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高一数学第三章(第2课时)数列的概念2


高中数学教案

第三章 数列(第 2 课时)

王新敞



题:3.1

数列的概念(二)

教学目的: 1.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同; 2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项; 3.理解数列的前 n 项和与 an 的关系; 4.会由数列的前 n 项和公式求出其通项公式. 教学重点:根据数列的递推公式写出数列的前几项 教学难点:理解递推公式与通项公式的关系 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 由于并非每一函数均有解析表达式一样, 也并非每一数列均有通项公式(有 通项公式的数列只是少数), 因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数 列的范围大大扩展 递推是数学里的一个非常重要的概念和方法 在数列的研究 中,不仅很多重要的数列是用递推公式给出的,而且它也是获得一个数列的通 项公式的途径:先得出较为容易写出的数列的递推公式,然后再根据它推得通 项公式 但是,这项内容也是极易膨胀的,例如研究用递推公式给出的数列的性 质,从数列的递推公式推导通项公式等,这样就会加重学生负担 考虑到学生是 在高一学习,我们必须牢牢把握教学要求,只要能初步体会一下用递推方法给 出数列的思想,能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了 教学过程:
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一、复习引入:上节学习知识点如下 ⒈ 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相 同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以 重复出现. ⒉ 数列的项: 数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个 数列的第 1 项(或首项) ,第 2 项,…,第 n 项,…. ⒊数列的一般形式: a1 , a2 , a3 ,?, an ,?,或简记为 ?an ? ,其中 an 是数列 的第 n 项 ⒋ 数列的通项公式:如果数列 ?an ? 的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一 个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
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5.数列的图像都是一群孤立的点. 6.数列有三种表示形式:列举法,通项公式法和图象法. 7. 有穷数列:项数有限的数列.例如,数列①是有穷数列. 8. 无穷数列:项数无限的数列. 二、讲解新课: 知识都来源于实践,最后还要应用于生活 用其来解决一些实际问题. 观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型. 模型一:自上而下: 第 1 层钢管数为 4;即:1 ? 4=1+3 第 2 层钢管数为 5;即:2 ? 5=2+3 第 3 层钢管数为 6;即:3 ? 6=3+3 第 4 层钢管数为 7;即:4 ? 7=4+3 第 5 层钢管数为 8;即:5 ? 8=5+3 第 6 层钢管数为 9;即:6 ? 9=6+3 第 7 层钢管数为 10;即:7 ? 10=7+3
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若用 an 表示钢管数,n 表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且

an ? n ? 3(1 ≤n≤7)
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型,运用 这一关系,会很快捷地求出每一层的钢管数 这会给我们的统计与计算带来 很多方便 让同学们继续看此图片,是否还有其他规律可循?(启发学生寻找规律) 模型二:上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1
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即 a1 ? 4 ; a2 ? 5 ? 4 ? 1 ? a1 ? 1 ; a3 ? 6 ? 5 ? 1 ? a2 ? 1 依此类推: an ? an?1 ? 1(2≤n≤7) 对于上述所求关系,若知其第 1 项,即可求出其他项,看来,这一关 系也较为重要 定义:
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1.递推公式:如果已知数列 ?an ? 的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与 它的前一项 a n ?1 (或前 n 项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公 式就叫做这个数列的递推公式 说明:递推公式也是给出数列的一种方法
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如下数字排列的一个数列:3,5,8,13,21,34,55,89 递推公式为: a1 ? 3, a2 ? 5, an ? an?1 ? an?2 (3 ? n ? 8) 2.数列的前 n 项和: 数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 称为数列 ?an ? 的前 n 项和,记为 S n .

S1 表示前 1 项之和: S1 = a1
S 2 表示前 2 项之和: S 2 = a1 ? a 2
……

S n?1 表示前 n-1 项之和: S n?1 = a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1
S n 表示前 n 项之和: S n = a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an .
∴当 n≥1 时 S n 才有意义;当 n-1≥1 即 n≥2 时 S n ?1 才有意义. 3. S n 与 an 之间的关系: 由 S n 的定义可知,当 n=1 时, S1 = a1 ;当 n≥2 时, an = S n - S n ?1 , 即 an = ?

?S1 ( n ? 1) . ?S n ? S n ?1 ( n ? 2)

说明:数列的前 n 项和公式也是给出数列的一种方法. 三、例题讲解 例 1 已知数列 ?an ? 的第 1 项是 1,以后的各项由公式 a n ? 1 ? 写出这个数列的前 5 项

1 给出, an?1

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分析:题中已给出 ?an ? 的第 1 项即 a1 ? 1 ,递推公式: a n ? 1 ?

1 an?1

解:据题意可知: a1 ? 1, a 2 ? 1 ?

1 1 2 ? 2, a3 ? 1 ? ? a1 a2 3

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a4 ? 1 ?

1 5 8 ? , a5 ? a3 3 5

例 2 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 3an?1 ? an?2 (n ≥3) ,试写出数 列的前 4 项 解:由已知得 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 3a2 ? a1 ? 7, a4 ? 3a3 ? a2 ? 23 例 3 已知 a1 ? 2 , an?1 ? 2an 写出前 5 项,并猜想 an . 法一: a1 ? 2

a2 ? 2 ? 2 ? 2 2

a3 ? 2 ? 22 ? 23 ,观察可得 an ? 2n


法二:由 an?1 ? 2an

∴ an ? 2an?1

an ?2 a n ?1



an an?1 an?2 a ? ? ? ??? 2 ? 2 n?1 an?1 an?2 an?3 a1

∴ an ? a1 ? 2n?1 ? 2n 例4 已知数列 ?an ? 的前 n 项和,求数列的通项公式:
2 2

⑴ S n =n +2n; ⑵ S n =n -2n-1. 解:⑴①当 n≥2 时, an = S n - S n ?1 =(n +2n)-[(n-1) +2(n-1)]=2n+1; ②当 n=1 时, a1 = S1 =1 +2×1=3; ③经检验,当 n=1 时,2n+1=2×1+1=3, ∴ an =2n+1 为所求. ⑵①当 n≥2 时, an = S n - S n ?1 =(n -2n-1)-[(n-1) +2(n-1)-1]=2n-3; ②当 n=1 时, a1 = S1 =1 -2×1-1=-2; ③经检验,当 n=1 时,2n-3=2×1-3=-1≠-2, ∴ an = ?
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2 2 2 2 2 2

?? 2(n ? 1) 为所求. ?2n ? 3(n ? 2)
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四、练习: 1.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式 (1) a1 =0, a n ?1 = an +(2n-1) (n∈N); (2) a1 =1, a n ?1 =

2a n (n∈N); an ? 2

(3) a1 =3, a n ?1 =3 an -2 (n∈N). 解:(1) a1 =0, a2 =1, a3 =4, a4 =9, a5 =16, ∴ an =(n-1) ; (2) a1 =1, a2 =
2

1 2 1 2 2 2 2 , a3 = ? , a 4 = , a5 = ? , ∴ a n = ; 3 5 n ?1 2 4 3 6
0 1 2

(3) a1 =3=1+2 ? 3 , a2 =7=1+2 ? 3 , a3 =19=1+2 ? 3 ,

a4 =55=1+2 ? 33 , a5 =163=1+2 ? 3 4 , ∴ an =1+2·3 n ?1 ;
2. .已知下列各数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 的公式,求 ?an ? 的通项公式 (1) S n =2n -3n; 解:(1) a1 =-1,
2
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(2) S n = 3 -2.

n

an = S n - S n?1 =2n 2 -3n-[2(n-1) 2 -3(n-1)]=4n-5,
又 a1 符合 a1 =4·1-5, ∴ an =4n-5; (2) a1 =1, an = S n - S n ?1 = 3 -2-( 3 ∴ an = ?
n n ?1

-2)=2· 3

n ?1

,

? 1 n ?1 ?2 ? 3

n ?1 n?2

五、小结 本节课学习了以下内容: 1.递推公式及其用法; 2.通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推公式反映的是相邻 两项(或 n 项)之间的关系. 3. S n 的定义及与 an 之间的关系

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六、课后作业: 1.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项

a1 =1, an = a n?1 +

1 (n≥2) a n ?1 1 (n≥2), a n ?1

解:由 a1 =1, an = a n ?1 +

得 a1 =1, a2 = a1 +

1 1 5 =2, a3 = a2 + ? , a1 a2 2

a 4 = a3 +

1 5 2 29 1 29 10 941 ? ? ? ? ? ? , a5 = a 4 + a 3 2 5 10 a 4 10 29 290
2
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2.已知 S n =an +bn+c,求数列的通项公式 答案: an = ?

?a ? b ? c(n ? 1) ?2an ? a ? b(n ? 2)

七、板书设计(略) 八、课后记:

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