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上海市杨浦区2014学年高三一模数学试卷(文)含答案


杨浦区 2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研
数学学科试卷(文科)
2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2015.1.

考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上.

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知 sin?

?

1 , ? ? ? 0, ? ? ,则 ? =________________. 2

2.设 A ? x 1 ? x ? 3 , B ? ?x m ? 1 ? x ? 2m ? 4, m ? R? , A ? B ,则 m 的取值范围是________. 3.已知等差数列 ?an ? 中, a3 ? 7, a7 ? 3 ,则通项公式为 an ? ________________. 4.已知直线 l 经过点 A ?1, ?2 ? , B ? ?3, 2 ? ,则直线 l 的方程是___________________. 5. 函数 f ?x ? ? x 2 ? 1?x ? 0? 的反函数 f
9

?

?

?1

?x ? ?



1? ? 6.二项式 ? x ? ? 的展开式中的第4项是_________________. x? ?
2 7.不等式 log 2 x ? 3 x ? 2 的解是____________________.

?

?

8.已知条件 p : x ? 1 ? 2 ;条件 q : x ? a ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围 是 .

9.向量 a ? ? 2,3? , b ? ? ?1, 2 ? ,若 ma ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 m =_________. 10.一家 5 口春节回老家探亲,买到了如下图的一排 5 张车票: 窗口 6排A座 6排B座 6排C座 走廊 6排D座 6排E座 窗口 其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的座位,小孙女喜欢看风景要坐靠窗的座位,则座位的安 排方式一共有__________种。 11.已知一个铁球的体积为 36? ,则该铁球的表面积为______________. 12.已知集合 A ? { z | z ? 1 ? i ? i ?
2

? i n , n ? N *} ,则集合 A 的子集个数为_______.

第 1 页 共 1 页

13 .设 △ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . 若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab , 则角

C ? _________.
14. 如图所示,已知函数 y ? log 2 4 x 图像上的两点 A, B 和函数 y ? log2 x 上的点 C ,线段 AC 平行于 y 轴, 三角形 ABC 为正三角形时, 点 B 的坐标为

? p, q ? ,

则实数

p 的值为_______________.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.程序框图如图所示,若其输出结果是 140,则判断框中填写的是( A. i ? 7 B. i ? 8 C. i ? 7 D. i ? 8 16.给出下列命题,其 中正确的命题是( A.若 x ? C ,则方程 x ? 2 只有一个根
3


开始



i ? 1, s ? 0

B.若 z1 ? C , z2 ? C 且 z1 ? z2 ? 0 ,则 z1 ? z2 C.若 z ? R ,则 z ? z ? z 不成立
2 D.若 z ? C ,且 z ? 0 ,那么 z 一定是纯虚数

i ? i ?1

2

s ? s ? i2
是 否 输出 s

17.圆心在抛物线 y 2 ? 2 x 上,且与 x 轴和抛物线的准线都相切的 一个圆的方程是( ) B. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? D. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ?
1 ?0 4 1 ?0 4

A. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 C. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0

结束 第 15 题图

18.数列 ?an ? , ?bn ? ,若区间 ? an , bn ? 满足下列条件:
* ① ?an?1 , bn?1 ? ? ? an , bn ? n ? N ;② lim ? bn ? an ? ? 0 ,

?

?

?

n??

则称 ? ? an , bn ? ? 为区间套。下列选项中,可以构成区间套的数列是(

?

?



第 2 页 共 2 页

?1? ?2? A. an ? ? ? , bn ? ? ? ; ?2? ?3? ?1? C . an ? , bn ? 1 ? ? ? n ? 3?
n ?1
n

n

n

n ?1? B. an ? ? ? , bn ? 2 n ?1 ?3?
D . an ?

n

n?3 n?2

, bn ?

n?2 n ?1

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 . 如图,正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面边长为 1,异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小为

60? ,求:
(1)线段 A1 B1 到底面 ABCD 的距离; (2)三棱椎 B1 ? ABC1 的体积。
A1

D1

C1

B1

D A

C

B

第 3 页 共 3 页

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . ,现要在其中圈出一块矩形场 2 地 ABCD 作为儿童乐园使用,其中点 A、B 在弧 MN 上,且线段 AB 平行于线段 MN (1)若点 A 为弧 MN 的一个三等分点,求矩形 ABCD 的面积 S; (2)当 A 在何处时,矩形 ABCD 的面积 S 最大?最大值为多少?
O D C

如图,有一块扇形草地 OMN,已知半径为 R, ?MON ?

?

M A B

N

21. (本题满分 14 分)第一小题 3 分,第二小题 5 分,第三小题 6 分. 已知函数 f ? x ? ?

ax 2 ? 1 是奇函数( a, b, c 为常数) bx ? c

(1) 求实数 c 的值; (2) 若 a, b ? N * ,且 f ?1? ? 2, f ? 2? ? 3 ,求 f ? x ? 的解析式; (3) 对于(2)中的 f ? x ? ,若 f ? x ? ? m 有正数解,求实数 m 的取值范围。

第 4 页 共 4 页

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第一小题 3 分,第二小题 6 分,第三小题 7 分 如图,曲线 ? 由曲线 C1 :

x2 y 2 x2 y 2 C : ? ? 1? y ? 0 ? 组 ? ? 1 a ? b ? 0, y ? 0 和曲线 ? ? 2 a 2 b2 a 2 b2

成,其中点 F1 , F2 为曲线 C1 所在圆锥曲线的焦点,点 F3 , F4 为曲线 C2 所在圆锥曲线的焦点; (1)若 F2 ? 2,0? , F3 ? ?6,0? ,求曲线 ? 的方程; (2)对于(1)中的曲线 ? ,若过点 F4 作直线 l 平行于曲线 C2 的渐近线,交曲线 C1 于点 A、 B,求三角形 ABF1 的面积; (3)如图,若直线 l (不一定过 F4 )平行于曲线 C2 的渐近线,交曲线 C1 于点 A、B,求证: 弦 AB 的中点 M 必在曲线 C2 的另一条渐近线上。
y

F3

F1 O

F2 B A

F4

x

第 5 页 共 5 页

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分.
3 数列 ?an ? 各项均不为 0,前 n 项和为 S n , bn ? an , bn 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? Sn2

(1) 若数列 ?an ? 共 3 项,求所有满足要求的数列; (2) 求证: an ? n ? n ? N * ? 是满足已知条件的一个数列; (3) 请构造出一个满足已知条件的无穷数列 ?an ? ,并使得 a2015 ? ?2014

文科评分参考 一、 填空题

第 6 页 共 6 页

1.

?
6



5? 6

2. ? ?

? 1 ? ,0 ? 2 ? ?

3. 10 ? n n ? N 4. x ? y ? 1 ? 0

?

*

?

5. ? x ? 1 ? x ? ?1? 6. ?84 x3 7.

? ??, ?1? ? 4, ???
1 2

8. a ? 1 9. ?

10.24 11. 36? 12.16 13.

2? 3

14. 3 二、选择题 15.B 16.D 17.D 18.C 三、解答题 19. (本题 12 分,第一小题 6 分,第二小题 6 分) 解: (1) AD / / BC ,

? ?CBC1 为异面直线 AD 与 BC1 所成角,? ?CBC1 ? 60?
第 7 页 共 7 页

…………2 分

正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 ,? A ,BB1 ? 面ABCD 1B 1 / /面ABCD

?线段BB1 的长为线段 A1 B1 到底面 ABCD 的距离,

…………4 分

RT ?BCC1 中, BC ? 1 , ?CBC1 ? 60? ,? BB1 ? CC1 ? 3
线段 A1 B1 到底面 ABCD 的距离为 3 (2) VB1 ? ABC1 ? VA?BB1C1 …………6 分 …………8 分

1 ?1 ? ? ?1? ? ?1? 3 ? 3 ?2 ?
? 3 6

…………10 分

…………12 分

20. (本题 14 分,第一小题 6 分,第二小题 8 分) (1)解:如图,作 OH ? AB 于点 H,交线段 CD 于点 E,连接 OA、OB,

??AOB ?

?
6



…………2 分
D

O

C E

? AB ? 24sin

?
12

, OH ? 12 cos

?
12


M N

1 ? OE ? DE ? AB ? 12sin 2 12

H A B

? ? ? ? ? EH ? OH ? OE ? 12 ? cos ? sin ? 12 12 ? ?
S ? AB ? EH ? 24sin

…………4 分

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 ? cos ? sin ? ? 144 ? 2sin cos ? 2sin 2 ? 12 12 12 ? 12 12 12 ? ? ?

?

? ? ?1 4 4 ? s i n? 6 ?

? ? co ?s ? ? 1 6 ?

?

7? 2

?

3

1

…………6 分

第 8 页 共 8 页

(2)设 ?AOB ? ? ? 0 ? ? ?

? ?

??
? 2?

…………7 分

则? AB ? 24sin

?
2

, OH ? 12 cos

?
2

, OE ?

1 ? AB ? 12sin 2 2
…………9 分

? ? ? EH ? OH ? OE ? 1 2? c o s ? 2 ?

?? s i? n 2?

? ? ?? ? ? ?? ? ? 2 S ? A B? E H? 24 sin ? ? 12 cos ? s i n? ? 1 4 4 2 s i n ? c os ? ? 2 2 2? 2 2 2 ? ? ?
? ?? ? ? ? 144 ? sin ? ? cos ? ? 1? ? 144 ? 2 sin ?? ? ? ? 1? 4? ? ? ?

2 sin

…………11 分

? ? ? 3? ? ? ?? ? ? ? 0, ? ,?? ? ? ? , ? 2 4 4 4
? ? ? ?

…………12 分

?? ?

?
4

?

?
2

即? ?

? 时, 4

…………13 分

1 A 在弧 MN 的四等分点处 ? ,此时 ? 144 ? 2 ? 1? 答:当 A 在弧 MN 的四等分点处时, S Sm a x? 1 4 4 2 ?
max

?

…………14 分

21. (本题 14 分,第一小题 3 分,第二小题 5 分,第三小题 6 分) (1)

f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,?
?? b x ?c ? ? b x ?c

ax2 ?1 ax2 ?1 ?? ?bx ? c bx ? c

…………1 分 …………2 分 …………3 分

?c ? 0

(2)

? a ?1 ?2 ? ? b f ?1? ? 2, f ? 2? ? ?3 , ? ? ? 4a ? 1 ? 3 ? ? 2b

…………4 分

第 9 页 共 9 页

? ? 4a ? 1
? ? 2b

?a ? 1 ? 2b ?

?3

?

4a ? 1 ? 3 ? ?1 ? a ? 2 a ?1

…………5 分

a ? N * ?a ? 1

…………6 分 …………7 分

?b ? 1

? f ? x? ?

x2 ? 1 x

…………8 分

(3)? f ? x ? ? m 有正数解, ? x ?

1 ? m ? x ? 0 ? 有解 x

…………10 分

x ? 0时,x ?
?m ? 2

1 ? 2 ,当且仅当 x ? 1 时等号成立 x

…………12 分 …………14 分

22. (本题 16 分,第一小题 3 分,第二小题 6 分,第三小题 7 分)
2 2 2 ? ?a ? b ? 36 ? ?a ? 20 ?? 2 解: (1) ? 2 2 ?a ? b ? 4 ?b ? 16 ? ?

…………2 分

则曲线 ? 的方程为

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1? y ? 0 ? 和 ? ? 1? y ? 0 ? 。 20 16 20 16
2 x 5

…………3 分

(2) F4 ? 6,0? ,曲线 C2 的渐近线 y ? ?

…………4 分

设l : y ?

5 ? x ? 6 ? , A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 2

…………5 分

? x2 y 2 ? ?1 ? ? 20 16 ? x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 ? x1 ? 2, x2 ? 4 ? ?y ? 5 x ?6 ? ? ? 2 ?

…………7 分

第 10 页 共 10 页

? y1 ? y2 ?

2 4 x1 ? x2 ? 5 5
1 16 5 ? 2 ? 6? ? y1 ? y2 ? 2 5

…………8 分

S?ABF1 ? S?AF1F4 ? S?BF1F4 ?

…………9 分

(3)曲线 C2 的渐近线为 y ? ?

b x a

…………10 分

如图,设直线 l : y ?

b ? x ? m? a

…………11 分

b ? y ? ? x ? m? ? ? a 则? 2 ? 2 x 2 ? 2mx ? ? m2 ? a 2 ? ? 0 2 ? x ? y ?1 ? ? a 2 b2

…………12 分

? ? ? 2 m ? ? 4 ? 2 ? ? m 2 ? a 2 ? ? 4 ? 2 a 2 ? m 2 ? ? 0 ? ? 2 a ? m ? 2a
2

又由数形结合知 m ? a ,? a ? m ? 2a 设点 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , M ? x0 , y0 ? ,

…………13 分

? x1 ? x2 ? m ? 则? m2 ? a 2 , x ? x ? ? 1 2 2 ?

…………14 分

? x0 ?

x1 ? x2 m b b m ? , y0 ? ? x0 ? m ? ? ? ? 2 2 a a 2

…………15 分

? y0 ? ?

b b x0 ,即点 M 在直线 y ? ? x 上。 a a

…………16 分

23. (本题 18 分,第一小题 6 分,第二小题 6 分,第三小题 6 分)
3 (1) n ? 1 时, T1 ? S12 ? a1 ? a12 ? a1 ? 1? a1 ? 0舍去?

……1 分

第 11 页 共 11 页

2 3 3 ? a13 ? a2 ? ? a1 ? a2 ? ? 1 ? a2 ? ?1 ? a2 ? n ? 2 时, T2 ? S 2 2

2

? a2 ? 2或a2 ? ?1? a2 ? 0舍去?
3 3 +a3 ? ? a1 +a2 +a3 ? n ? 3 时, T3 ? S32 ? a13 +a2 3 当 a2 ? 2 时, 1+8+a3 ? ?1+2+a3 ? 2 2

…………3 分

? a3 ? 3或a3 ? ?2 ? a3 ? 0舍去?
3 ? 1-1+a3 当 a2 ? ?1 时, 1-1+a3

…………4 分

?

?

2

? a3 ? 1? a3 ? 0舍去? …………5 分
…………6 分

所以符合要求的数列有: 1,2,3 ; 1,2,-2 ; 1,-1,1 (2)

an ? n ,即证 13 ? 23 ? 33 ?

? n3 ? ?1 ? 2 ? 3 ?

? n? ,
2

用数学归纳法证: 1. n ? 1 时, 1 ? 1 成立
3 2
3 3 3 2.假设 n ? k , 1 ? 2 ? 3 ?

…………7 分

? k 3 ? ?1 ? 2 ? 3 ?
3

? k ? 成立 …………8 分
2

则 n ? k ? 1 时, 13 ? 23 ? 33 ?
? 1? k ? k ? ? 1? k 3 ? ? ? ? k ?1 ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ?

? k 3 ? ? k ? 1? ? ?1? 2 ? 3 ?

? k ? ? ? k ? 1?
2

3

?

?

2

?

?

?

?? ?
? ? ?

2

?

? 1? k ? k ? 2 k ? 4k ? 4 ? ? ? 2 ? ?
2

?

?

??

?? ?
? ? ?

2

? 1 ? k ?1 ? k ?1 ?? ? 2 ? ?

?

??

?? ?
? ? ?

2

?? ?1? 2 ? 3 ?
?

? k ? ? k ?1?? ?
?

2

等式也成立 综合 12,对于 n ? N * ,都有 13 ? 23 ? 33 ?
? an

…………10 分

? n3 ? ?1 ? 2 ? 3 ?

? n?

2

…………11 分 …………12 分

? n ? n ? N * ? 是满足已知条件的一个数列。
3 3 Sn 2 ? a1 ? a2 ? 3 ① an

(3)

第 12 页 共 12 页

2 3 3 Sn ?1 ? a1 ? a2 ?

3 3 ? an ? an ?1 ②

2 3 ②-①得 2an?1 ? Sn ? an ?1 ? an?1

2 2 an?1 ? 0 , 2Sn ? an?1 ? an ?1 ? 2Sn ? an?1 ? an?1 ③

…………14 分

n ? 2 时 2S

n?1

2 ? an ? an ④

2 2 2 2 ③-④得 2an ? an ?1 ? an?1 ? an ? an ? an?1 ? an ? an?1 ? an

…………15 分

?? an?1 ? an ?? an?1 ? an ?1? ? 0
? an?1 ? ?an 或 an?1 ? an ? 1 ? n ? 2?
构造: ⅰ) an
? n ? ?? n ?2014 ? ?1 ?

…………16 分

? n ? 2014, n ? N ? ? ? ? n ? 2015, n ? N ?
* *

…………18 分

? n ? ? ? ⅱ) an ? ?n ? 4029 ? ? n ? 4028 ? ?
? n ? ? ? ⅲ) an ? ??2014 ? ? n?2 ? ?

? 2015 ? n ? 4028, n ? N ? ? n ? 4029, n ? N ?
* *
*

? n ? 2014, n ? N ?
*

? n ? 2014, n ? N ? ? n ? 2016, n ? N ?
*

? n ? 2015?

? n ? ? ? -2014 ? ? ⅳ) an ? ? 2014 ? ??2014 ? ? n?4 ? ?

? n ? 2014, n ? N ?
*

? n ? 2018, n ? N ?
*

? n ? 2015? ? n ? 2016? ? n ? 2017 ?

第 13 页 共 13 页

(答案不唯一,写出一个即可)

第 14 页 共 14 页


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