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曲线中的定点、定值、最值、范围问题


第2讲

圆锥曲线中的定点、定值、最值、 范围问题

一、选择题 x2 y2 1.若双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)与直线 y= 3x 无交点,则离心率 e 的取值范 围是 A.(1,2) C.(1, 5) 解析 B.(1,2] D.(1, 5] ( ).

b 因为双曲线的渐近线为 y=± ax,要使直线 y=

3x 与双曲线无交点,

b 则直线 y= 3x 应在两渐近线之间,所以有a≤ 3, 即 b≤ 3a,所以 b2≤3a2, c2-a2≤3a2,即 c2≤4a2,e2≤4,所以 1<e≤2. 答案 B

x2 y2 2.已知椭圆 4 +b2=1(0<b<2),左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭 圆于 A,B 两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为 5,则 b 的值是 A.1 3 C.2 解析 B. 2 D. 3 由椭圆的方程, 可知长半轴长为 a=2; 由椭圆的定义, 可知|AF2|+|BF2| ( ).

+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3,由椭圆的性质,可知过椭圆 2b2 焦点的弦中,通径最短,即 a =3,可求得 b2=3,即 b= 3. 答案 D

3.(2014· 湖北卷)已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共 π 点, 且∠F1PF2=3, 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ( ).

4 3 A. 3 C.3 解析

2 3 B. 3 D.2 设|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>r2),|F1F2|=2c,椭圆长半轴长为 a1,双曲

2 线实半轴长为 a2,椭圆、双曲线的离心率分别为 e1,e2,则(2c)2=r2 1+ r 2-

π 2 2r1r2cos 3,得 4c2=r2 1+r2-r1r2. ?r1+r2=2a1, ?r1=a1+a2, 由? 得? ?r1-r2=2a2 ?r2=a1-a2, 1 1 a1+a2 r1 ∴e +e = c = c .
1 2

r2 1 令 m=c2=

2 4r1 = 2 r2 1+r2-r1r2

4 ?r2? r2 1+?r ?2-r ? 1? 1

4 =r 1 , ? 2 ?2 3 ?r -2? + ?1 ? 4 r2 1 16 4 3 ?r1? 当r =2时,mmax= 3 ,∴? c ?max= 3 , ? ? 1 1 1 4 3 即e +e 的最大值为 3 .
1 2

答案

A

x2 4.(2014· 福建卷)设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆10+y2=1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离是 A.5 2 C.7+ 2 解析 B. 46+ 2 D.6 2 ( ).

设圆的圆心为 C,则 C(0,6),半径为 r= 2,

点 C 到椭圆上的点 Q( 10cos α, sin α)的距离|CQ|= ? 10cos α?2+?sin α-6?2 = 46-9sin2 α-12sin α = 2? ? 50-9?sin α+3?2≤ 50=5 2, ? ?

2 当且仅当 sin α=-3时取等号,所以|PQ|≤|CQ|+r=5 2+ 2=6 2,即 P,

Q 两点间的最大距离是 6 2,故选 D. 答案 D

二、填空题 y2 5.已知双曲线 x2- 3 =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点, → → 则PA1· PF2的最小值为________. 解析 → → 由已知得 A1(-1,0),F2(2,0).设 P(x,y)(x≥1),则PA1· PF2=(-1-x,

-y)· (2-x,-y)=4x2-x-5.令 f(x)=4x2-x-5,则 f(x)在[1,+∞)上单调递 → → 增,所以当 x=1 时,函数 f(x)取最小值,即PA1· PF2取最小值,最小值为-2. 答案 -2 x2 y2 → → 6.已知 A(1,2),B(-1,2),动点 P 满足AP⊥BP.若双曲线a2-b2=1(a>0,b>0) 的渐近线与动点 P 的轨迹没有公共点, 则双曲线离心率的取值范围是______. 解析 设 P(x,y),由题设条件,得动点 P 的轨迹为(x-1)(x+1)+(y-2)(y-

x2 2)=0,即 x2+(y-2)2=1,它是以(0,2)为圆心,1 为半径的圆.又双曲线a2- y2 b 2a b > 0) 的渐近线方程为 y = ± x , 即 bx ± ay = 0 , 由题意, 可得 2=1(a>0, b a a2+b2 2a c >1,即 c >1,所以 e=a<2,又 e>1,故 1<e<2. 答案 (1,2)

x2 y2 x2 y2 7.若椭圆a2+b2=1(a>b>0)与双曲线a2-b2=1 的离心率分别为 e1,e2,则 e1e2 的取值范围为________. 解析 可知 a e2 1=
2 2 2 -b2 b2 2 a +b b2 a2 =1-a2,e2= a2 =1+a2,

2 所以 e2 1+e2=2>2e1e2?0<e1e2<1.

答案

(0,1)

8. 直线 3x-4y+4=0 与抛物线 x2=4y 和圆 x2+(y-1)2=1 从左到右的交点依次 AB 为 A,B,C,D,则CD的值为________.

解析

?3x-4y+4=0, 由? 2 得 x2-3x-4=0, ?x =4y,

1 ∴xA=-1,xD=4,∴yA=4,yD=4. 直线 3x-4y+4=0 恰过抛物线的焦点 F(0,1). 5 ∴AF=yA+1=4,DF=yD+1=5, AB AF-1 1 ∴CD= = . DF-1 16 答案 1 16

三、解答题 1 9.(2014· 烟台一模)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于2, 它的一个顶点恰好是抛物线 x2=8 3y 的焦点.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,点 A,B 是椭圆上不同的两个动点, 且满足∠APQ=∠BPQ,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由. 解 x2 y2 (1)设椭圆 C 的方程为a2+b2=1(a>b>0),

c 1 则 b=2 3.由a=2,a2=c2+b2,得 a=4, x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为16+12=1. (2)当∠APQ=∠BPQ 时,PA,PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k, 则 PB 的斜率为-k,PA 的直线方程为 y-3=k(x-2),

y-3=k?x-2?, ? ? 由? x2 y2 + =1, ? ?16 12

整理得

(3+4k2)x2+8(3-2k)kx+4(3-2k)2-48=0, x1+2= 8?2k-3?k , 3+4k2

同理 PB 的直线方程为 y-3=-k(x-2), 可得 x2+2= -8k?-2k-3? 8k?2k+3? = , 3+4k2 3+4k2

16k2-12 -48k ∴x1+x2= , 2 ,x1-x2= 3+4k 3+4k2 y1-y2 k?x1-2?+3+k?x2-2?-3 ∴kAB= = x1-x2 x1-x2 = k?x1+x2?-4k 1 =2, x1-x2

1 所以直线 AB 的斜率为定值2. 10.(2014· 湖北黄冈中学等八校联考)如图所示,已知椭圆 C1 和抛物线 C2 有公共 焦点 F(1,0),C1 的中心和 C2 的顶点都在坐标原点,过点 M(4,0)的直线 l 与抛 物线 C2 分别相交于 A,B 两点.

(1)写出抛物线 C2 的标准方程; (2)求证:以 AB 为直径的圆过原点; (3)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C2 上,直线 l 与椭圆 C1 有 公共点,求椭圆 C1 的长轴长的最小值. 解 (1)设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0),

由 F(1,0),得 p=2, ∴C2:y2=4x.

(2)可设 AB:x=4+ny,联立 y2=4x,得 y2-4ny-16=0.
2 y2 1y2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1y2=-16,x1x2= 16 =16,

→ → ∴OA· OB=x1x2+y1y2=0,即以 AB 为直径的圆过原点. (3)设 P(4t2,4t),则 OP 的中点(2t2,2t)在直线 l 上, 2t2=4+2nt, ? ? ∴? 4t 得 n=± 1,又∵t<0, 2=-n, ? ?4t ∴n=1,直线 l:x=y+4. x2 y2 设椭圆 C1:a2+ 2 =1,与直线 l:x=y+4 联立可得: a -1 (2a2-1)y2+8(a2-1)y-a4+17a2-16=0, 34 由 Δ≥0,得 a≥ 2 , ∴长轴长最小值为 34. 11.(2014· 金丽衢十二校联考)如图,过椭圆 L 的左顶点 A(-3,0)和下顶点 B(0, -1)且斜率均为 k 的两直线 l1,l2 分别交椭圆于 C,D,又 l1 交 y 轴于 M,l2 交 x 轴于 N,且 CD 与 MN 相交于点 P.

(1)求椭圆 L 的标准方程; → → (2)(ⅰ)证明存在实数 λ,使得AM=λOP; (ⅱ)求|OP|的取值范围. 解 (1)由椭圆 L 的左顶点为 A(-3,0), 下顶点为 B(0, -1)可知椭圆 L 的标准

x2 方程为: 9 +y2=1. (2)(ⅰ)证明 由(1)可设直线 l1,l2 的方程分别为 y=k(x+3)和 y=kx-1,其中

1 k≠0,则 M(0,3k),N(k ,0). y=k?x+3?, ? ? 由?x2 2 +y =1, ? ?9 消去 x 得(1+9k2)x2+54k2x+81k2-9=0.

3-27k2 以上方程必有一根-3,由根与系数的关系可得另一根为 ,故点 C 的 1+9k2 3-27k2 6k 坐标为( ). 2, 1+9k 1+9k2 y=kx-1, ? ? 由?x2 2 +y =1, ? ?9 解得一根为 消去 x 得(1+9k2)x2-18kx=0,

18k , 1+9k2

9k2-1 18k 故点 D 的坐标为( , ). 1+9k2 1+9k2 → → → → 由 l1 与 l2 平行得MP=t MN,CP=t CD,然后,进行坐标运算,即可得出点 3k ? 3k ? ? 3 → → ? 3 P 的坐标为?1+3k,1+3k?,而AM=(3,3k),OP=?1+3k,1+3k?. ? ? ? ? → → ∴AM=(1+3k)OP,∴存在实数 λ=1+3k, → → 使得AM=λOP. 3k ? → ? 3 (ⅱ)由OP=?1+3k,1+3k?, ? ? 法一 由消参得点 P 的轨迹方程为 x+3y-3=0,

3 10 所以|OP|的最小值为 10 ; 法二 3 1+k2 得|OP|= ,令 t=1+3k, |1+3k| 1 1 1 10? t ?2-2? t ?+1,其中 t ≠0,1,

则|OP|=

3 10 3 10 ∴|OP|的最小值为 10 ,故|OP|的取值范围为[ 10 ,+∞).


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