [﹣3,3] .

考点: 向量的投影;简单线性规划. 专题: 计算题. 分析: 由已知,z 即为 在 上的投影.先根据约束条件画出可行域,再利用 z 的几何意义 求范围.只需求出向量 围. 解答: 解: 和 的夹角的余弦值的取值范围,从而得到 z 的取值范

=

=



∵ ∴当 当 时, 时,

, =3, =﹣3,

∴z 的取值范围是[﹣3,3]. 故答案为:[﹣3,3].

5

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的思 想,属中档题.巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础,纵观目标 函数包括线性的与非线性,非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸,使得规 划问题得以深化. 12. 分)若对 x,y∈[1,2],xy=2,总有不等式 (5 是 a≤0 . 考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题. 分析: 先根据均值不等式求得: (2﹣x) (4﹣y)的最大值,要使不等式 成立,则实数 a 的取值范围

成立,

需(2﹣x) (4﹣y)≥a 成立.求出(2﹣x) (4﹣y)的最小值即可. 解答: 解: ,即 a≤(2﹣x) (4﹣y)恒成立,只需 a≤(2﹣x) (4﹣y)的最小 值 而(2﹣x) (4﹣y)=8﹣4x﹣2y+xy =8﹣(4x+2y)+2 =10﹣(4x+2y) =10﹣(4x+ ) 令 f(x)=10﹣(4x+ ) x∈[1,2]

则导数 f'(x)=﹣(4﹣

)=

≤0

故 f(x)在 x∈[1,2]是减函数 所以当 x=2 时取最小值 0 即(2﹣x) (4﹣y)的最小值为 0 所以 a≤0 点评: 本题主要考查了本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.属基础题. 13. 分)给出下列四个命题: (5 2 2 ①“k=1”是“函数 y=cos kx﹣sin kx 的最小正周期为 π”的充要条件;

6

②函数 y=sin(2x﹣
2

)的图象沿 x 轴向右平移

个单位所得的函数表达式是 y=cos2x;

③函数 y=lg(ax ﹣2ax+1)的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是(0,1) ; ④设 O 是△ ABC 内部一点,且 ,则△ AOB 与△ AOC 的面积之比为 1:2;

其中真命题的序号是 ④ (写出所有真命题的序号) . 考点: 命题的真假判断与应用;充要条件;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 应用题. 2 2 分析: ①当 k=﹣1 时,函数 y=cos kx﹣sin kx=cos2x 的最小正周期也为 π;②函数 y=sin(2x ﹣ ) 的图象沿 x 轴向右平移 个单位所得的函数表达式是 y=sin[2 (x ) ﹣ ]

化简 即可 ③由函数 y=lg(ax ﹣2ax+1)的定义域是 R 可得 ax ﹣2ax+1>0 恒成立,分类讨论① 若 a=0,② 可判断;④设 AC 边上的中线为 BD,由 O 是△ ABC
2 2

内部一点,且

,可得 O 为 BD 的中点,
2 2

=

可求

解答: 解:①当 k=﹣1 时,函数 y=cos kx﹣sin kx=cos2x 的最小正周期也为 π,故①错误 ②函数 y=sin (2x﹣ (x )﹣ ]=
2

) 的图象沿 x 轴向右平移

个单位所得的函数表达式是 y=sin[2

=﹣cos2x,故②错误
2

③由函数 y=lg(ax ﹣2ax+1)的定义域是 R 可得 ax ﹣2ax+1>0 恒成立,①若 a=0, 满足条件② 解可得 0<a<1,从而有 0≤a<1,故③错误

④设 AC 边上的中线为 BD,由 O 是△ ABC 内部一点,且

,可得 O

为 BD 的中点,

=

= ,正确

故答案为:④ 点评: 本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断,函数图象的平移及对数函数 的定义域,函数的恒成立问题的求解,是一道综合题. 14. 分) (5 (2010?崇文区一模)定义在 R 上的函数满足 f(0)=0,f(x)+f(1﹣x)=1, ,且当 0≤x1<x2≤1 时,f(x1)≤f(x2) ,则 = .

考点: 函数的值. 专题: 计算题;综合题.
7

分析: 先由已知条件 f(0)=0,f(x)+f(1﹣x)=1, (1)=1, ,可得 f( )= ,

求出一些特值,f

再由当 0≤x1<x2≤1 时,(x1) (x2) 结合 f ≤f , 时,f(x)= , 再利用条件 将 逐步转化到

=f ) ( 可以看出 x∈

内,代入求解即可. 对称,

解答: 解:由 f(x)+f(1﹣x)=1 可知 f(x)的图象关于 由 f(0)=0 得 f(1)=1, ,

中令 x=1 可得 f( )= , 又因为 0≤x1<x2≤1 时,f(x1)≤f(x2) , 所以 x∈ 由 时,f(x)= , 可得 = 因为 所以 所以 故答案为: 点评: 本题考查抽象函数的性质的应用问题及转化思想,综合性较强,难度较大. 二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (14 分) (2010?陕西)如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ )海里的两个 观测点,现位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 海里的 C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多长时间? , , ,

8

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题. 分析: 先根据内角和求得∠DAB 和, ∠DBA 及进而求得∠ADB, 在△ ADB 中利用正弦定理 求得 DB 的长,进而利用里程除以速度即可求得时间. 解答: 解:由题意知 AB=5(3+ )海里, ∠DBA=90°﹣60°=30°,∠DAB=90°﹣45°=45°, ∴∠ADB=180°﹣(45°+30°)=105°, 在△ ADB 中,有正弦定理得 ∴DB= = = =10

又在△ DBC 中,∠DBC=60° DC =DB +BC ﹣2×DB×BC×cos60°=900 ∴DC=30 ∴救援船到达 D 点需要的时间为 =1(小时)
2 2 2

答:该救援船到达 D 点需要 1 小时.

点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了学生运用所学知识解决实际问题的能 力. 16. (14 分)如图,M,N,K 分别是正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 AB,CD,C1D1 的中 点. (1)求证:AN∥平面 A1MK; (2)求证:平面 A1B1C⊥平面 A1MK.

9

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题. 分析: 对于(1) ,要证明 AN∥平面 A1MK,只需证明 AN 平行于平面 A1MK 内的一条直线, 容易证明 AN∥A1K,从而得到证明; 对于(2) ,要证明平面 A1B1C⊥平面 A1MK,只需证明平面 A1MK 内的直线 MK 垂 直于平面 A1B1C 即可,而 BC1∥MK 容易证明, 从而问题得以解决. 解答: 证明: (1)连接 KN,由于 K、N 为 CD,C1D1、CD 的中点,所以 KN 平行且等于 AA1,AA1KN 为平行四边形?AN∥A1K,而 A1K?平面 A1MK,AN?平面 A1MK,从 而 AN∥平面 A1MK. (2)连接 BC1,由于 K、M 为 AB、C1D1 的中点,所以 KC1 与 MB 平行且相等, 从而 KC1MB 为平行四边形,所以 MK∥BC1,而 BC1⊥B1C,BC1⊥A1B1,从而 BC1⊥平面 A1B1C,所以: ?MK⊥面 A1B1C?面 A1B1C⊥面 A1MK. 点评: 本题考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理的使用,要注意其中的转化思想 的应用, 即:将线面平行转化为线线平行,将面面垂直转化为线面垂直. 17. (14 分)如图:在平面直角坐标系中,锐角 α 和钝角 β 的终边分别与单位圆交于 A、B 两点. (1)若 A、B 两点的纵坐标分别为 、 (2)已知点 ,求函数 ,求 cos(β﹣α)的值; 的值域.

10

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1) 由三角函数的定义可得 sinα, sinβ, 再由同角三角函数的基本关系可得 cosαcosβ, 代入两角差的余弦公式可得; (2)由数量积的运算可得 f(α)= 得答案. 解答: 解: (1)根据三角函数的定义,得 又 α 是锐角,所以 所以 (2)由题意可知, 所以 因为 从而 ,所以 ,因此函数 , 的值域为 . , , . ,由 α 得范围,逐步求范围可



. . .

,因为 β 是钝角,所以

点评: 本题考查平面向量的数量积的运算,以及三角函数的运算公式和值域,属中档题. 18. (16 分)已知 O 为平面直角坐标系的原点,过点 M(﹣2,0)的直线 l 与圆 x +y =1 交 于 P,Q 两点. (I)若 ,求直线 l 的方程;
2 2

(Ⅱ)若△ OMP 与△ OPQ 的面积相等,求直线 l 的斜率. 考点: 直线与圆的位置关系;直线与圆相交的性质. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)利用两个向量的数量积的定义求出,∠POQ=120°,得到 O 到直线 l 的距离等 于 ,根据点到直线的距离公式求出 直线 l 的斜率,从而得到直线 l 的方程. (Ⅱ)因为△ OMP 与△ OPQ 的面积相等,可得 ,再由 P,Q 两点在圆上,

可解得点 P 的坐标,由两点式求得 直线 l 的斜率. 解答: (Ⅰ)依题意,直线 l 的斜率存在,因为直线 l 过点 M(﹣2,0) 解: ,可设直线 l:y=k (x+2) . 因为 P、Q 两点在圆 x +y =1 上,所以,
2 2



11

因为

,所以,

所以, ∠POQ=120°, 所以, 到直线 l 的距离等于 . 所以, O 所以直线 l 的方程为 ,或 . , ,

, 得



(Ⅱ)因为△ OMP 与△ OPQ 的面积相等,所以, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,所以,



所以, 圆上,

,即

(*) ;

因为,P,Q 两点在

所以,

把 (*) 代入, 得

, 所以,



所以,直线 l 的斜率

,即



点评: 本题考查两个向量的数量积的定义,直线和圆相交的性质,求出点 P 的坐标是解题的 难点. 19. (16 分) (2009?浙江)已知函数 f(x)=x ﹣(k ﹣k+1)x +5x﹣2,g(x)=k x +kx+1, 其中 k∈R. (I)设函数 p(x)=f(x)+g(x) .若 p(x)在区间(0,3)上不单调,求 k 的取值范围; (II)设函数 是否存在 k,对任意给定的非零实数 x1,存在惟一
3 2 2 2 2

的非零实数 x2(x2≠x1) ,使得 q′(x2)=q′(x1)?若存在,求 k 的值;若不存在,请说 明理由. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的单调性与导数的关系. 专题: 计算题;压轴题;分类讨论. 3 2 分析: (I)因 P(x)=f(x)+g(x)=x +(k﹣1)x +(k+5)x﹣1,先求导数:p′(x) , 因 p(x)在区间(0,3)上不单调,得到 p′(x)=0 在(0,3)上有实数解,且无 重根,再利用分离参数的方法得出 ,最后再利用导数求出此函 数的值域即可; (II)先根据题意得出当 k=0 时不合题意,因此 k≠0,下面讨论 k≠0 的情形,分类讨 论: (ⅰ)当 x1>0 时, (ⅱ)当 x1<0 时,最后综合(ⅰ) (ⅱ)即可得出 k 值. 3 2 解答: 解析: (I)因 P(x)=f(x)+g(x)=x +(k﹣1)x +(k+5)x﹣1,
12

p′(x)=3x +2(k﹣1)x+(k+5) , 因 p(x)在区间(0,3)上不单调,所 以 p′(x)=0 在(0,3)上有实数解,且无重根, 2 由 p′(x)=0 得 k(2x+1)=﹣(3x ﹣2x+5) , ∴ 令 t=2x+1,有 t∈(1,7) ,记 , ,

2

则 h(t)在(1,3]上单调递减,在[3,7)上单调递增,所 以有 h(t)∈[6,10) ,于是 ,

得 k∈(﹣5,﹣2],而当 k=﹣2 时有 p′(x)=0 在(0,3)上有两个相等的实根 x=1, 故舍去, 所以 k∈(﹣5,﹣2) ; (II)当 x<0 时有 q′(x)=f′(x)=3x ﹣2(k ﹣k+1)x+5; 2 当 x>0 时有 q′(x)=g′(x)=2k x+k, 因为当 k=0 时不合题意,因此 k≠0, 下面讨论 k≠0 的情形,记 A=(k,+∞) ,B=(5,+∞) (ⅰ)当 x1>0 时,q′(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以要使 q′(x2)=q′(x1)成立,只能 x2<0 且 A?B, 因此有 k≥5, (ⅱ)当 x1<0 时,q′(x)在(﹣∞,0)上单调递减, 所以要使 q′(x2)=q′(x1)成立,只能 x2>0 且 A?B, 因此 k≤5,综合(ⅰ) (ⅱ)k=5; 当 k=5 时 A=B,则?x1<0,q′(x1)∈B=A,即?x2>0, 使得 q′(x2)=q′(x1)成立, 因为 q′(x)在(0,+∞)上单调递增,所以 x2 的值是唯一的; 同理,?x1<0,即存在唯一的非零实数 x2(x2≠x1) , 要使 q′(x2)=q′(x1)成立,所以 k=5 满足题意. 点评: 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系, 即当导函数大于 0 时原函 数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减,同时考查了分析与解决问题的综合 能力,属于中档题. 20. (16 分) (2010?丰台区一模)设集合 W 由满足下列两个条件的数列{an}构成: ① ;②存在实数 M,使 an≤M. 为正整数) (n
2 2

(Ⅰ)在只有 5 项的有限数列{an}、{bn}中,其中 a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5;b1=1, b2=4,b3=5,b4=4,b5=1;试判断数列{an}、{bn}是否为集合 W 中的元素; (Ⅱ)设{cn}是各项为正数的等比数列,Sn 是其前 n 项和, , ,试证明{Sn}∈W,

并写出 M 的取值范围; * (Ⅲ)设数列{dn}∈W,对于满足条件的 M 的最小值 M0,都有 dn≠M0(n∈N ) . 求证:数列{dn}单调递增.
13

考点: 元素与集合关系的判断;数列的函数特性;等比数列的前 n 项和;等比数列的性质. 分析: (Ⅰ)检验这 2 个数列中的各项是否满足①②2 个条件. (Ⅱ){cn}是各项为正数的等比数列,求出公比和首项,得到通项公式,再计算其前 n 项和 Sn, 判断 Sn 是否满足①②2 个条件. (Ⅲ)用反证法证明,若数列{dn}非单调递增,推出与题设矛盾,所以假设不对,命 题得到证明. 解答: 解: (Ⅰ)对于数列{an},取 =a2,显然不满足集合 W 的条件①,故{an}不 是集合 W 中的元素. 分) (2 对于数列{bn},当 n? {1,2,3,4,5}时, 不仅有 , , ,

而且有 bn≤5,显然满足集合 W 的条件①②,故{bn}是集合 W 中的元素. 分) (4 (Ⅱ)∵{cn}是各项为正数的等比数列,Sn 是其前 n 项和, 比为 q>0, ∴ ,整理得,6q ﹣q﹣1=0
2



,设其公

∴q= ,∴

(7 分)

对于“n∈N ,有

*

,且 Sn<2,

故{Sn}∈W,且 M∈[2,+∞)(9 分) . (Ⅲ)证明: (反证)若数列{dn}非单调递增,则一定存在正整数 k,使 dk≥dk+1 成立, 当 n=m+1 时,由 得 dm+2<2dm+1﹣dm,

而 dm+1﹣dm+2>dm+1﹣(2dm+1﹣dm)=dm﹣dm+1≥0,所以 dm+1>dm+2 . 显然在 d1,d2,…,dk 这 k 项中一定存在一个最大值,不妨记为 所以 ,从而 ,
*

.这与题设 dn≠M0(n∈N )相矛盾.

所以假设不成立,故命题得证. (14 分) 点评: 本题考查数列的函数特性,等比数列的性质,等比数列的前 n 项和公式,用反证法证 明数学命题,属于中档题.

14

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