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【学案】3.1不等关系与不等式


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3.1 不等关系与不等式(一)
学习目标 1.通过具体情境, 感受在观察现实世界时和日常生活中存在着的大量不等关系,了解不等 式(组)的实际背景. 2.经历由实际问题建立数学模型的过程, 体会其基本方法. 3.总结建立不等式模型的基本思路. 4.体会数学在生活中的重要作用, 提高观察、抽象的

能力,培养严谨的思维习惯. 要点精讲 1.实数的全序性:如果 x 是实数,那么 x ? 0, x ? 0 和 x ? 0 三者有且只有一个成立; 2.实数平方的非负性:如果 x 是实数,那么 x ? 0 ,等号当且仅当 x ? 0 时成立;
2

3.两实数大小的定义:在数轴上,右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 由这个实数大小比较的几何定义及减法的意义,可以得到实数大小比较的充要条件: a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b=0 ? a=b ; a ? b<0 ? a<b 。 它可以认为是两实数大小比较的代数定义,通常称为“差式”比较法。 范例分析 例 1 . (1) 限速 40km / h 的路标 , 指示司机在前方路段行驶时 , 应使汽车的速度 v 不超过 40km / h ,可写成不等式 . (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量 f 应不少于 2.5%,蛋白质的含量 p 应不 少于 2.3%,写成不等式组是 .. (3)b 克糖水中有 a 克糖(b>a>0),若再添上 m 克糖(m>0),则糖水就变甜了,试根据事实提 炼一个不等式 . 变式:建筑学规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户的面积与 地板的面积之比应不小于 10%,并且这个比越大,住宅的采光条件越好,问同时增加相 等的窗户面积 和地板面积,住宅的采光条件是变________(填“好”或“坏 ”)

例 2.通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面的周长相等,那么截面是圆的水管和截面是 方的水管哪个流量大?

例 3.汽车在行驶过程中,由于惯性作用,刹车时还要继续向滑行一段距离才能停住,称这 段距离为刹车距离, 刹车距离是分析事故的一个重要因素, 在一个限速为 40 千米/小时 以内的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对时,同时刹车,但还是相撞了. 事故后, 现场测得甲车的刹车距离是略超过 12 米, 乙车的距离略超过 10 米, 又已知甲、 2 乙两种车型刹车距离 s 米与车速 x 千米/小时之间有如下关系:S 甲=0.1x+0.01x ,S 乙 2 =0.05x+0.005x ,问超速应负责任的是谁?

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例 4. 某化工厂从今年一月起,若 不改善生产环境,按现 状生产,每月收入为 70 万元, 同时将 受到环保部门的处罚,第一个月罚 3 万元,以后逐月递增 2 万元.如果从今年一月起投资 500 万元增加回收净化设备(改造设备时间不计),一方面可以改善环境,另一方面也可以 大大降低原料成本.据测算投产后的前 5 个月中的累计净收入是生产时间 n(以月为单位) 的二次函数,生产前 1、前 2 和前 3 个月的累计收入分别可达 101 万元、204 万元和 309 万元,以后稳定在第 5 个月的水平.同时该厂不但不受处罚,而且还将的到环保部门一次 性 100 万元的奖励.问经过多少个月,投资开始见效,即投资改造后的纯收入多于不改造 时的纯收入.

规律总结 1.不等式(组)是刻画不等关系的数学模型. 2.建立不等式模型的基本思路: (1)找出不等关系; (2)语言化不等关系; (3)设变量后,数量化不等关系(列出不等式(组))。 基础训练 一、选择题 1.铁路旅行规定:旅客每人免费携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过 160cm ,设携带 品的外部尺寸长、宽、高分别为 a, b, c (单位:cm ) ,这 个规定用数学关系式表示为( ) A.a ? b ? c ? 160 B.a ? b ? c ? 160 C.a ? b ? c ? 160 D.a ? b ? c ? 160 2.有一件商品若在月初出售,可获利 100 元,然后将本利存入银行(已知银行月息为 2%) ; 若在下月初出售,可获利 120 元,但要付 5 元保管费,则( ) A.本月初出售获利大 B. 下月初出售获利大 C.本月初出售获利与下月初出售获利相同 D.本月初出售获利与下月初出售获利大小不能确定 3.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多 19 km ,那么在 8 天内它的行程就超过 2200km , 如果它每天行驶的路程比原来少 12 km ,那么它行驶同样的路程就得花 9 天多时间,这 辆汽车原来每天行程的千米数 x 满足( ) 256 ? x ? 260 256 ? x ? 258 A. B. C.250 ? x ? 256 D.260 ? x ? 268
[来源:www.shulihua.net]

4.某地每年消耗木材约 20 万 m ,每 m 价 480 元,为了减少木材消耗,决定按 t % 征收木 材税,这样每年的木材消耗量减少 不少于 180 万元,则 t 的范围是
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3

3

5 t 万 m 3 ,为了既减少木材消耗又保证税金收入每年 2

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A.[1,3] B.[2,4] C.[3,5] D.[4,6] 5.下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口 A、B、C 的机动车辆数如图所示,图中 x1 , x2 , x3 分别表示该时段单位时间通过路段 AB , BC
?
?

CA 的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆
数相等) ,则 A. x1 ? x2 ? x3 B. x1 ? x3 ? x2 C. x2 ? x3 ? x1 D. x3 ? x2 ? x1

?

二、填空题 6.某家庭(一家三口)准备利用假期到某地旅游,有甲、乙两家旅行社提供 2 种优惠方案, 甲旅行社的方案是:如果户主买全票一张,其余人可享受五五折优惠;乙旅行社的方案 是:家庭旅游算集体票,可按七五折优惠。如果两家旅行社的原价相同,则选择 旅 行社比较合算。 7.某产品的总成本 C (万元)与产量 x (台)之间有函数关系式 C ? 3000 ? 20 x ? 0.1x ,
2

其中 x ? ? 0, 240? 。若每台产品售价 25 万元,要使生产者不亏本,则产量 x 应满足关 系: 。 8.用一批长为 2.5m 的条形钢材截成长为 60cm 和 43cm 的两种规格的零件毛坯,若要使余 下的废料最少,则材料的利用率是 。 (利用率=

零件毛坯的长度和 ) 钢材总长

三、解答题 9.通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述 问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的兴 趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散。分析结果和实验,用 f (x)表示学 生掌握和接受概念的能力,x 表示提出和讲授概念的时间(单位:分) ,可有以下公式:
? ? 0.1x 2 ? 2.6x ? 43, 0 ? x ? 10 ? f (x) = ? 59, 10 ? x ? 16 ? ? 3x ? 107, 16 ? x ? 30 ?

(1)开讲后 5 分钟与开讲后 20 分钟比较,学生的接受能力何时强一些? (2)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强? (3)一个数学难题,需要 55 的接受能力以及 13 分时间,老师能否及时在学生一直所需 接受能力的状态下讲授完这个难题?

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10.行驶中汽车,在刹车时由于惯性的作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,称这段距 离为刹车距离。在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离 s(米)与汽车 车速 v(千米/ 小时)满足的关系式为 s ?

nv v2 ? (n 为常数,n∈N)现做了两次刹车试验,有关 100 400

数据如图,其中 6 ? s1 ? 8 , 14 ? s 2 ? 17 ⑴求 n 的值; ⑵在使刹车距离不超过 12.6 米时,则行驶的最大速度为多少? S2 S1 40 70 V

四、能力提高 11.某供水公司水池有水 450 吨,每小时注入 80 吨,又 t 小时向居民输出水 80 20t 吨,现 同时输入输出, (1) 小时后水池中水量最少;(2 ) 若水池中低于 150 吨时会 出现供水紧张,则同一天内有 小时供水紧张。 12.某公司全年的纯利润为 b 元,其中一部分作为奖金发给 n 位职工,奖金分配方案如下: 首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由 1 到 n 排序,第 1 位职工得 奖金

b 元,然后将余额除以 n 发给第 2 位职工,按此方案将奖金逐一发给每位职工,并 n

将最后剩余部分作为公司发展基金. (1)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得奖金额,试求 a2 、 a3 ,并用 k、n 和 b 表示 ak(不 必证明) ; (2)证明: ak ? ak ?1 (k=1,2,?,n-1) ,并解释此不等式关于分配原则的实际意义;

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3.1 不等关系与不等式(一) 例 1.解: (1) v ? 40km / h ;(2) ?

? f ? 2.5% a?m a ; (3) > ;变式:好。 b?m b ? p ? 2.3%
2
2

例 2. 解:当水的流速相同时,水管的流量取决于截面面积的大小,设截面的周长为 L ,则截面圆

?4 ?? ? L ? 0 . L2 L2 ? L ? ?L? 面积 S1 ? ? ? , 截面正方形的面积 , S1 ? S2 ? ? S ? ? 2 ? ? ? 16? ? 2? ? 4? ? 4 ? 16
2

2 ? ?0.1x甲 ? 0.01x甲 ? 12 例 3.解:依题意 ? 2 ? ?0.05x乙 ? 0.005x乙 ? 10

① ②

由①解得 x 甲<-40 或 x 甲>30,由②解

得 x 乙<-50 或 x 乙>40,∴乙车超速,应负事故的主要责任. 例 4.解:设不改造设备,按原条件生产, n 个月累就计收入为 a(n) ,改造设备后, n 个月 累计收入为 b(n) .由已知条件 a(n) ? 70n ,且可设 b(n) ? an2 ? bn ? c , n ? 6 .于是

101 ? b(1) ? a ? b ? c , 204 ? b(2) ? 4a ? 2b ? c , 309 ? b(3) ? 9a ? 3b ? c 309= . 得 a ? 1, b ? 100, c ? 0 .

? n2 ? 100n (n ? 5) ? n2 ? 100n (n ? 5) b( n) ? ? ?? ?b(5) ? (n ? 5)[b(5) ? b(4)] (n ? 5) ?109n ? 24 (n ? 5)
经过简单计算可发现,5 个月内不能见效.这是因为

[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

b(5) ? 500 ? 100 ? 125 ? 315 ? a(5) ? (3 ? 7 ? 9 ? 11) ,
令 b(n) ? 500 ? 100 ? a (n) ? [3n ?

2n(2n ? 1) ](n ? 5) . 2
2

即 109n ? 24 ? 400 ? 70n ? 2n ? n ,化简得:
2

n2 ? 41n ? 420 ? 0 .
2

当 5 ? n ? 8 时, n ? 41n ? 420 ? 0 ,当 n ? 9 时 n ? 41n ? 420 ? 0 .所以经过 9 个月才能 见效. 参考答案 1~5 CDACC 2.提示:设商品本金为 a 元,若月初出售,则到下月初共获利 100 ? ? a ?100? ? 2% ;下月 初出售获利 115 元,故不确定。 3.提示: ?

? ? 8 ? x ? 19 ? ? 2200 ; ? ?9 ? x ? 12 ? ? 8 ? x ? 19 ?

4.提示: 480 ? ? 20 ?

? ?

5 ? t ? ? t % ? 180 ; 2 ?
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6.甲;提示:设票价为 m 元,则甲方案需 2.1m 元,乙方案需 2.25m 元。 7. 3000 ? 20 x ? 0.1x ? 25 x ;
2

8. 99.6% ;提示:设截成长为 60cm 和 43cm 的两种规格的零件毛坯分别为 x, y 根, 则 60 x ? 43 y ? 250 , x, y ? N , x ? 4, y ? 5 。当 ? x, y ? ? ? 4,0? 时,余 10cm ; 当 ? x, y ? ? ?3,1? 时,余 27cm ;当 ? x, y ? ? ? 2,3? 时,余 1cm ;当 ? x, y ? ? ? 0,5? 时 ,余

35cm ;当 ? x, y ? ? ? 2,3? 时,最大利用率为

249 ? 99.6% 。 250

[来源:www.shulihua.net]

9.解: (1) f ? 5? ? 53.5 , f ? 20? ? 47 , f ? 5? ? f ? 20? ;
2 (2)当 0 ? x ? 10 时, f ? x ? ? ?0.1x ? 2.6x ? 43 为增函数, f ? x ? ? f ?10? ? 59 ;

当 16 ? x ? 30 时, f ? x ? ? ?3x ? 107 为减函数, f ? x ? ? f ?16? ? 59 ; 故 10 ? x ? 16 ,即开讲后 10 ~ 16 分钟内,学生的接受能力最强;
2 (3)当 0 ? x ? 10 时, f ? x ? ? ?0.1x ? 2.6x ? 43 ? 55 ,得 6 ? x ? 20 ,所以 6 ? x ? 10 ;

52 。 3 52 52 1 ? 6 ? 11 ? 13 。所以老 当6 ? x ? 时,学生的接受能力不少于 55 ,持续时间 t ? 3 3 3
当 16 ? x ? 30 时, f ? x ? ? ?3x ? 107 ? 55 ,得 16 ? x ? 师不能在学生一直所需接受能力的状态下讲授完这个难题。

40n 1600 ? 6? ? ?8 ?5 ? n ? 10 ? ? ? 100 400 10.解:⑴ ? 得 ?5 95 ?n? ?14 ? 70n ? 4900 ? 17 ? 14 ?2 ? 100 400 ?
⑵∵ s ?

∴n ? 6

6v v2 ? ? 12.6 100 400

∴ v ? 24v ? 5040? 0 解得 0 ? v ? 60
2

∴行驶的最大速度为 60 千米/小时 11.解: (1)5; (2) 2.3。

b 1 1 1 1 , a 2= ( 1- ) ·b, a3= ( 1- ) 2·b,?, n n n n n 1 1 k ?1 a k= ( 1- ) ·b . n n 1 1 k ?1 (2)证明:ak- ak ?1 = 2 (1- ) ·b>0,此奖金分配方案体现了按劳分配的原则. n n
12. ( 1)解: a1= 3.1 不等关系与不等式(二) 学习目标

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1.掌握不等式的基本性质; 2.会用不等式的性质证明简单的不等式。 要点精讲 不等式的性质及其推论: 1.性质 1: a ? b ? b ? a ; (对称性) 2.性质 2: a ? b, b ? c ? a ? c ; (传递性) 3.性质 3: a ? b ? a ? c ? b ? c ; (同加保序性) 推论 1: a ? c ? b ? a ? b ? c ; (移项法则 )

[来源:www.shulihua.net]

推论 2: a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; (同向相加保序性) 4.性质 4: a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; (乘正保序性)

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; (乘负反序性)
推论 1: a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ; (正值同向相乘保序性) 推论 2: a ? b, ab ? 0 ?

1 1 ? ; (同号取倒数反序性) a b

推论 3: a ? b ? 0, n ? N ? ? an ? bn ; (非负乘方保序性) 推论 4: a ? b ? 0, n ? N ? ? n a ? n b ; (非负开方保序性)

, b ?0 时, ? 1 ? a ? b; 推论 5: 当a ? 0
范例分析 例 1. 判断下列命题的正误: (1)a < b < 0 = > 0 ?

a b

a a ? 1 ? a ? b; ? 1 ? a ? b 。 (商式比较法) b b

[来源:数理化网]

b ?1; a

(2)a < b < 0 = >

b a ? ; a b
2

(3)a < b < 0 = > a b < b 2 ; (5) a c 2 >b c 2 = > a>b;

(4)a < 0 且 ?1 ? b ? 0 ? a ? ab ? ab (6) ?



?x ? 2 ?x ? y ? 5 。 ?? ? y ? 3 ? xy ? 6

例 2. (1)设 a ? b ? 0 ,比较 (2)已知 ab ? 0, | a |?| b |

a?b a 3 ? b3 与 的大小. 3 3 a?b a ?b

比较

1 1 与 的大小. a b
m? n

例 3. (1)设 a ? 0, b ? 0 ,m, n ? N 且 1 ? m ? n , 试比较 a

? bm?n 与 a mbn ? a nbm 的大小;

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(2)设 a ? 0, b ? 0, 试比较 a b 与 a b 的大小.
a b b a

例 4. (1)已知 ?

? ? ? ? ? ? ? , 求 ? ? ? 的取值范围 2 2

(2)设 f ? x ? ? ax 2 ? bx ,且 1 ? f ? ?1? ? 2, 2 ? f ?1? ? 4 ,求 f ? ?2? 的取值范围。

规律总结 比较法:差比、商比。 欲证 A ? B ,只需证明 A ? B ? 0 就行了,这就是差式比较法;当 A, B ? 0 时,欲证 A ? B , 只需证明 A / B ? 1 即可,这就是商式比较法。其一般步骤是:作差(商) ?变形 ?判断差 (商)的符号 ?结论,其中, “判断差(商)的符号”是目的, “变形”是关键,因式分解、 配方、以及有理化是常用的“变形”手段。 基础训练 一、选择题 1.若 ?1 ? ? ? ? ? 1,则下列不等式恒成立的是 ( A ?2 ? ? ? ? ? 0
4

) D ?1 ? ? ? ? ? 1 ( )

B ?2 ? ? ? ? ? ?1
3

C ?1 ? ? ? ? ? 0

3 4 2.设 m ? n , x ? m ? m n , y ? n m ? n ,则 x, y 的大小关系是

A x? y

Bx ? y

Cx ? y )

D 与 m, n 的取值有关

3.设 x, y ? R , 0 ? xy ? 1,0 ? x ? y ? 1 ? xy ,则( A、 x ? 1, y ? 1 C、 0 ? x ? 1, y ? 1 B、 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 D、 x ? 1, 0 ? y ? 1

4. 已知实数 x, y 满足,? 4 ? x ? y ? ?1, ? 1 ? 4 x ? y ? 5 , 则 9 x ? y 的取值范围是 (



A. [?7,26]

B. [?1,20]

C. [4,15]

D. [1,15]

5.对下列不等式的推论中: ① a ? b ? c ? a ? c ? b ;② a ? b ? c ? (a ? c) 2 ? b 2 ;③ a ? b ? ac ? bc ; 1 1 ④ a ? b ? c ? 0 ? (a ? c)b ? (b ? c)b ;⑤ ac 2 ? bc 2 ? a ? b ;⑥ a ? b, ? ? a ? 0, b ? 0 a b

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a b a b ; ⑧ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ? ; ? c ?a c ?b d c 其中正确命题的个数是 ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 二、填空题
⑦c ?a ?b?0? 6.已知 a<b<0,c<0,则(a–2)c (b–2)c。 (用不等号或等号填空)

7.已知各项大于零的等比数列 ?an ? ,其公比 q ? 1 ,则 a2 ? a7 与 a4 ? a5 的大小关系 是 。
2 2

8.已知 ?1 ? 2a ? 0 , A ? 1 ? a , B ? 1 ? a , C ? 则 A, B, C , D 按从小到大的顺序排列起来是 三、解答题 9. (1)已知 x>y,且 y≠0,比较

1 1 ,D ? , 1? a 1? a


x 与 1 的大小 y

王新敞
奎屯

新疆

(2)设 ?2 ? a ? 7 , 1 ? b ? 2 ,求

a 的取值范围。 b

10.(1) x ? y ? 0 ,试比较 ( x2 ? y 2 )( x ? y) 与 ( x2 ? y 2 )( x ? y) 的大小; (2)设 a ? 0 , b ? 0 且 a ? b ,试比较 ( ab)
a ?b 2

与 a b 的大小。

b a

四、能力提高 11.实数 a, b, c, d 满足下列三个条件:① d ? c ;② a ? b ? c ? d ;③ a ? d ? b ? c 。则将

a, b, c, d 按从小到大的排列起来是



12.设 a ? 0 且 a ? 1 ,比较 loga (a 3 ? 1) 与 loga (a 2 ? 1) 的大小

3.1 不等关系与不等式(二)

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例 1. (2) (3) (6)错误; (1) (4) (5)正确。
3 3 3 3 a 3 ? b3 a ? b ? a ? b ? ? a ? b ? ? ? a ? b ? ? a ? b ? ? 例 2.解: (1) 3 ? a ? b3 a ? b ? a ? b ? ? a 3 ? b3 ?

?a ?
?

2

? b2 ?? a 2 ? ab ? b2 ? ? ? a 2 ? b2 ?? a 2 ? ab ? b2 ?

? a ? b ? ? a 3 ? b3 ?
?

? a ? b ? ? a 3 ? b3 ?

2ab ? a 2 ? b 2 ?

2ab ? a ? b ? , a 3 ? b3
2ab ? a ? b ? a 3 ? b3 a ? b ? ? 0 ,即 。 a 3 ? b3 a 3 ? b3 a ? b

因为 a ? b ? 0 ,所以

(2)

1 1 b?a ? ? ,因为 ab ? 0, | a |?| b | , a b ab 1 1 b?a 1 1 ? 0 ,所以 ? 当 a ? 0, b ? 0 时, a ? b ,此时 ? ? a b ab a b 1 1 b?a 1 1 ? 0 ,所以 ? 。 当 a ? 0, b ? 0 时, a ? b ,此时 ? ? a b ab a b
m?n

例 3.解: (1) a

? b m ? n ? (a mb n ? a nb m ) ? ? a m ? b m ?? a n ? b n ?

因为 a ? 0, b ? 0 , m, n ? N 且 1 ? m ? n ,
m m m m n n 当 a ? b ? 0 时, a ? b , a ? b ,有 a ? b m m m m n n 当 b ? a ? 0 时, a ? b , a ? b ,有 a ? b m m 当 a ? b ? 0 时,有 a ? b

? ?

?? a ?? a

n

? bn ? ? 0 , ? bn ? ? 0 ,

n

?

?? a

n

? bn ? ? 0 ,

所以 a

m? n

? bm?n ? (ambn ? anbm ) 。

n n n?1 n? 2 n ?3 2 评注:若考虑因式分解, a ? b ? ? a ? b ? a ? a b ? a b ?

?

? bn?1 ? ,可避开分类

讨论。

a a bb ? a ? (2) b a ? ? ? a b ?b?

a ?b

,因为 a ? 0, b ? 0 ,
x a ?b

a ?a? ?a? 当 a ? b ? 0 时, ? 1 , a ? b ? 0 , y ? ? ? 为增函数,有 ? ? b ?b? ?b?
x

?a? ? ? ? ?1; ?b?
a ?b

0

当 b ? a ? 0 时, 0 ?

a ?a? ?a? ? 1 , a ? b ? 0 , y ? ? ? 为减函数,有 ? ? b ?b? ?b?

?a? ? ? ? ?1 ; ?b?

0

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当 a ? b ? 0 时,有 ?

?a? ? ?b?
a

a ?b

? 1;
b

所以 a ? 0, b ? 0 时, a b ? a b 。
b a

评注:多项式形式的大小比较,宜用作差比较;指数形式的大小比较,宜用作商比较;变形 过程要彻底。

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2 2 例 4.解: (1)由 ? ? ? ? ? ? 知, ? ? ? ? 0 且 ? , ? ? 2 2 ?? ? ? ? ? ? ? 2 2
相加得 ?? ? ? ? ? ? 0 ,即 ? ???? ??,0? 。 (2)由 ?

? ? ? f ?1? ? a ? b ?2a ? f ?1? ? f ? ?1? ,得 ? , ? ? ? 2b ? f ?1? ? f ? ?1? ? f ? ?1? ? a ? b

从而 f ? ?2? ? 4a ? 2b ? f ?1? ? 3 f ? ?1? ??5,10? 。 评注:本题应从整体考虑 问题,注意同向不等式不能相减,这类问题到讲述线性规划时进 一步深化。 参考答案 1~5 AABBC 4.提示:令 m ? x ? y, n ? 4 x ? y ,则 z ? 9 x ? y ? 5.提示:①②③错误;④⑤⑥⑦⑧正确。 6. ? ;
5 2 3 7. a2 ? a7 ? (a4 ? a5 ) ;提示: a2 ? a7 ?( a4 ? a5 ) ? a2 1 ? q ? q ? q

8 5 n ? m ? ? ?1, 20? ; 3 3

?

?

? a2 ?1 ? q 2 ??1 ? q 3 ? ? 0
8.

1 1 ? 1 ? a2 ? 1 ? a2 ? ; 1? a 1? a

2 ?? 1 ? 3? a ?? a ? ? ? ? a ?1 ? a ? a 2 ? 2 ? 4? 1 1 ?? ? 2 提示: 1 ? a ? ; ? ? ? ? 0 ,1 ? 1 ? a 2 ? 1? a 1? a 1? a 1? a

?a ?1 ? a ? a 2 ? 1 1 2 ,因为 ?1 ? 2a ? 0 ,所以 a ? , 1? a ? ? 4 1? a 1? a
2

有1 ? a ? a ? 1 ?
2

1 1 1 1 ? ? ? 0 ,得 ? 1 ? a 2 ? 1。 2 4 4 1? a

9.解: (1)

x x? y ?1 ? , ∵x>y,∴x-y>0, y y
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当 y<0 时,

x? y x x? y x <0,即 <1;当 y>0 时, >0,即 >1 y y y y

王新敞
奎屯

新疆

1 1 a ? ? 1 ,同向不等式相乘得 0 ? ? 7 ; 2 b b 1 1 a a 当 0 ? ? a ? 2 时, ? ? 1 ,同向不等式相乘得 0 ? ? ? 2 ,即 ?2 ? ? 0 ; 2 b b b a 综上, ?2 ? ? 7 。 b
(2)当 0 ? a ? 7 时, 10.解: (1)因为 x ? y ? 0 ,又 ( x2 ? y 2 )( x ? y) ?( x2 ? y 2 )( x ? y)
2 ? ? x ? y ? ?? x 2 ? y 2 ? ? ? x ? y ? ? ? ?2xy ? x ? y ? ? 0 , ? ?

所以 ( x2 ? y 2 )( x ? y) ? ( x2 ? y 2 )( x ? y) ;

? ab ? (2)仿例 3(2) ,由 a ? 0 , b ? 0 且 a ? b ,

?a? 2 ? ? ? ? 1,得 (ab) a bb a ?b? 11. a ? c ? d ? b ;提示:由 a ? d ? c ? b , a ? d ? b ? c 相加得 a ? c ; 又 b ? d ? c ? a ? 0 ,得 b ? d 。
12.解: (a 3 ? 1) ? (a 2 ? 1) ? a 2 (a ? 1)
3 2 当 0 ? a ? 1时 a ? 1 ? a ? 1 3 2 当 a ? 1时 a ?1 ? a ?1

a ?b 2

a ?b

a ?b 2

? abba 。

∴ loga (a 3 ? 1) > loga (a 2 ? 1)

∴ loga (a 3 ? 1) > loga (a 2 ? 1)

∴总有 loga (a 3 ? 1) > loga (a 2 ? 1) 。

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