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高中数学必修二第三章知识点总结


高中数学必修二第三章知识点总结
一、直线与方程
1.直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行 或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° 2.直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常 用 k 表示。即 k

? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 ? ? 0? ,90? 时, k ? 0 ; 在。 ②过两点的直线的斜率公式: k ?

?

?

当 ? ? 90? ,180? 时, k ? 0 ;

?

?

当 ? ? 90 时, k 不存
?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

注意下面四点:(1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求 得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 3.直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式: ④截矩式:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ?1 a b 其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b 。

⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0) 1 各式的适用范围 2 特殊的方程如: 注意:○ ○ 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ; 4.直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (1)平行直线系 平 行 于 已 知 直 线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是 不 全 为 0 的 常 数 ) 的 直 线 系 :

A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数)
(2)垂直直线系 垂直于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是不全为 0 的常数)的直线系:

B0 x-A0 y +m=0 (m为常数)
(3)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: (ⅱ) 过两条直线 l1 : 为

y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ?x0 , y0 ? ;

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程

,其中直线 l 2 不在直线系中。 ?A1x ? B1 y ? C1 ? ? ??A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数) 5.两直线平行与垂直

(1)当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1 (2)当 l1:A 1 x+B 1y+C1 ? 0,l2 :A 2 x+B2 y +C2 ? 0 l1 l2 ? A1B2 -B1 A2 ? 0且AC 1 2 -C1 A 2 ?0 l1 ? l2 ? A1 A2 +B1B2 ? 0
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 6.两条直线的交点 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
方程组无解 ? l1 // l 2 ; 则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合

B x2 , y2) 7.两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点,
8.点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? Ax0 ? By0 ? C
A2 ? B 2

9.两平行直线距离公式 (1)在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 (2)两条平行直线Ax+By+m=0,Ax+By+n=0的距离

d=

m-n A2 +B2

二同步检测 (一)选择题 1.点 P(-1,2)到直线 8x-6y+15=0 的距离为( (A)2 (B) 1
2

) (D) 7
2

(C)1

2.以A(1,3) ,B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( A 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 ). D 3x+y+2=0



3.图中的直线 l1,l2,l3 的斜率分别为 k1,k2,k3,则( A.k1<k2<k3 C.k3<k2<k1 B.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2

(第 2 题)

4.如果 AC<0,且 BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( A.第一象限 A(-2,1) (A)x+5y-15=0 B.第二象限 C (1,-2) (C) x-y+1=0 C.第三象限 ) D (1,2) (D)y-3=0

). D.第四象限

5.直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该点的坐标是 ( B (2,1) (B)x=3

6.已知 A(1,2) 、B(-1,4) 、C(5,2) ,则Δ ABC 的边 AB 上的中线所在的直线方程为( )

7. .将直线 l 沿 y 轴的负方向平移 a(a>0)个单位,再沿 x 轴正方向平移 a+1 个单位得直 线 l',此时直线 l' 与 l 重合,则直线 l' 的斜率为( A. ). C.

a a+ 1

B. -

a a+ 1

a+ 1 a

D. -

a+ 1 a

8.点(4,0)关于直线 x+y+2=0 的对称点是( A.(-6,8) B.(-8,-6)

). D.(-2,-6)

C.(6,8)

9.直线 2 x ? y ? m ? 0和x ? 2 y ? n ? 0 的位置关系是 (A)平行 (B)垂直 (C)相交但不垂直 (D)不能确定

10.若动点 P 到点 F (1,1) 和直线 3x ? y ? 4 ? 0 的距离相等, 则点 P 的轨迹方程为



) A. 3x ? y ? 6 ? 0 C. x ? 3 y ? 2 ? 0 B. x ? 3 y ? 2 ? 0 D. 3x ? y ? 2 ? 0
.
0

(二)填空题 11.过点P(1,2)且在X轴,Y轴上截距相等的直线方程是

12.直线 x ? y ? 1 ? 0 上一点 P 的横坐标是 3 , 若该直线绕点 P 逆时针旋转 90 得

直线 l ,则直线 l 的方程是


.

13.直线 5x+12y+3=0 与直线 10x+24y+5=0 的距离是 14.若方程 x ? my ? 2x ? 2 y ? 0 表示两条直线,则 m 的取值是
2 2

(三)解答题 15.? ABC 中, A(0,1), AB 边上的高线方程是 x+2y-4=0,AC 边上的中线方程是 2x+y-3=0, 求直线 AB,BC,AC 所在的中线方程

16. .已知点 A(1,1) , B(2, 2) ,点 P 在直线 y ?

1 2 2 x 上,求 PA ? PB 取得 2

最小值时 P 点的坐标。

17.求经过点 A(?2, 2) 并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是 1 的直线方程。

18.直线 l 过点(1,2)和第一、二、四象限,若直线 l 的横截距与纵截距之和为 6,求直 线 l 的方程.

19.过点(2,3)的直线l被两条直线 l1 :2x-5y+9=0, l2 :2x-5y-7=0 所截得的线段 AB 的中 点恰好在直线 x-4y-1=0 上,求直线l的方程

20.已知直线l:2x-y+1=0 和点 A(-1,2),B(0,3),在l上找一点 P,使得|PA|+|PB| 的值最小,并求出最小值


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