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高一数学必修四 2.4.2数量积的坐标表示、模、夹角


一复习引入
1.非零向量 a 与 b 的数量积的定义是什么? 几何意义是什么?
? ?

? b
o ?
?

B

| b | cos ?

B1

?

a

A

2.平面

向量的数量积满足的运算律? (1)a· b=b· a; (2)(λa)· b=λ(a· b)=a·(λb); (3)(a+b)· c =a · c+b· c; 3.设向量a与b都是非零向量,则

平面向量的表示方法有几何法和坐标 法,向量的坐标表示,对向量的加、减、 数乘运算带来了很大的方便.若已知向量 a与b的坐标,则其数量积是唯一确定的, 因此,如何用坐标表示向量的数量积就 成为我们需要研究的课题.

探究(一):平面向量数量积的坐标表示

? ? 1 i ? i ? ? ? 1 j ? j ? ? ? 0 i? j ?
? ? ? 则:a ? x1i ? y1 j,

y b j o a

i

x

已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), 怎样用a与b的坐标表示a· b?

? ? ? b ? x2 i ? y2 j

?2 ? ? ? ? ?2 ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1 i ? j ? y1 y2 j

? ? ? ? ? ? a ? b ? ( x1 i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j )

?2 ? ? ?2 因为i ? 1, i ? j ? 0, j ? 1

? ? 所以a ? b ? x1x2 ? y1 y2

两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和.

练习1:已知向量 a ? (3, ?1), b =(1,-2)

?

?

求:(1)
(2)

1 3

探究(二):向量的模和夹角的坐标表示

? ? ?2 ? ? ? a ? a ? a 或 a ? a ? a;

(1)向量的模
?

?2 2 2 ? 设 a ? ( x, y ), 则 a ? x ? y , 或 a ? x 2 ? y 2
(2)设 A (x1 , y1 )、B( x2 , y2 ),

??? ? 2 则 AB ? (x ? x )2 ? (y2 ? y1 ) 2 1

(3)平行 ? ? ? ? 则 设a? ( x1 , y, x( ,2 y,2y ), a ? ( x1 y1b ), ? b( ? 1 ), 2x 2 ), ?? ?? ?? ? ? / b? ?x1 xy ? x y ? 0, ( b ? 0) aa // /b ? x y ? 0, ( b ? 0) 1y 2 2 1 2 2 1 (4)垂直 a ? b ? a ? b ? 0 ? ? ? ?? 设 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ),(a ? 0, b ? 0) 则

? ? x x ? y y ? 0 a?b? 1 2 1 2

? ? (5)设 a, b ? 是两个非零向量,其夹角为 ?
) θ,若 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 那么 cosθ如何用坐 标表示?

x1 x2 ? y1 y2 x ?y
2 1 2 1

x2 ? y2
2

2

例题讲解
例1:设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a· b及a、b间的 夹角θ(精确到1°) b = 5×(-6)+(-7) ×(-4) 解 a· = -30+28 = -2
a ? 5 ? 7 ? 74 , b ? ?? 6? ? ?? 4? ? 52 ?2 cos? ? ? ?0.03 74 ? 52
2 2
2 2

? ? 1.6rad ? 92

?

? ? ? ? (1) 当 a ? ? 2b ?与2a ? ?b ?平行 时,求x? a ? 2b与2a ? b垂直 时,求x? (2? )当 ? ? ?

? ? 例2:已知向量 a ? (1, 2), b ? ( x,1).

解: a ? 2b ? (1? 2x, 4), 2a ? b ? (2 ? x,3)

1 3(1 ? 2 x) ? 4(2 ? x) ? 0, 得x ? 2 ? ? ? ? (2)若a ? 2b与2a ? b垂直,则

? ? ? ? 则 (1)若a ? 2b与2a ? b平行,

7 (1 ? 2 x)(2 ? x) ? 4 ? 3 ? 0, 得x=-2或 2

? ? 例3 (1) 已知a ? (?1, 3), b ? (1,1), ? ? a与b的夹角? , 求 cos ?

? ? a ?b 6? 2 cos ? ? ? ? ? . 4 a b

变式:已知向量 a=(λ ,-2), b=(-3,5),若向量a 与b的夹角为钝 角,求λ 的取值范围.

例4 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5), 试判断?ABC的形状,并给出证明. 向量的数量

C(-2,5)

y

B(2,3)
A(1,2) 0

积是否为零, 证明 : ? AB ? (2是判断相应 ? 1,3 ? 2) ? (1,1) 的两条线段 AC ? (?2或直线是否 ? 1 , 5 ? 2 ) ? ( ? 3 , 3 ) 垂直的重要 方法之一 ? AB ? AC ? 1 ? (?3) ? 1? 3 ? 0

? AB ? AC

x

??ABC是直角三角形.
思考:还有 其他证明方 法吗?

变式:已知?ABC为直角三角形, ??? ??? ? ?C ? 90 , AB=(1,3),AC=(2,k),求k值? 解: ??? ?? ? ??? ?? ? ? 若?C ? 90 ,则CA ? CB,? CA?CB=0, -2 ? (?1)+(-k)(3-k)=0, ? k=1或2.

练习
已知i=(1,0),j=(0,1),与2i+j垂直的向量是[ B ]

A. 2i-j C. 2i+j

B . i-2j D . i+2j

已知a=(λ,2),b=(-3,5),且a和b的夹角是钝角,则λ的 范围是[ ] A
10 A. ? ? 3 10 C. ? ? 3 10 B. ? ? 3 10 D. ? ? 3

练习

已知 a ? ?2m ? 1,2 ? m ?, 若 a ? 10 , 则m的取值 范围为 [ B ]
A. ?? 1,1? C. ? 2 , 2 B. ?? 1,1? D. ?- ?,-1? ? ?1, ?? ?

?

?

练习

已知a ? 1, 3 , b ?

? ? ? 3 ?1,

3 ?1 , 则a与b的夹角是多少?

?

分析:为求a与b夹角,需先求a· b及|a||b|,再结合夹 角θ的范围确定其值. 0≤θ≤π

解 a ? 1, 3 , b ? 3 ?1, 3 ?1

? ? ?
a ?b 2 ? ab 2

a ? b ? 3 ? 1 ? 3 3 ?1 ? 4 a ? 2, b ? 2 2 记a与b的夹角为θ
cos? ?

?

?

?

知三角形函 数值求角时, 应注重角的 范围的确定

又0≤θ≤π

?? ?

?
4

练习 已知a=(3,4),b=(4,3),求x,y的值使 (xa+yb)⊥a,且|xa+yb|=1.
24 ? 24 ? x? x?? ? ? ? 35 ? 35 和? ? ?y ? ? 5 ?y ? 5 ? 7 ? 7 ? ?

小结

? ? ? ? ? ? a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2i ? y2 j )

? ? 2 2 2 2 a ? x1 ? y1 , b ? x2 ? y2 .
A、B两点间的距离公式:已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),

? x1 x2 ? y1 y2

AB ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ,
2 2

小结

cos ? ?

x1 x2 ? y1 y2 x1 ? y1 ?
2 2

x2 ? y2

2

2

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

a // b ? x1y2 ? x2 y1 ? 0

2.向量的坐标运算沟通了向量与解析几 何的内在联系,解析几何中与角度、距 离、平行、垂直有关的问题,可以考虑 用向量方法来解决.

作业
课本第121页习题2.4A组题6,7,8


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