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2016高中数学 第一章 集合与函数概念综合测评(含解析)新人教A版必修1


综合测评(一)

集合与函数概念

(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2014·湖北高考)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 A={1,3,5,6},则?UA=( A.{1,3,5,6} C.{

2,4,7} B.{2,3,7} D.{2,5,7} )

【解析】 ∵全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 A={1,3,5,6}, ∴?UA={2,4,7}. 【答案】 C 2.已知集合 A={x∈N|- 3≤x≤ 3},则必有( A.-1∈A C. 3∈A B.0∈A D.2∈A )

【解析】 ∵A={x∈N|- 3≤x≤ 3}={0,1},∴0∈A. 【答案】 B 3.设集合 A={-1,3,5},若 f:x→2x-1 是集合 A 到集合 B 的映射,则集合 B 可以是( A.{0,2,3} C.{-3,5} B.{1,2,3} D.{-3,5,9} )

【解析】 将 A 中的元素-1 代入得-3,A 中的元素 3 代入得 5,A 中的元素 5 代入得 9,故选 D.

1

【答案】 D 4.(2014·衢州高一检测)下列各组函数表示相等函数的是( A.f(x)=x-2,g(x)= )

x2-4 x+2

|x| B.f(x)= ,g(x)=1

x
2

C.f(x)=x -2x-1,g(t)=t -2t-1 1 (x-1) D.f(x)= ,g(x)= 2 2
0

2

【解析】 D 中 f(x)、g(x)的定义域不同,因此不是相等函数;而 C 只是表示变量的字母不一样,表示的函数是相等的. 【答案】 A 5.已知 y=f(x)是偶函数,且 f(4)=5,那么 f(4)+f(-4)的值为( A.5 B.10 C.8 D.不确定 )

【解析】 ∵y=f(x)是偶函数, ∴f(-4)=f(4)=5, ∴f(4)+f(-4)=10. 【答案】 B 6.(2014·北京高考)已知集合 A={x|x -2x=0},B={0,1,2},则 A∩B=( A.{0} C.{0,2} B.{0,1} D.{0,1,2}
2
2

)

【解析】 ∵A={x|x -2x=0}={0,2},B={0,1,2},∴A∩B={0,2}. 【答案】 C 7.函数 f(x)= 的图象是( |x|

2

x

)

A

B

C

D

?1,x>0, x ? 【解析】 由于 f(x)= =? 所以其图象为 C. |x| ? ?-1,x<0,

【答案】 C 8.若函数 f(x)满足 f(3x+2)=9x+8,则 f(x)的解析式是( A.f(x)=9x+8 B.f(x)=3x+2 C.f(x)=-3x-4 D.f(x)=3x+2 或 f(x)=-3x-4 【解析】 f(3x+2)=9x+8=3(3x+2)+2, ∴f(x)=3x+2. 【答案】 B )

3

9.(2013·重庆高考) (3-a)(a+6)(-6≤a≤3)的最大值为( A.9 【解析】 = 9 B. 2 C.3
2

)

3 2 D. 2

(3-a)(a+6)= -a -3a+18

9? 81 ? 2 -?a +3a+ ?+ 4? 4 ? 2 ? 3? 81 -?a+ ? + , 4 ? 2?



由于-6≤a≤3, 3 9 ∴当 a=- 时, (3-a)(a+6)有最大值 . 2 2 【答案】 B 10.若函数 f(3-2x)的定义域为[-1,2],则函数 f(x)的定义域为( )

? 5 ? A.?- ,-1? ? 2 ?
C.[-1,5]

B.[-1,2]

?1 ? D.? ,2? ?2 ?

【解析】 由-1≤x≤2,得-1≤3-2x≤5, 故选 C. 【答案】 C

4

? ?2,x>0, 11.若函数 f(x)=? 2 则满足 f(a)=1 的实数 a 的值为( ? ?x ,x≤0,

)

A.-1

B.1

C.-2

D.2
?a≤0, ?
2

【解析】 依题意,知满足 f(a)=1 的实数 a 必不超过零,于是有? 选 A. 【答案】 A

?a =1, ?

由此解得 a=-1,

?1? 12.函数 f(x)是定义在[0,+∞)上的增函数,则满足 f(2x-1)<f? ?的 x 的取值范围是( ?3? ?1 2? A.? , ? ?3 3? ?1 2? C.? , ? ?2 3? ?1 2? B.? , ? ?3 3? ?1 2? D.? , ? ?2 3?

)

2x-1≥0, ? ? 1 2 【解析】 根据题意,得? 1 解得 ≤x< ,选 D. 2 3 2x-1< , ? 3 ? 【答案】 D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横线上) 13.设集合 M={x|x 是小于 5 的质数},则 M 的真子集的个数为________. 【解析】 由题意可知 M={2,3},∴M 的真子集有?,{2},{3}共 3 个. 【答案】 3
5

14.用列举法表示集合:M=?m?
?

?

? 10 ∈Z,m∈Z? ?=________. ?m+1 ?

【解析】 由 1,4,9.

10

m+1

∈Z,且 m∈Z,知 m+1 是 10 的约数,故|m+1|=1,2,5,10,从而 m 的值为-11,-6,-3,-2,0,

【答案】 {-11,-6,-3,-2,0,1,4,9} 15.已知集合 A={x|x≥2},B={x|x≥m},且 A∪B=A,则实数 m 的取值范围是________. 【解析】 ∵A∪B=A,即 B? A, ∴实数 m 的取值范围为[2,+∞). 【答案】 [2,+∞) 16.设函数 f(x)= 【解析】 f(x)=

x2+(a+1)x+a 为奇函数,则实数 a=________. x

x2+(a+1)x+a a a =x+ +a+1,因此有 f(-x)=-x+ +a+1,又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)+f(x) x x -x

=0,即 2a+2=0,所以 a=-1. 【答案】 -1 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知全集 U=R,集合 A={x|1≤x<4},B={x|3x-1<x+5},求: (1)A∩B; (2)?UA∪B.

6

【解】 (1)由已知得:

B=(-∞,3),A=[1,4),
∴A∩B=[1,3). (2)由已知得: ?UA=(-∞,1)∪[4,+∞), ?UA∪B=(-∞,3)∪[4,+∞).
?-x+3,x≤0, ? 18.(本小题满分 12 分)(2014·西安高一检测)已知函数 f(x)=? ?4x,x>0. ?

(1)求 f(f(-1)). (2)若 f(x0)>2,求 x0 的取值范围. 【解】 (1)因为 f(-1)=-(-1)+3=4, 所以 f(f(-1))=f(4)=4×4=16. (2)当 x0≤0 时,令 2<-x0+3, 得 x0<1,此时 x0≤0; 1 当 x0>0 时,令 2<4x0,得 x0> . 2 1 所以 x0≤0 或 x0> . 2 19.(本小题满分 12 分)设全集 U={2,4,-(a-3) },集合 A={2,a -a+2},若?UA={-1},求实数 a 的值.
2 2

7

? ?-1∈U, 【解】 由?UA={-1},可得? ? ?-1?A, ?-(a-3) =-1, ? 所以? 2 ?a -a+2≠-1, ?
2

解得 a=4 或 a=2. 当 a=2 时,A={2,4},满足 A? U,符合题意; 当 a=4 时,A={2,14},不满足 A? U,故舍去. 综上,a 的值为 2. 20.(本小题满分 12 分)某省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为 交通车,已知该车每次拖 4 节车厢,一天能来回 16 次,如果每次拖 7 节车厢,则每天能来回 10 次. (1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数解析式; (2)在(1)的条件下, 每节车厢能载乘客 110 人. 问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数. 【解】 (1)设每天来回 y 次,每次挂 x 节车厢,由题意设 y=kx+b. 当 x=4 时,y=16,当 x=7 时,y=10,得到 16=4k+b,10=7k+b. 得到 16=4k+b,10=7k+b. 解得 k=-2,b=24,∴y=-2x+24. (2)设每天来回 y 次,每次挂 x 节车厢,由题意知,每天挂车厢最多时,运营人数最多, 设每天运营 S 节车厢,则 S=xy=x(-2x+24)=-2x +24x=-2(x-6) +72, 所以当 x=6 时,Smax=72,此时 y=12,则每日最多运营人数为 110×72=7 920(人).
2 2

8

即这列火车每天来回 12 次,才能使运营人数最多,每天最多运营人数为 7 920 人. 2x+1 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= . x+1 (1)判断函数在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论; (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值. 【解】 (1)f(x)在[1,+∞)上是增函数. 2x1+1 2x2+1 x1-x2 证明如下:任取 x1,x2∈[1,+∞),且 x1<x2,f(x1)-f(x2)= - = . x1+1 x2+1 (x1+1)(x2+1) ∵x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0,∴f(x1)<f(x2), ∴函数 f(x)在[1,+∞)上是增函数. (2)由(1)知函数 f(x)在[1,4]上是增函数, 2×4+1 9 2×1+1 3 ∴最大值为 f(4)= = ,最小值为 f(1)= = . 4+1 5 1+1 2 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= (1)确定函数 f(x)的解析式; (2)当 x∈(-1,1)时判断函数 f(x)的单调性,并证明; (3)解不等式 f(2x-1)+f(x)<0. 【解】 (1)由题意可知 f(-x)=-f(x),

ax+b ?1? 2 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f? ?= . x2+1 ?2? 5

9



-ax+b ax+b 2 =- 2 ,∴b=0. 1+x 1+x

∴f(x)= 2. 1+x

ax

?1? 2 ∵f? ?= ,∴a=1. ?2? 5
∴f(x)= 2. 1+x (2)f(x)在(-1,1)上为增函数. 证明:设-1<x1<x2<1,则

x

f(x1)-f(x2)=


2- 2 1+x1 1+x2

x1

x2

(x1-x2)(1-x1x2) 2 2 (1+x1)(1+x2)

∵-1<x1<x2<1,∴x1-x2<0,∴1-x1x2>0, 1+x1>0,1+x2>0, ∴ (x1-x2)(1-x1x2) <0. 2 2 (1+x1)(1+x2)
2 2

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)在(-1,1)上为增函数. (3)∵f(2x-1)+f(x)<0,∴f(2x-1)<-f(x),

10

又 f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数, ∴f(2x-1)<f(-x), -1<2x-1<1, ? ? ∴?-1<-x<1, ? ?2x-1<-x, 1 ∴0<x< . 3

? 1? ∴不等式 f(2x-1)+f(x)<0 的解集为?0, ?. ? 3?

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