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2015年高中数学解析几何解答题汇编(有答案)


高中数学解析几何解答题汇编
一.解答题(共 30 小题) 1. (2014?江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别为椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点,顶点

B 的坐标为(0,b) ,连接 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C. (1)若点 C 的坐标为( , ) ,且 BF2= (2)若 F1C⊥ AB,求椭圆离心率 e 的值. ,求椭圆的方程;

考点: 椭圆的简单性质;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)根据椭圆的定义,建立方程关系即可求出 a,b 的值.
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(2)求出 C 的坐标,利用 F1C⊥ AB 建立斜率之间的关系,解方程即可求出 e 的值. 解答: 解: (1)∵ C 的坐标为( , ) ,

∴ ∵ ∴ a =(
2

,即 ,



) =2,即 b =1, +y =1.
2

2

2

则椭圆的方程为

(2)设 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , ∵ B(0,b) , ∴ 直线 BF2:y=﹣ x+b,代入椭圆方程 + =1(a>b>0)得( )x ﹣
2

=0,

解得 x=0,或 x=



∵ A(



) ,且 A,C 关于 x 轴对称,

1

∴ C(

,﹣

) ,



=﹣

=



∵ F1C⊥ AB, ∴ ×( )=﹣1,

由 b =a ﹣c 得

2

2

2



即 e=



点评: 本题主要考查圆锥曲线的综合问题,要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系,运算 量较大.

2. (2014?安徽)设 F1,F2 分别是椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A,B

两点,|AF1|=3|F1B|. (Ⅰ )若|AB|=4,△ ABF2 的周长为 16,求|AF2|; (Ⅱ )若 cos∠ AF2B= ,求椭圆 E 的离心率.

考点: 椭圆的简单性质;三角形的面积公式. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ )利用|AB|=4,△ ABF2 的周长为 16,|AF1|=3|F1B|,结合椭圆的定义,即可求|AF2|;
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(Ⅱ )设|F1B|=k(k>0) ,则|AF1|=3k,|AB|=4k,由 cos∠ AF2B= ,利用余弦定理,可得 a=3k,从而△ AF1F2 是等腰直角三角形,即可求椭圆 E 的离心率. 解答: 解: (Ⅰ )∵ |AB|=4,|AF1|=3|F1B|, ∴ |AF1|=3,|F1B|=1, ∵ △ ABF2 的周长为 16, ∴ 4a=16, ∴ |AF1|+|AF2|=2a=8, ∴ |AF2|=5; (Ⅱ )设|F1B|=k(k>0) ,则|AF1|=3k,|AB|=4k, ∴ |AF2|=2a﹣3k,|BF2|=2a﹣k ∵ cos∠ AF2B= , ∴ (4k) =(2a﹣3k) +(2a﹣k) ﹣ (2a﹣3k) (2a﹣k) , 化简可得 a=3k, ∴ |AF2|=|AF1|=3k,|BF2|=5k 2 2 2 ∴ |BF2| =|AF2| +|AB| ,
2
2 2 2

∴ AF1⊥ AF2, ∴ △ AF1F2 是等腰直角三角形, ∴ c= ∴ e= = a, .

点评: 本题考查椭圆的定义,考查椭圆的性质,考查余弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.

3. (2014?河南)已知点 A(0,﹣2) ,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是椭圆 E 的右焦点,直线

AF 的斜率为

,O 为坐标原点.

(Ⅰ )求 E 的方程; (Ⅱ )设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△ OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ )设 F(c,0) ,利用直线的斜率公式可得
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,可得 c.又

,b =a ﹣c ,即可解得 a,b;

2

2

2

(Ⅱ )设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) .由题意可设直线 l 的方程为:y=kx﹣2.与椭圆的方程联立可得根与系 数的关系,再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出 S△OPQ.通过换元再利 用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解: (Ⅰ )设 F(c,0) ,∵ 直线 AF 的斜率为 ∴ 又 ,解得 c=
2 2 2





,b =a ﹣c ,解得 a=2,b=1. ;

∴ 椭圆 E 的方程为

(Ⅱ )设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . 由题意可设直线 l 的方程为:y=kx﹣2. 联立
2 2


2

化为(1+4k )x ﹣16kx+12=0,当△ =16(4k ﹣3)>0 时,即 , ∴ |PQ|= .

时,

=

=



3

点 O 到直线 l 的距离 d=



∴ S△OPQ= 设 ∴

=
2 2



>0,则 4k =t +3, = =1,当且仅当 t=2,即 ,解得 时取等号.

满足△ >0,∴ △ OPQ 的面积最大时直线 l 的方程为:



点评: 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公 式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法,考查 了推理能力和计算能力,考查了换元法和转化方法,属于难题.

4. (2014?天津) 设椭圆

+

=1 (a>b>0) 的左、 右焦点分别为 F1、 F2, 右顶点为 A, 上顶点为 B, 已知|AB|=

|F1F2|.

(Ⅰ )求椭圆的离心率; (Ⅱ )设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过点 F2 的直线 l 与该圆相切于点 M, |MF2|=2 ,求椭圆的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ )分别用 a,b,c 表示出|AB|和|F1F2|,根据已知建立等式求得 a 和 c 的关系,进而求得离心率 e. (Ⅱ ) 根据 (1) 中 a 和 c 的关系, 用 c 表示出椭圆的方程, 设出 P 点的坐标, 根据 PB 为直径, 推断出 BF1⊥ PF1, 进而知两直线斜率相乘得﹣1,进而求得 sinθ 和 cosθ,表示出 P 点坐标,利用 P,B 求得圆心坐标,则可利 用两点间的距离公式分别表示出|OB|,|OF2|,利用勾股定理建立等式求得 c,则椭圆的方程可得. 解答: 解: (Ⅰ )依题意可知 = ?2c,
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∵ b =a ﹣c , 2 2 2 2 2 ∴ a +b =2a ﹣c =3c , 2 2 ∴ a =2c , ∴ e= = .
2 2

2

2

2

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 a =2c , 2 2 2 2 ∴ b =a ﹣c =c , ∴ 椭圆方程为 设 P 点坐标( ∵ PB 为直径, ∴ BF1⊥ PF1, ∴ k?BF1kPF1= ? 求得 sinθ=﹣ + =1,B(0,b) ,F1(﹣c,0)

csinθ,ccosθ) ,圆心为 O

=﹣1, 或 0(舍去) ,

4

由椭圆对称性可知,P 在 x 轴下方和上方结果相同,只看在 x 轴上方时, cosθ= =

∴ P 坐标为(﹣ c, c) , ∴ 圆心坐标为(﹣ c, c) ,

∴ r=|OB|= ∵ r +|MF2| =|OF2| , ∴
2 2 2 2

=

c,|OF2|=

=

c,

+8=

c,

2

∴ c =3, 2 2 ∴ a =6,b =3, ∴ 椭圆的方程为 + =1.

点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系.第(1)相对简单,主要是求得 a 和 c 的关系;第(2)问较 难,利用参数法设出 P 点坐标是关键.

5. (2014?四川)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角

形. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=﹣3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. ① 证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点) ; ② 当 最小时,求点 T 的坐标.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: 第(1)问中,由正三角形底边与高的关系,a2=b2+c2 及焦距 2c=4 建立方程组求得 a2,b2;
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第(2)问中,先设点的坐标及直线 PQ 的方程,利用两点间距离公式及弦长公式将 取最小值时的条件获得等量关系,从而确定点 T 的坐标. 解答: 解: (1)依题意有 解得

表示出来,由

所以椭圆 C 的标准方程为

+

=1.

(2)设 T(﹣3,t) ,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,PQ 的中点为 N(x0,y0) , ① 证明:由 F(﹣2,0) ,可设直线 PQ 的方程为 x=my﹣2,则 PQ 的斜率 .

5



?(m +3)y ﹣4my﹣2=0,

2

2

所以



于是

,从而





,则直线 ON 的斜率



又由 PQ⊥ TF 知,直线 TF 的斜率

,得 t=m.

从而

,即 kOT=kON,

所以 O,N,T 三点共线,从而 OT 平分线段 PQ,故得证. ② 由两点间距离公式得 由弦长公式得 = = , ,

所以





,则
2 2

(当且仅当 x =2 时,取“=”号) ,

2

所以当

最小时,由 x =2=m +1,得 m=1 或 m=﹣1,此时点 T 的坐标为(﹣3,1)或(﹣3,﹣1) .

点评: 本题属相交弦问题,应注意考虑这几个方面: 1、设交点坐标,设直线方程; 2、联立直线与椭圆方程,消去 y 或 x,得到一个关于 x 或 y 一元二次方程,利用韦达定理; 3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题. 6. (2014?辽宁)圆 x +y =4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 P (如图) ,双曲线 C1: ﹣ =1 过点 P 且离心率为 .
2 2

(Ⅰ )求 C1 的方程; (Ⅱ )若椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A,B 两点,若以线段 AB 为直径 的圆过点 P,求 l 的方程.
6

考点: 直线与圆锥曲线的关系;双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ )设切点 P(x0,y0) , (x0>0,y0>0) ,利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的 方程,即可得出三角形的面积,利用基本不等式的性质可得点 P 的坐标,再利用双曲线的标准方程及其性 质即可得出;
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(Ⅱ )由(Ⅰ )可得椭圆 C2 的焦点.可设椭圆 C2 的方程为

(b1>0) .把 P 的坐标代入即可得出

方程.由题意可设直线 l 的方程为 x=my+ , A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系,再利用向量垂直与数量积的关系 即可得出. 解答: 解: (Ⅰ )设切点 P(x0,y0) , (x0>0,y0>0) ,则切线的斜率为 ,

可得切线的方程为

,化为 x0x+y0y=4.

令 x=0,可得

;令 y=0,可得



∴ 切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形的面积 S=

=



∵ 4= ∴ .此时 P

,当且仅当 .

时取等号.

由题意可得



,解得 a =1,b =2.

2

2

故双曲线 C1 的方程为

. , 0) ,即为椭圆 C2 的焦点.

(Ⅱ )由(Ⅰ )可知双曲线 C1 的焦点(± 可设椭圆 C2 的方程为

(b1>0) .

把P

代入可得

,解得

=3,

7

因此椭圆 C2 的方程为

. ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ,

由题意可设直线 l 的方程为 x=my+ 联立 ,化为







∴ x1+x2=

=



x1x2= , ∵ ∴ ∴ 因此直线 l 的方程为: ,∴ , +

=

. ,

, ,解得 m= 或 m= 或 , .

点评: 本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直与数量积的关 系、切线的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、直线与椭圆相交问题转化为 方程联立可得根与系数的关系等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,考查了转化和化 归能力,考查了解决问题的能力,属于难题.

7. (2014?陕西)已知椭圆 (c,0) . (Ⅰ )求椭圆的方程;

+

=1(a>b>0)经过点(0,

) ,离心率为 ,左右焦点分别为 F1(﹣c,0) ,F2

(Ⅱ )若直线 l:y=﹣ x+m 与椭圆交于 A、B 两点,与以 F1F2 为直径的圆交于 C、D 两点,且满足 直线 l 的方程.

=

,求

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

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8

分析: (Ⅰ )由题意可得 ,解出即可.

(Ⅱ )由题意可得以 F1F2 为直径的圆的方程为 x +y =1.利用点到直线的距离公式可得:圆心到直线 l 的距 离 d 及 d<1,可得 m 的取值范围.利用弦长公式可得|CD|=2 线 l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系,进而得到弦长 |AB|= 解答: 解: (Ⅰ )由题意可得 , .由 = ,即可解得 m. .设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .把直

2

2

解得

,c=1,a=2. .
2 2

∴ 椭圆的方程为

(Ⅱ )由题意可得以 F1F2 为直径的圆的方程为 x +y =1. ∴ 圆心到直线 l 的距离 d= 由 d<1,可得 , . (*)

∴ |CD|=2

=

=



设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .

联立
2 2



化为 x ﹣mx+m ﹣3=0, 可得 x1+x2=m, ∴ |AB|= . = .



=

,得



解得

满足(*) . .

因此直线 l 的方程为

点评: 本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基 础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.

9

8. (2014?陕西)如图,曲线 C 由上半椭圆 C1:

+

=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线 C2:y=﹣x +1(y≤0)连

2

接而成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 的离心率为 (Ⅰ )求 a,b 的值;



(Ⅱ )过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异于点 A,B) ,若 AP⊥ AQ,求直线 l 的方程.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 向量与圆锥曲线. 分析: (Ⅰ )在 C1、C2 的方程中,令 y=0,即得 b=1,设 C1:的半焦距为 c,由 =
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及 a ﹣c =b =1 得 a=2;

2

2

2

(Ⅱ )由(Ⅰ )知上半椭圆 C1 的方程为

+x =1(y≥0) ,设其方程为 y=k(x﹣1) (k≠0) ,代入 C1 的方程,

2

整理得(k +4)x ﹣2k x+k ﹣4=0. (*)设点 P(xp,yp) ,依题意,可求得点 P 的坐标为(
2

2

2

2

2



) ;

同理可得点 Q 的坐标为(﹣k﹣1,﹣k ﹣2k) ,利用

?

=0,可求得 k 的值,从而可得答案.

解答: 解: (Ⅰ )在 C1、C2 的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 A(﹣1,0) ,B(1,0)是上半椭圆 C1 的左右顶点. 设 C1:的半焦距为 c,由 = ∴ a=2,b=1. (Ⅱ )由(Ⅰ )知上半椭圆 C1 的方程为 +x =1(y≥0) .
2

及 a ﹣c =b =1 得 a=2.

2

2

2

易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x﹣1) (k≠0) , 代入 C1 的方程,整理得 2 2 2 2 (k +4)x ﹣2k x+k ﹣4=0. (*) 设点 P(xp,yp) , ∵ 直线 l 过点 B, ∴ x=1 是方程(*)的一个根, 由求根公式,得 xp= ,从而 yp= ,

∴ 点 P 的坐标为(



) .

10

同理,由 ∴ = (k,﹣4) ,

得点 Q 的坐标为(﹣k﹣1,﹣k ﹣2k) , =﹣k(1,k+2) ,

2

∵ AP⊥ AQ,∴ ?

=0,即

[k﹣4(k+2)]=0,

∵ k≠0,∴ k﹣4(k+2)=0,解得 k=﹣ . 经检验,k=﹣ 符合题意, 故直线 l 的方程为 y=﹣ (x﹣1) ,即 8x+3y﹣8=0. 点评: 本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查抽象概括能力、推理 论证能力、运算求解能力,考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想,属于难题.

9. (2014?福建)已知双曲线 E:



=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=﹣2x.

(1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第一、第四象限) ,且△ OAB 的 面积恒为 8,试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程,若不 存在,说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)依题意,可知 =2,易知 c= a,从而可求双曲线 E 的离心率;
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(2)由(1)知,双曲线 E 的方程为



=1,设直线 l 与 x 轴相交于点 C,分 l⊥ x 轴与直线 l 不与 x 轴

垂直讨论,当 l⊥ x 轴时,易求双曲线 E 的方程为



=1.当直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为

y=kx+m,与双曲线 E 的方程联立,利用由 S△OAB= |OC|?|y1﹣y2|=8 可证得:双曲线 E 的方程为 从而可得答案.



=1,

11

解答: 解: (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=﹣2x, 所以 =2.

所以 故 c= a,

=2.

从而双曲线 E 的离心率 e= =



(2)由(1)知,双曲线 E 的方程为



=1.

设直线 l 与 x 轴相交于点 C, 当 l⊥ x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a, 所以 |OC|?|AB|=8,

因此 a?4a=8,解得 a=2,此时双曲线 E 的方程为



=1.

以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E 的方程为 设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意,得 k>2 或 k<﹣2; 则 C(﹣ ,0) ,记 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 得 y1= ,同理得 y2= ,



=1 也满足条件.

由 S△OAB= |OC|?|y1﹣y2|得: |﹣ |?|
2



|=8,即 m =4|4﹣k |=4(k ﹣4) .

2

2

2

因为 4﹣k <0, 2 2 2 2 2 2 所以△ =4k m +4(4﹣k ) (m +16)=﹣16(4k ﹣m ﹣16) , 2 2 又因为 m =4(k ﹣4) , 所以△ =0,即直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. 因此,存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 ﹣ =1.

点评: 本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证能 力、运算求解能力,考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想.

10. (2014?湖南)如图,O 为坐标原点,双曲线 C1:



=1(a1>0,b1>0)和椭圆 C2:

+

=1(a2>b2

>0)均过点 P(

,1) ,且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形.

(Ⅰ )求 C1、C2 的方程; (Ⅱ )是否存在直线 l,使得 l 与 C1 交于 A、B 两点,与 C2 只有一个公共点,且| + |=| |?证明你的结论.
12

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ )由条件可得 a1=1,c2=1,根据点 P(
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,1)在上求得

=3,可得双曲线 C1 的方程.再由椭圆的

定义求得 a2=

,可得

=



的值,从而求得椭圆 C2 的方程. + |≠| |. 若直线 l 不垂直于 x 轴, 设直线 l 得方程为 y=kx+m,

(Ⅱ ) 若直线 l 垂直于 x 轴, 检验部不满足|



可得 y1?y2=

.由

可得 (2k +3)x +4kmx+2m ﹣6=0,根据直线 l

2

2

2

和 C1 仅有一个交点,根据判别式△ =0,求得 2k =m ﹣3,可得

2

2

≠0,可得|

+

|≠|

|.综合(1) 、 (2)

可得结论. 解答: 解: (Ⅰ )设椭圆 C2 的焦距为 2c2,由题意可得 2a1=2,∴ a1=1,c2=1. 由于点 P( ,1)在上,∴ ﹣ =1, =3,

∴ 双曲线 C1 的方程为:x ﹣

2

=1.

再由椭圆的定义可得 2a2=

+

=2

,∴ a2=





=



=2,∴ 椭圆 C2 的方程为:

+

=1.

(Ⅱ )不存在满足条件的直线 l. (1)若直线 l 垂直于 x 轴,则由题意可得直线 l 得方程为 x= 当 x= 显然,| 时,可得 A( + |≠| |. 时,也有| + | ≠| |. , ) 、B( ,﹣ ) ,求得|

,或 x=﹣ |=2 ,|

. |=2 ,

同理,当 x=﹣

(2)若直线 l 不垂直于 x 轴,设直线 l 得方程为 y=kx+m,由

可得

13

(3﹣k )x ﹣2mkx﹣m ﹣3=0,∴ x1+x2=

2

2

2

,x1?x2=



于是,y1?y2=k x1?x2+km(x1+x2)+m =

2

2




2

可得 (2k +3)x +4kmx+2m ﹣6=0,根据直线 l 和 C1 仅有一个交点,
2 2 2 2 2

2

2

2

∴ 判别式△ =16k m ﹣8(2k +3) (m ﹣3)=0,∴ 2k =m ﹣3. ∴ =x1?x2+y1?y2= ≠0,∴ ≠ ,

∴ | +

|≠|

|.

综合(1) 、 (2)可得,不存在满足条件的直线 l. 点评: 本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,体现了分类 讨论的数学思想,属于中档题. 11. (2014?南充模拟)设椭圆中心在坐标原点,A(2,0) ,B(0,1)是它的两个顶点,直线 y=kx(k>0)与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. (Ⅰ )若 ,求 k 的值;

(Ⅱ )求四边形 AEBF 面积的最大值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;向量的共线定理. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)依题可得椭圆的方程,设直线 AB,EF 的方程分别为 x+2y=2,y=kx,D(x0,kx0) ,E(x1,kx1) ,F
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(x2,kx2) ,且 x1,x2 满足方程(1+4k )x =4,进而求得 x2 的表达式,进而根据

2

2

求得 x0 的表达式,

由 D 在 AB 上知 x0+2kx0=2,进而求得 x0 的另一个表达式,两个表达式相等求得 k. (Ⅱ )由题设可知|BO|和|AO|的值,设 y1=kx1,y2=kx2,进而可表示出四边形 AEBF 的面积进而根据基本不 等式的性质求得最大值. 解答: 解: (Ⅰ )依题设得椭圆的方程为 ,

直线 AB,EF 的方程分别为 x+2y=2,y=kx(k>0) . 如图,设 D(x0,kx0) ,E(x1,kx1) ,F(x2,kx2) ,其中 x1<x2,

且 x1,x2 满足方程(1+4k )x =4, 故 .①

2

2

14



知 x0﹣x1=6(x2﹣x0) ,得



由 D 在 AB 上知 x0+2kx0=2,得 所以
2





化简得 24k ﹣25k+6=0, 解得 或 .

(Ⅱ )由题设,|BO|=1,|AO|=2.由(Ⅰ )知,E(x1,kx1) ,F(x2,kx2) , 不妨设 y1=kx1,y2=kx2,由① 得 x2>0,根据 E 与 F 关于原点对称可知 y2=﹣y1>0, 故四边形 AEBF 的面积为 S=S△OBE+S△OBF+S△OAE+S△OAF = = =x2+2y2 = = = , ?(﹣y1)

当 x2=2y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 . 点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点 内容,问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等,而不同的解题途径其运算量繁简差别很大.

12. (2014?重庆)如图,设椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 D 在椭圆上.DF1⊥ F1F2,

=2

,△ DF1F2 的面积为



(Ⅰ )求椭圆的标准方程; (Ⅱ )设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不 同的焦点,求圆的半径.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析:
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(Ⅰ )设 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,依题意,可求得 c=1,易求得|DF1|= 得 2a=2 ,于是可求得椭圆的标准方程;

=

,|DF2|=

,从而可

15

(Ⅱ )设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆

+y =1 相交,P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)是两个交点,依题意,利用

2

圆和椭圆的对称性,易知 x2=﹣x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|, 由 F1P1⊥ F2P2,得 x1=﹣ 或 x1=0,分类讨论即可求得圆的半径.
2 2 2 解答: 解: (Ⅰ )设 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,其中 c =a ﹣b ,

由 从而 从而|DF1|= 因此|DF2|=

=2

,得|DF1|= c=
2

=

c,

= |DF1||F1F2|=

,故 c=1. = + = ,

,由 DF1⊥ F1F2,得 , ,故 a=

所以 2a=|DF1|+|DF2|=2

,b =a ﹣c =1, +y =1; +y =1 相交,P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)是两个交点,
2 2

2

2

2

因此,所求椭圆的标准方程为

(Ⅱ )设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆

y1>0, y2>0, F1P1, F2P2 是圆 C 的切线, 且 F1P1⊥ F2P2, 由圆和椭圆的对称性, 易知 x2=﹣x1, y1=y2, |P1P2|=2|x1|, 由(Ⅰ )知 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,所以 得﹣ + =0, =(x1+1,y1) , =(﹣x1﹣1,y1) ,再由 F1P1⊥ F2P2,

由椭圆方程得 1﹣

=

,即 3

+4x1=0,解得 x1=﹣ 或 x1=0.

当 x1=0 时,P1,P2 重合,此时题设要求的圆不存在; 当 x1=﹣ 时,过 P1,P2,分别与 F1P1,F2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C. 由 F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,且 F1P1⊥ F2P2,知 CP1⊥ CP2,又|CP1|=|CP2|, 故圆 C 的半径|CP1|= |P1P2|= |x1|= .

点评: 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用,考查综合分析 与运算能力,属于难题.

16

13. (2014?广西)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且 |QF|= |PQ|. (Ⅰ )求 C 的方程; (Ⅱ )过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′ 与 C 相交于 M、N 两点,且 A、M、B、N 四点 在同一圆上,求 l 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ )设点 Q 的坐标为(x0,4) ,把点 Q 的坐标代入抛物线 C 的方程,求得 x0= ,根据|QF|= |PQ|求得 p
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2

的值,可得 C 的方程. (Ⅱ )设 l 的方程为 x=my+1 (m≠0) ,代入抛物线方程化简,利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦 长|AB|.把直线 l′ 的方程线 l′ 的方程代入抛物线方程化简,利用韦达定理、弦长公式求得|MN|.由于 MN 垂直平分线段 AB,故 AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|,求得 m 的值,可得直线 l 的方程.
2 解答: 解: (Ⅰ )设点 Q 的坐标为(x0,4) ,把点 Q 的坐标代入抛物线 C:y =2px(p>0) ,

可得 x0= ,∵ 点 P(0,4) ,∴ |PQ|= . 又|QF|=x0+ = + ,|QF|= |PQ|, ∴ + = × ,求得 p=2,或 p=﹣2(舍去) . 故 C 的方程为 y =4x. (Ⅱ )由题意可得,直线 l 和坐标轴不垂直,设 l 的方程为 x=my+1(m≠0) , 代入抛物线方程可得 y ﹣4my﹣4=0,显然判别式△ =16m +16>0,y1+y2=4m,y1?y2=﹣4. ∴ AB 的中点坐标为 D(2m +1,2m) ,弦长|AB|=
2 2 2 2

|y1﹣y2|=4(m +1) .
2

2

又直线 l′ 的斜率为﹣m,∴ 直线 l′ 的方程为 x=﹣ y+2m +3. 过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′ 与 C 相交于 M、N 两点, 把线 l′ 的方程代入抛物线方程可得 y + y﹣4(2m +3)=0,∴ y3+y4= 故线段 MN 的中点 E 的坐标为( +2m +3,
2 2 2

,y3?y4=﹣4(2m +3) . ,

2

) ,∴ |MN|=

|y3﹣y4|=

∵ MN 垂直平分线段 AB,故 AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|, ∴
2

+DE = MN ,
2 2

2

2

∴ 4(m +1) +

+

=

,化简可得 m ﹣1=0,

∴ m=±1,∴ 直线 l 的方程为 x﹣y﹣1=0,或 x+y﹣1=0. 点评: 本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理、弦长公式的应用,体 现了转化的数学思想,属于中档题.

17

14. (2014?浙江)如图,设椭圆 C:

(a>b>0) ,动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P,且点 P 在第一象

限. (Ⅰ )已知直线 l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标; (Ⅱ )若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a﹣b.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析:
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(Ⅰ )设直线 l 的方程为 y=kx+m(k<0) ,由

,消去 y 得(b +a k )x +2a kmx+a m ﹣a b =0,

2

2 2

2

2

2

2

2 2

利用△ =0,可求得在第一象限中点 P 的坐标; (Ⅱ )由于直线 l1 过原点 O 且与直线 l 垂直,设直线 l1 的方程为 x+ky=0,利用点到直线间的距离公式,可

求得点 P 到直线 l1 的距离 d= a﹣b. . 解答: 解: (Ⅰ )设直线 l 的方程为 y=kx+m(k<0) ,由
2 2 2 2 2 2 2 2 2

,整理即可证得点 P 到直线 l1 的距离的最大值为

,消去 y 得

(b +a k )x +2a kmx+a m ﹣a b =0. 2 2 2 2 由于直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P,故△ =0,即 b ﹣m +a k =0,解得点 P 的坐标为 (﹣ , ) ,

又点 P 在第一象限,故点 P 的坐标为 P(



) .

(Ⅱ )由于直线 l1 过原点 O 且与直线 l 垂直,故直线 l1 的方程为 x+ky=0,所以点 P 到直线 l1 的距离

d=



整理得:d=



18

因为 a k +

2 2

≥2ab,所以



=a﹣b,当且仅当 k = 时等号成立.

2

所以,点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a﹣b.

点评: 本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几 何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力.

15. (2014?江西)如图,已知双曲线 C: 轴,AB⊥ OB,BF∥ OA(O 为坐标原点) . (1)求双曲线 C 的方程;

﹣y =1(a>0)的右焦点为 F,点 A,B 分别在 C 的两条渐近线 AF⊥ x

2

(2)过 C 上一点 P(x0,y0) (y0≠0)的直线 l: 明:当点 P 在 C 上移动时,

﹣y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x= 相交于点 N.证

恒为定值,并求此定值.

考 直线与圆锥曲线的综合问题;直线与圆锥曲线的关系. 点: 专 圆锥曲线的定义、性质与方程. 题: 分 (1)依题意知,A(c, ) ,设 B(t,﹣ ) ,利用 AB⊥ OB,BF∥ OA,可求得 a= 析: 程;
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,从而可得双曲线 C 的方

(2)易求 A(2,

) ,l 的方程为:

﹣y0y=1,直线 l:

﹣y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x=

19

相交于点 N, 可求得 M ( 2,

) , N ( ,

) , 于是化简

=

可得其值为



于是原结论得证. 解 (1)解:依题意知,A(c, ) ,设 B(t,﹣ ) , 答: ∵ AB⊥ OB,BF∥ OA,∴ 整理得:t= ,a= ∴ 双曲线 C 的方程为 , ﹣y =1; ) ,l 的方程为: ﹣y0y=1,
2

?

=﹣1, =



(2)证明:由(1)知 A(2, 又 F(2,0) ,直线 l:

﹣y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x= 相交于点 N.

于是可得 M(2,

) ,N( ,

) ,



=

=

=

=

=



点 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,推理论证能力、运算 评:求解能力、函数与方程思想,属于难题. 16. (2014?安徽)如图,已知两条抛物线 E1:y =2p1x(p1>0)和 E2:y =2p2x(p2>0) ,过原点 O 的两条直线 l1 和 l2,l1 与 E1,E2 分别交于 A1、A2 两点,l2 与 E1、E2 分别交于 B1、B2 两点. (Ⅰ )证明:A1B1∥ A2B2; (Ⅱ )过 O 作直线 l(异于 l1,l2)与 E1、E2 分别交于 C1、C2 两点.记△ A1B1C1 与△ A2B2C2 的面积分别为 S1 与 S2, 求 的值.
2 2

20

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 向量与圆锥曲线. 分析: (Ⅰ )由题意设出直线 l1 和 l2 的方程,然后分别和两抛物线联立求得交点坐标,得到
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的坐标,

然后由向量共线得答案; (Ⅱ )结合(Ⅰ )可知△ A1B1C1 与△ A2B2C2 的三边平行,进一步得到两三角形相似,由相似三角形的面积比等 于相似比的平方得答案. 解答: (Ⅰ )证明:由题意可知,l1 和 l2 的斜率存在且不为 0, 设 l1:y=k1x,l2:y=k2x. 联立 ,解得 .

联立

,解得



联立

,解得



联立

,解得









, ∴ A1B1∥ A2B2; (Ⅱ )解:由(Ⅰ )知 A1B1∥ A2B2, 同(Ⅰ )可证 B1C1∥ B2C2,A1C1∥ A2C2. ∴ △ A1B1C1∽ △ A2B2C2, 因此 ,

21













点评: 本题是直线与圆锥曲线的综合题,考查了向量共线的坐标表示,训练了三角形的相似比与面积比的关系, 考查了学生的计算能力,是压轴题. 17. (2014?山东)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有丨 FA 丨=丨 FD 丨.当点 A 的横坐标为 3 时,△ ADF 为正三角形. (Ⅰ )求 C 的方程; (Ⅱ )若直线 l1∥ l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E, (ⅰ )证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ⅱ )△ ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)根据抛物线的焦半径公式,结合等边三角形的性质,求出的 p 值;
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2

(2) (ⅰ )设出点 A 的坐标,求出直线 AB 的方程,利用直线 l1∥ l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E,求出 点 E 的坐标,写出直线 AE 的方程,将方程化为点斜式,可求出定点; (ⅱ ) 利用弦长公式求出弦 AB 的长度,再求点 E 到直线 AB 的距离,得到关于面积的函数关系式,再利 用基本不等式求最小值. 解答: 解: (1)当点 A 的横坐标为 3 时,过点 A 作 AG⊥ x 轴于 G, ∵ △ ADF 为正三角形, ∴ 又∵ ∴ , . , ,∴ .

∴ p=2. 2 ∴ C 的方程为 y =4x. (2) (ⅰ )设 A(x1,y1) ,|FD|=|AF|=x1+1, ∴ D(x1+2,0) , ∴ .

由直线 l1∥ l 可设直线 l1 方程为



联立方程

,消去 x 得



22

由 l1 和 C 有且只有一个公共点得△ =64+32y1m=0,∴ y1m=﹣2, 这时方程① 的解为 ,代入 得 x=m ,∴ E(m ,2m) .
2 2

点 A 的坐标可化为

,直线 AE 方程为 y﹣2m=

(x﹣m ) ,

2

















∴ 直线 AE 过定点(1,0) ; (ⅱ )直线 AB 的方程为 ,即 .

联立方程

,消去 x 得









=



由(ⅰ )点 E 的坐标为

,点 E 到直线 AB 的距离为

=



∴ △ ABE 的面积 当且仅当 y1=±2 时等号成立, ∴ △ ABE 的面积最小值为 16.

=



23

点评: 本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法,切线方程的求法,定点问题与最值问题.

18. (2014?湖南)如图,O 为坐标原点,椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为

e1;双曲线 C2:



=1 的左、右焦点分别为 F3,F4,离心率为 e2,已知 e1e2=

,且|F2F4|=

﹣1.

(Ⅰ )求 C1、C2 的方程; (Ⅱ )过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点,当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两点时,求四边形 APBQ 面积的最小值.

考点: 圆锥曲线的综合;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ )由斜率公式写出 e1,e2,把双曲线的焦点用含有 a,b 的代数式表示,结合已知条件列关于 a,b 的方 程组求解 a,b 的值,则圆锥曲线方程可求; (Ⅱ )设出 AB 所在直线方程,和椭圆方程联立后得到关于 y 的一元二次方程,由根与系数的关系得到 AB 中点 M 的坐标,并由椭圆的焦点弦公式求出 AB 的长度,写出 PQ 的方程,和双曲线联立后解出 P,Q 的坐 标,由点到直线的距离公式分别求出 P,Q 到 AB 的距离,然后代入代入三角形面积公式得四边形 APBQ 的 面积,再由关于 n 的函数的单调性求得最值. 解答: 解: (Ⅰ )由题意可知, ,且 .
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∵ e1e2= ∴ 解得:

,且|F2F4|=

﹣1.

,且 .



24

∴ 椭圆 C1 的方程为

,双曲线 C2 的方程为



(Ⅱ )由(Ⅰ )可得 F1(﹣1,0) . ∵ 直线 AB 不垂直于 y 轴, ∴ 设 AB 的方程为 x=ny﹣1,
2 2

联立

,得(n +2)y ﹣2ny﹣1=0.

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x0,y0) , 则 则 , .

= ∵ M 在直线 AB 上, ∴ .

=



直线 PQ 的方程为



联立

,得



解得
2

,代入 <n< .





由 2﹣n >0,得﹣ ∴ P,Q 的坐标分别为



则 P,Q 到 AB 的距离分别为: ∵ P,Q 在直线 A,B 的两端,









则四边形 APBQ 的面积 S= |AB|
2



∴ 当 n =0,即 n=0 时,四边形 APBQ 面积取得最小值 2. 点评: 本题考查圆锥曲线方程的求法,是直线与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线间的关系的综合题,考查了椭圆
25

与双曲线的基本性质,关键是学生要有较强的运算能力,是压轴题.

19. (2013?北京)已知 A,B,C 是椭圆 W:

上的三个点,O 是坐标原点.

(Ⅰ )当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (Ⅱ )当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)根据 B 的坐标为(2,0)且 AC 是 OB 的垂直平分线,结合椭圆方程算出 A、C 两点的坐标,从而得 到线段 AC 的长等于 .再结合 OB 的长为 2 并利用菱形的面积公式,即可算出此时菱形 OABC 的面积;
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(II)若四边形 OABC 为菱形,根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解,算出 A、C 的横坐标满足

=r ﹣1,从

2

而得到 A、C 的横坐标相等或互为相反数.再分两种情况加以讨论,即可得到当点 B 不是 W 的顶点时,四 边形 OABC 不可能为菱形. 解答: 解: (I)∵ 四边形 OABC 为菱形,B 是椭圆的右顶点(2,0) ∴ 直线 AC 是 BO 的垂直平分线,可得 AC 方程为 x=1 设 A(1,t) ,得 ∴ A 的坐标为(1, 因此,|AC|= ,解之得 t= (舍负) ) ;

) ,同理可得 C 的坐标为(1,﹣

,可得菱形 OABC 的面积为 S= |AC|?|B0|=

(II)∵ 四边形 OABC 为菱形,∴ |OA|=|OC|, 2 2 2 设|OA|=|OC|=r(r>1) ,得 A、C 两点是圆 x +y =r 与椭圆 的公共点,解之得 =r ﹣1
2

设 A、C 两点横坐标分别为 x1、x2,可得 A、C 两点的横坐标满足 x1=x2= ① 当 x1=x2= ② 若 x1= ? ? ? ,或 x1= ? 且 x2=﹣ ? ,

时,可得若四边形 OABC 为菱形,则 B 点必定是右顶点(2,0) ; 且 x2=﹣ ? ,则 x1+x2=0,

可得 AC 的中点必定是原点 O,因此 A、O、C 共线,可得不存在满足条件的菱形 OABC 综上所述,可得当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能为菱形.

点评: 本题给出椭圆方程,探讨了以坐标原点 O 为一个顶点,其它三个顶点在椭圆上的菱形问题,着重考查了菱 形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题.

26

20. (2013?北京)直线 y=kx+m(m≠0)与椭圆

相交于 A,C 两点,O 是坐标原点.

(Ⅰ )当点 B 的坐标为(0,1) ,且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长; (Ⅱ )当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明:四边形 OABC 不可能为菱形. 考点: 椭圆的简单性质;两点间的距离公式. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)先根据条件得出线段 OB 的垂直平分线方程为 y= ,从而 A、C 的坐标为(
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, ) ,根据两点间

的距离公式即可得出 AC 的长; (II) 欲证明四边形 OABC 不可能为菱形, 只须证明若 OA=OC, 则 A、 C 两点的横坐标相等或互为相反数. 设 OA=OC=r,则 A、C 为圆 x +y =r 与椭圆
2 2 2

的交点,从而解得

,则 A、C 两点的

横坐标相等或互为相反数.于是结论得证. 解答: 解: (I)∵ 点 B 的坐标为(0,1) ,当四边形 OABC 为菱形时,AC⊥ OB,而 B(0,1) ,O(0,0) , ∴ 线段 OB 的垂直平分线为 y= , 将 y= 代入椭圆方程得 x=± 因此 A、C 的坐标为( , , ) ,如图,

于是 AC=2 . (II)欲证明四边形 OABC 不可能为菱形,利用反证法,假设四边形 OABC 为菱形,则有 OA=OC, 设 OA=OC=r,则 A、C 为圆 x +y =r 与椭圆 故
2 2 2 2 2

的交点,

,x = (r ﹣1) ,则 A、C 两点的横坐标相等或互为相反数.

从而得到点 B 是 W 的顶点.这与题设矛盾. 于是结论得证.

点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质,直线与椭圆的位置关系,考查等价转化思想,属于基础题.

21. (2013?广东)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c) (c>0)到直线 l:x﹣y﹣2=0 的距离为 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|?|BF|的最小值.

,设

27

考 抛物线的标准方程;利用导数研究曲线上某点切线方程;抛物线的简单性质. 点: 专 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 题: 分 (1)利用焦点到直线 l:x﹣y﹣2=0 的距离建立关于变量 c 的方程,即可解得 c,从而得出抛物线 C 的方程; 析: (2)先设 , ,由(1)得到抛物线 C 的方程求导数,得到切线 PA,PB 的斜率,最
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用直线 AB 的斜率的不同表示形式,即可得出直线 AB 的方程; (3) 根据抛物线的定义, 有 ,

, 从而表示出|AF|?|BF|, 再由 (2) 得 x1+x2=2x0, x1x2=4y0, x0=y

将它表示成关于 y0 的二次函数的形式,从而即可求出|AF|?|BF|的最小值. 解 解: (1)焦点 F(0,c) (c>0)到直线 l:x﹣y﹣2=0 的距离 答: 2 所以抛物线 C 的方程为 x =4y (2)设 , , ① PB: ,即 , ,所以切线 PA,PB 的斜率分别为 ② , ,解得 c=1

由(1)得抛物线 C 的方程为 所以 PA: 联立① ② 可得点 P 的坐标为

又因为切线 PA 的斜率为

,整理得

直线 AB 的斜率 所以直线 AB 的方程为 整理得 ,即

因为点 P(x0,y0)为直线 l:x﹣y﹣2=0 上的点,所以 x0﹣y0﹣2=0,即 y0=x0﹣2 所以直线 AB 的方程为 (3)根据抛物线的定义,有 所以 由(2)得 x1+x2=2x0,x1x2=4y0,x0=y0+2 所以 = 所以当 时,|AF|?|BF|的最小值为 , =

点 本题以抛物线为载体,考查抛物线的标准方程,考查利用导数研究曲线的切线方程,考查计算能力,有一定的综合性. 评:

28

22. (2013?福建)如图,抛物线 E:y =4x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 A.点 C 在抛物线 E 上,以 C 为圆 心,|CO|为半径作圆,设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M,N. (Ⅰ )若点 C 的纵坐标为 2,求|MN|; (Ⅱ )若|AF| =|AM|?|AN|,求圆 C 的半径.
2

2

考点: 抛物线的标准方程;圆的标准方程;直线与圆的位置关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)由抛物线的方程表示出焦点 F 的坐标及准线方程,求出 C 到准线的距离,再利用圆中弦长公式即可求 出|MN|的长;
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(II)设 C(

,y0) ,表示出圆 C 的方程方程,与抛物线解析式联立组成方程组,设 M(﹣1,y1) ,N(﹣
2

1,y2) ,利用韦达定理表示出 y1y2,利用|AF| =|AM|?|AN|,得|y1y2|=4,解得 C 的纵坐标,从而得到圆心 C 坐标,由两点间的距离公式求出|OC|的长,即为圆的半径. 解答: 解: (I)抛物线 E:y =4x 的准线 l:x=﹣1, 由点 C 的纵坐标为 2,得 C(1,2) ,故 C 到准线的距离 d=2,又|OC|= ∴ |MN|=2 = =2.
2



(II)设 C(

,y0) ,则圆 C 的方程为(x﹣

) +(y﹣y0) =

2

2



即x ﹣

2

+y ﹣2y0y=0,由 x=﹣1 得 y ﹣2y0y+1+

2

2

=0,

设 M(﹣1,y1) ,N(﹣1,y2) ,则



由|AF| =|AM|?|AN|,得|y1y2|=4, ∴ 1+ =4,解得 y0= ,此时△ >0 ) ,|OC| =
2

2

∴ 圆心 C 的坐标为( , 从而|OC|= . .



即圆 C 的半径为

点评: 此题考查了圆的标准方程,涉及的知识有:抛物线的简单性质,韦达定理.其中根据题意确定出圆心与半
29

径是解本题的关键.

23. (2013?四川)已知椭圆 C:

(a>b>0)的两个焦点分别为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,且椭圆 C 经过





(Ⅰ )求椭圆 C 的离心率: (Ⅱ )设过点 A(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且 求点 Q 的轨迹方程. 考点: 曲线与方程;轨迹方程;椭圆的简单性质. 专题: 压轴题;方程思想;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)由题设条件结合椭圆的性质直接求出 a,c 的值,即可得到椭圆的离心率; (II)由题设过点 A(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点,可设出直线的方程与椭圆的方程联立,由 于两曲线交于两点,故判断式大于 0 且可利用根与系数的关系建立 M,N 两点的坐标与直线的斜率 k 的等
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量关系,然后再设出点 Q 的坐标,用两点 M,N 的坐标表示出 求得点 Q 的轨迹方程. 解答: 解: (I) ∵ 椭圆 C:

,再综合计算即可

(a>b>0) 的两个焦点分别为 F(﹣ 1, 0) , F( 0) , 且椭圆 C 经过点 1 2 1,



∴ c=1,2a=PF1+PF2= ∴ 椭圆的离心率 e= = = …4 分

=2

,即 a=

(II)由(I)知,椭圆 C 的方程为

,设点 Q 的坐标为(x,y)

(1)当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 与椭圆 C 交于(0,1) 、 (0,﹣1)两点,此时点 Q 的坐标为(0,2﹣ ) (2)当直线 l 与 x 轴不垂直时,可设其方程为 y=kx+2, 因为 M,N 在直线 l 上,可设点 M,N 的坐标分别为(x1,kx1+2) , (x2,kx2+2) ,则 , ,又|AQ| =(1+k )x ,
2 2 2


2 2

,即

=

…①

将 y=kx+2 代入
2 2

中,得(2k +1)x +8kx+6=0…②
2

由△ =(8k) ﹣24(2k +1)>0,得 k > 由② 知 x1+x2=﹣ ,x1x2= ,代入① 中化简得 x =
2

…③

因为点 Q 在直线 y=kx+2 上,所以 k=

,代入③ 中并化简得 10(y﹣2) ﹣3x =18
30

2

2

由③ 及 k > 可知 0<x < ,即 x∈(﹣

2

2

,0)∪ (0,



由题意,Q(x,y)在椭圆 C 内,所以﹣1≤y≤1, 又由 10(y﹣2) ﹣3x =18 得(y﹣2) ∈( , )且﹣1≤y≤1,则 y∈( ,2﹣ 综上得,点 Q 的轨迹方程为 10(y﹣2) ﹣3x =18,其中 x∈(﹣
2 2 2 2 2

) ]…13 分



) ,y∈( ,2﹣

点评: 本题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识,考查推理论证能力,运算求解能力,考查数形结合、 转化化归、分类与整合等数学思想,并考查思维的严谨性.本题是圆锥曲线中的常见题型,所考查的解题 方式较为典型,本题运算量较大易因为运算失误造成丢分.

24. (2013?江西)如图,椭圆 C:

经过点 P(1, ) ,离心率 e= ,直线 l 的方程为 x=4.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P) ,设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA,PB,PM 的斜率分别 为 k1,k2,k3.问:是否存在常数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,求 λ 的值;若不存在,说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;压轴题;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题意将点 P (1, )代入椭圆的方程,得到
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,再由离心率为 e= ,将 a,

b 用 c 表示出来代入方程,解得 c,从而解得 a,b,即可得到椭圆的标准方程; (2)方法一:可先设出直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) ,代入椭圆的方程并整理成关于 x 的一元二次方程, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,利用根与系数的关系求得 x1+x2= 坐标,分别表示出 k1,k2,k3.比较 k1+k2=λk3 即可求得参数的值; 方法二:设 B(x0,y0) (x0≠1) ,以之表示出直线 FB 的方程为 ,由此方程求得 M 的 , ,再求点 M 的

坐标,再与椭圆方程联立,求得 A 的坐标,由此表示出 k1,k2,k3.比较 k1+k2=λk3 即可求得参数的值 解答: 解: (1)椭圆 C:
2 2

经过点 P (1, ) ,可得



由离心率 e= 得 = ,即 a=2c,则 b =3c ② ,代入① 解得 c=1,a=2,b=

故椭圆的方程为 (2)方法一:由题意可设 AB 的斜率为 k,则直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1)③

31

代入椭圆方程

并整理得(4k +3)x ﹣8k x+4k ﹣12=0

2

2

2

2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , x1+x2= , ④

在方程③ 中,令 x=4 得,M 的坐标为(4,3k) , 从而 , , =k﹣

注意到 A,F,B 共线,则有 k=kAF=kBF,即有

=

=k

所以 k1+k2=

+

=

+

﹣ (

+



=2k﹣ ×



④ 代入⑤ 得 k1+k2=2k﹣ ×

=2k﹣1

又 k3=k﹣ ,所以 k1+k2=2k3 故存在常数 λ=2 符合题意 方法二:设 B(x0,y0) (x0≠1) ,则直线 FB 的方程为

令 x=4,求得 M(4,



从而直线 PM 的斜率为 k3=



联立

,得 A(



) ,

则直线 PA 的斜率 k1=

,直线 PB 的斜率为 k2=

所以 k1+k2= 故存在常数 λ=2 符合题意

+

=2×

=2k3,

32

点评: 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查了分析转化的能力与探究的能力,考查了方程的思想,数形结 合的思想,本题综合性较强,运算量大,极易出错,解答时要严谨运算,严密推理,方能碸解答出.

25. (2013?江西)椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率

,a+b=3.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,A,B,D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点,直线 DP 交 x 轴于点 N 直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m,证明 2m﹣k 为定值.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 分析: (1)由题目给出的离心率及 a+b=3,结合条件 a =b +c 列式求出 a,b,则椭圆方程可求; (2)设出直线方程,和椭圆方程联立后解出 P 点坐标,两直线方程联立解出 M 点坐标,由 D,P,N 三点 共线解出 N 点坐标, 由两点求斜率得到 MN 的斜率 m,代入 2m﹣k 化简整理即可得到 2m﹣k 为定值. 解答: 2 2 (1)解:因为 ,所以 ,即 a =4b ,a=2b.
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又 a+b=3,得 a=2,b=1. 所以椭圆 C 的方程为 ; .

(2) 证明: 因为 B (2, 0) , P 不为椭圆顶点, 则可设直线 BP 的方程为

联立

,得(4k +1)x ﹣16k x+16k ﹣4=0.

2

2

2

2

所以









所以 P(

) .

又直线 AD 的方程为



33

联立

,解得 M(

) .

由三点 D(0,1) ,P(

) ,N(x,0)共线,



,所以 N(

) .

所以 MN 的斜率为

=



则 所以 2m﹣k 为定值 .



点评: 本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线与圆锥曲线的关系,训练了二次方程中根与系数关系,考查了由 两点求斜率的公式,是中高档题.

26. (2013?上海)如图,已知双曲线 C1:

,曲线 C2:|y|=|x|+1,P 是平面内一点,若存在过点 P 的直线

与 C1,C2 都有公共点,则称 P 为“C1﹣C2 型点” (1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1﹣C2 型点“时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不 要求验证) ; (2)设直线 y=kx 与 C2 有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C1﹣C2 型点”; (3)求证:圆 x +y = 内的点都不是“C1﹣C2 型点”
2 2

考点: 直线与圆锥曲线的关系;点到直线的距离公式;双曲线的简单性质. 专题: 压轴题;新定义;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由双曲线方程可知,双曲线的左焦点为( ) ,当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点 是“C1﹣C2 型点”,当斜率存在时,要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与(0,1)连线的斜率; (2)由直线 y=kx 与 C2 有公共点联立方程组有实数解得到|k|>1,分过原点的直线斜率不存在和斜率存在 两种情况说明过远点的直线不可能同时与 C1 和 C2 有公共点;
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(3)由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线 y=x±1 与 y=﹣x±1 之间,进而说明当|k|≤1 时过圆 内的点且斜率为 k 的直线与 C2 无公共点,当|k|>1 时,过圆 内的点且斜率为 k 的直线与 C2 有公

共点,再由圆心到直线的距离小于半径列式得出 k 的范围,结果与|k|>1 矛盾.从而证明了结论.
34

解答: (1)解:C1 的左焦点为( 或 ,其中

) ,写出的直线方程可以是以下形式: .

(2)证明:因为直线 y=kx 与 C2 有公共点, 所以方程组 有实数解,因此|kx|=|x|+1,得 .

若原点是“C1﹣C2 型点”,则存在过原点的直线与 C1、C2 都有公共点. 考虑过原点与 C2 有公共点的直线 x=0 或 y=kx(|k|>1) . 显然直线 x=0 与 C1 无公共点. 如果直线为 y=kx(|k|>1) ,则由方程组 ,得 ,矛盾.

所以直线 y=kx(|k|>1)与 C1 也无公共点. 因此原点不是“C1﹣C2 型点”. (3)证明:记圆 O: ,取圆 O 内的一点 Q,设有经过 Q 的直线 l 与 C1,C2 都有公共点,显然 l

不与 x 轴垂直, 故可设 l:y=kx+b. 若|k|≤1, 由于圆 O 夹在两组平行线 y=x±1 与 y=﹣x±1 之间, 因此圆 O 也夹在直线 y=kx±1 与 y=﹣kx±1 之间, 从而过 Q 且以 k 为斜率的直线 l 与 C2 无公共点,矛盾,所以|k|>1. 因为 l 与 C1 由公共点,所以方程组
2 2 2

有实数解,

得(1﹣2k )x ﹣4kbx﹣2b ﹣2=0. 2 因为|k|>1,所以 1﹣2k ≠0, 2 2 2 2 2 因此△ =(4kb) ﹣4(1﹣2k ) (﹣2b ﹣2)=8(b +1﹣2k )≥0, 2 2 即 b ≥2k ﹣1. 因为圆 O 的圆心(0,0)到直线 l 的距离 ,

所以

,从而

,得 k <1,与|k|>1 矛盾.

2

因此,圆

内的点不是“C1﹣C2 型点”.

点评: 本题考查了双曲线的简单几何性质,考查了点到直线的距离公式,考查了直线与圆锥曲线的关系,直线与 圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、 最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想 方法.属难题.

27. (2013?浙江)如图,点 P(0,﹣1)是椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)的一个顶点,C1 的长轴是圆 C2:x +y =4

2

2

的直径,l1,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A、B 两点,l2 交椭圆 C1 于另一点 D. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ ABD 面积的最大值时直线 l1 的方程.

35

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题意可得 b=1,2a=4,即可得到椭圆的方程; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,D(x0,y0) .由题意可知:直线 l1 的斜率存在,设为 k,则直线 l1 的方 程为 y=kx﹣1.利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心 O 到直线 l1 的距离和弦长|AB|,又 l2⊥ l1, 可得直线 l2 的方程为 x+kx+k=0,与椭圆的方程联立即可得到点 D 的横坐标,即可得出|PD|,即可得到三角 形 ABD 的面积,利用基本不等式的性质即可得出其最大值,即得到 k 的值. 解答: 解: (1)由题意可得 b=1,2a=4,即 a=2.
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∴ 椭圆 C1 的方程为



(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,D(x0,y0) . 由题意可知:直线 l1 的斜率存在,设为 k,则直线 l1 的方程为 y=kx﹣1. 又圆 的圆心 O(0,0)到直线 l1 的距离 d= .

∴ |AB|=

=



又 l2⊥ l1, 故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0, 联立

, 消去 y 得到 (4+k ) x +8kx=0, 解得

2

2







∴ 三角形 ABD 的面积





=

,当且仅当

时取等号,

故所求直线 l1 的方程为



点评: 本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,同时考查了推理能力和计算能 力及分析问题和解决问题的能力.

36

28. (2013?山东)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,离心率为

(Ⅰ )求椭圆 C 的方程 (Ⅱ ) A, B 为椭圆 C 上满足△ AOB 的面积为 求实数 t 的值. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ )设椭圆的标准方程为 的任意两点, E 为线段 AB 的中点, 射线 OE 交椭圆 C 与点 P, 设 ,

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,焦距为 2c.由题意可得

,解出即可得到

椭圆的方程. (Ⅱ )由题意设直线 AB 的方程为 x=my+n,代入椭圆方程 x +2y =2,化为(m +2)y +2mny+n ﹣2=0,利 用判别式、根与系数的关系即可得到弦长|AB|,再利用点到直线的距离公式即可得到原点 O 到直线 AB 的 距离,进而得到三角形 AOB 的面积,利用 即可得到 m,n,t 的关系,再利用 ,及中
2 2 2 2 2

点坐标公式即可得到点 P 的坐标代入椭圆的方程可得到 m,n,t 的关系式与上面得到的关系式联立即可得 出 t 的值. 解答: 解: (Ⅰ )由题意设椭圆的标准方程为 ,焦距为 2c.



,解得

,∴ 椭圆的方程为



(Ⅱ )由题意设直线 AB 的方程为 x=my+n,代入椭圆方程 x +2y =2,化为(m +2)y +2mny+n ﹣2=0, 2 2 2 2 2 2 则△ =4m n ﹣4(m +2) (n ﹣2)=4(2m +4﹣2n )>0, (*) , ,

2

2

2

2

2

∴ |AB|=

=

=



原点 O 到直线 AB 的距离 d=









=

,化为

. (**)

37

另一方面,

=



∴ xE=myE+n=

=

,即 E





,∴



代入椭圆方程得



化为 n t =m +2,代入(**)得

22

2

,化为 3t ﹣16t +16=0,解得

4

2



∵ t>0,∴

.经验证满足(*) .

当 AB∥ x 轴时,设 A(u,v) ,B(﹣u,v) ,E(0,v) ,P(0,±1) . (u>0) . 则 又 ∴ 综上可得: , ,∴ . . , ,解得 ,或 .

点评: 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦 长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式、向量共线等基础知识与基本技能,考查了推理能力和 计算能力、分类讨论的能力及化归思想方法. 29. (2013?辽宁)如图,抛物线 C1:x =4y,C2:x =﹣2py(p>0) ,点 M(x0,y0)在抛物线 C2 上,过 M 作 C1 的切线,切点为 A,B(M 为原点 O 时,A,B 重合于 O) ,当 x0=1﹣ 时,切线 MA 的斜率为﹣ .
2 2

(Ⅰ )求 P 的值; (Ⅱ )当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A,B 重合于 O 时,中点为 O) .

考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的简单性质. 专题: 综合题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ )利用导数的几何意义,先表示出切线方程,再由 M 在抛物线上及在直线上两个前提下,得到相应的 方程,解出 p 值. (Ⅱ )由题意,可先设出 A,B 两个端点的坐标及中点的坐标,再由中点坐标公式建立方程,直接求解出中 点 N 的轨迹方程
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38

解答:

解: (Ⅰ )因为抛物线 C1:x =4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为 y′ = ,且切线 MA 的斜率为﹣ ,所以 A 点的坐标为(﹣1, ) ,故切线 MA 的方程为 y=﹣ (x+1)+ 因为点 M(1﹣ y0=﹣ (2﹣ ,y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上,于是 )+ =﹣ ①

2

∴ y0=﹣ 解得 p=2

=﹣



(Ⅱ ) 设N (x, y) , A (x1, ④

) , B (x2,

) , x1≠x2, 由 N 为线段 AB 中点知 x=

③ , y=

=

切线 MA,MB 的方程为 y=

(x﹣x1)+

,⑤ ;y=

(x﹣x2)+ ,y0=

⑥ ,

由⑤ ⑥ 得 MA,MB 的交点 M(x0,y0)的坐标满足 x0=
2

因为点 M(x0,y0)在 C2 上,即 x0 =﹣4y0,所以 x1x2=﹣ 由③ ④ ⑦ 得 x = y,x≠0
2



当 x1=x2 时,A,B 丙点重合于原点 O,A,B 中点 N 为 O,坐标满足 x = y 因此中点 N 的轨迹方程为 x = y 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的关系,此类题运算较繁,解答的关键是合理引入变量,建立起相应的方程,本 题探索性强,属于能力型题 30. (2013?浙江)已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0) ,焦点 F(0,1) (Ⅰ )求抛物线 C 的方程; (Ⅱ )过 F 作直线交抛物线于 A、B 两点.若直线 OA、OB 分别交直线 l:y=x﹣2 于 M、N 两点,求|MN|的最小值.
2

2

考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程.

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39

专题: 综合题;压轴题;数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)由抛物线的几何性质及题设条件焦点 F(0,1)可直接求得 p,确定出抛物线的开口方向,写出它的 标准方程; (II)由题意,可 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为 y=kx+1,将直线方程与(I)中所求得方程 联立,再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|,根据所得的形式作出判断,即可求得最小值. 解答: 解: (I)由题意可设抛物线 C 的方程为 x =2py(p>0)则 =1,解得 p=2,故抛物线 C 的方程为 x =4y (II)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为 y=kx+1 由 消去 y,整理得 x ﹣4kx﹣4=0
2 2 2

所以 x1+x2=4k,x1x2=﹣4,从而有|x1﹣x2|=

=4



解得点 M 的横坐标为 xM=

=

=



同理可得点 N 的横坐标为 xN=

所以|MN|=

|xM﹣xN|=

|



|=8

|

|=

令 4k﹣3=t,t 不为 0,则 k= 当 t>0 时,|MN|=2 >2

当 t<0 时,|MN|=2

=2



综上所述,当 t=﹣

时,|MN|的最小值是

点评: 本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求 解能力,本题考查了数形结合的思想及转化的思想,将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度,如本题 最后求最值时引入变量 t,就起到了简化计算的作用

40


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