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【高考精品复习】第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第6讲 幂函数与二次函数


第6讲 【高考会这样考】 1.求二次函数的解析式. 2.求二次函数的值域与最值. 幂函数与二次函数 3.利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题. 【复习指导】 本讲复习时, 应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性 质,重点解决二次函数在闭区间上的最值问题,掌握求函数最值的常用方法:配 方法、判别式法、不等式法、换元法、导数法等,注重分类讨论思想与数形结合

思想的综合应用. 基础梳理 1.幂函数的定义 一般地,形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数 x 是自变量,α 为常数. 2.幂函数的图象 1 在同一平面直角坐标系下,幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x2,y=x-1 的图象分 别如右图. 3.幂函数的性质 y=x y=x2 y=x3 1 y=x2 y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) {x|x∈R 且 x≠0} {y|y∈R 且 y≠0} 奇 x∈(0,+∞)时, 值 域 R 奇 [0,+∞) 偶 x∈[0,+∞) R 奇 [0,+∞) 非奇非偶 奇偶性 单调性 增 时,增 x∈(-∞,0] 时,减 增 增 减 x∈(-∞,0)时, 减 定点 4.二次函数的图象和性质 解析式 (0,0),(1,1) (1,1) f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0) 图象 定义域 值域 (-∞,+∞) ?4ac-b ? ? ,+∞? ? 4a ? 2 (-∞,+∞) 4ac-b ? ? ?-∞, ? 4a ? ? 2 单调性 ? b ? 在 x∈?-2a,+∞?上单调递增 ? ? b? ? 在 x∈?-∞,-2a?上单调递增 ? ? b? ? 在 x∈?-∞,-2a?上单调递减 ? ? ? b ? 在 x∈?-2a,+∞?上单调递减 ? ? 奇偶性 顶点 对称性 当 b=0 时为偶函数,b≠0 时为非奇非偶函数 ? b 4ac-b ? ?- , ? 4a ? ? 2a b 图象关于直线 x=-2a成轴对称图形 2 5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0) (2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) (3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 五个代表 1 函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x2,y=x-1 可做为研究和学习幂函数图象和性质的 代表. 两种方法 函数 y=f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(x1)=f(x2),那么函数 y=f(x)的 图象关于 x= x1+x2 2 对称. (2)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x, 都有 f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件 是函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称(a 为常数). 双基自测 1.(2011· 安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1) =( A.-3 ). B.-1 C.1 D.3 解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-3. 答案 A 2.(人教 A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数 y=xn 在第一象 1 限的图象.已知 n 取± 2,± 2四个值,则相应于曲线 C1,C2,C3, C4 的 n 值依次为( 1 1 A.-2,-2,2,2 1 1 C.-2,-2,2,2 答案 B ). 1 1 B.2,

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