当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学解题方法谈 用函数知识解决数列问题


用函数知识解决数列问题
数列是一种特殊的函数,数列的通项公式和前 n 项和公式都可以看成是关于 n 的函数, 特别是等差数列的通项公式可以看成是关于 n 的一次函数(公差 d≠0时) ,而其求和公式 可以看成是关于 n 的二次函数.数列的单调性的判断可以借助于函数单调性的判断方法,数 列中各项大小的比较,可以借助函数图象的直观性来比较.因此,许多数列问题可以用函数 的知识进行分析,加以解决. 1.等差数列的通项公式可以看成自变量为 n 的一次函数(公差 d≠0时)
2 例 1 已知等差数列 {an } ,其前 n 项和为 Sn ,是否存在常数 k,使得 kan ?1 ? S2n ? Sn?1

成立. 分析:将 an 看成是 n 的一次函数,设出函数解析式并代入进行求解.
2 解:设存在常数 k,使得 kan ?1 ? S2n ? Sn?1 成立,

令 an ? pn ? q (p、q 为常数) , 则 k ( pn ? q)2 ?1 ? S2n ? Sn?1 .① 又∵ S n ? p (1 ? 2 ?
2 2

? n) ? nq ?

p n(n ? 1) ? nq ,, 2
2

代入①式变为 kp n ? 2kpqn ? kq ? 1 ?

3 ? 1 ? pn2 ? ? ? p ? q ? n ? ( p ? q) , 2 ? 2 ?

? 2 3 ② ? kp ? 2 p, ? 1 ? ? ? 2kpq ? ? p ? q, ③ 2 ? ? kq 2 ? 1 ? ?( p ? q ), ④ ? ?
由②,得 p ? 0 或 kp ?

3 . 2 p , 4

将 p=0 代入③、④不成立. 将 kp=代入③,得

q??

代入④,得 ∴p?

3p 3 kp 2 p ?1 ? ? p , ? 1 ? ? p ? ,即 32 4 16 4

32 81 ,从而得出 k ? . 27 64
2

∴存在常数 k,使得 kan ?1 ? S2n ? Sn?1 成立. 评注:存在型探索性问题,是指判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、
用心 爱心 专心 1

函数等)不确定的问题.这类问题常常出现“是否存在” 、 “是否有”等形式的疑问句,以示 结论有待于确定.解答此类问题的思路是:通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)或 暂且认可其中一部分的结论,然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假 设;否则,给出肯定结论的证明. 2.构造一次函数模型,利用一次函数图象性质解题 例2 等差数列 {an } 的前 n 项和为 30, 前 2n 项和为 100, 则它的前 3n 项和为 ( (A)30 (B)170 (C)210 (D)260 ) .

分 析 : 运 用 等 差 数 列 求 和 公 式 , 先 对 Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d 进行变形, 2

Sn d S d d d ? n ? a1 ? ,则 n ? n ? a1 ? 可以看成是关于 n 的一次函数,再利用点共线的 n 2 2 n 2 2
性质求解. 解:由 Sn ? na1 ? 由此可知数列 ?

S n(n ? 1) d d d ,可得 n ? n ? a1 ? , 2 n 2 2

? Sn ? ? 成等差数列, ?n? S ? ? 2n ? ? S ? 3n ?

2n 3n ∴ ? n, n ?,2 ? n, ?, ? 3n, ? 三点共线.

? ?

S ? ? n ? ?

100 30 S3n 30 ? ? 2 n n 3 n n , ∴ ? 2n ? n 3n ? n
∴ S3n ? 210 . 评注:①

Sn 可以看成是关于 n 的一次函数,其图象是直线上的离散点,本题是利用点 n

共 线 的 条 件 建 立 方 程 求 解 S3 n 的 . 运 用 该 法 还 可 以 推 得 在 等 差 数 列 中 若

S p ? q,Sq ? p( p ? q) ,则 S p?q ? ? ? p ? q ? .②等差数列的通项公式 an 也可以看成是关
于 n 的一次函数,利用该性质可推知等差数列中若 a p ? q ,aq ? p( p ? q) ,则 a p?q ? 0 . 3.等差数列的前 n 项和可看成是关于 n 的二次函数 例 3 已知等差数列 {an } ,首项 a1 ,且 S3 ? S10 ,问此数列前几项的和最大?最大值是 多少? 分析:等差数列前 n 项和 Sn 为特殊的二次函数,所以可采用配方法求其最值. 解:设等差数列公差为 d,前 n 项和为 Sn , ∵ S3 ? S10 ,即 d ? ?

1 a1 , 6
用心 爱心 专心 2

∴ Sn ? na1 ?

1 1 1 ? 13 ? 169 ? 1 ? n(n ? 1)d ? na1 ? n(n ? 1) ? ? a1 ? ? ? a1 ? n ? ? ? a1 , 2 2 12 ? 2? 48 ? 6 ?
7 a1 为最大. 2

2

∴当 n=6 或 n=7 时, S6 ? S7 ?

评注:关于等差数列前 n 项和最大(小)问题,可转化为二次函数问题,再结合二次函 数的最值问题加以分析,但应特别注意,当对称轴不是正自然数时,应将与对称轴最接近的 两个自然数代入函数关系式,再求值比较,以便确定 n 取何值时, Sn 最大(最小). 4.利用函数单调性知识解(证)数列中的单调性问题 例 4 已知函数 f ( x) ? 2x ? 2? x ,数列 {an } 满足 f (log2 an ) ? ?2n . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求证数列 {an } 是递减数列. 分析:①本题已知函数关系式,并给出了 an 的关系式,将其看作关于 an 的方程解出即 可.②数列是特殊的函数,借助函数的增减性的方法来证明数列的增减性. (1)解:∵ f ( x) ? 2x ? 2? x,f (log2 an ) ? ?2n , , ∴2
log 2 an

? 2? log2 an ? ?2n ,即 an ?

1 ? ?2n .. an
(※)

2 ∴ an ? 2nan ?1 ? 0 ,

解得

an ? ? n ? n 2 ? 1

又∵ an ? 0 ,∴ an ? (2)证明:由

n2 ? 1 ? n ;

(n ? 1)2 ? 1 ? (n ? 1) an?1 n2 ? 1 ? n ? ? ?1. an n2 ? 1 ? n (n ? 1)2 ? 1 ? (n ? 1)

又∵ an ? 0, ? an ?1 ? an .. ∴数列 {an } 是递减数列. 评注:本题主要应用函数与方程的思想解题, (※)式可看成是关于 an 的方程;而求出 的通项公式又反映了 an 是关于 n 的函数.解题过程中 an ? 0 这个细节要注意.

用心

爱心

专心

3


相关文章:
高一数学数列解题方法
数学问题 难点:用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题. ...将已知与所求联系起来,据题意列出 满足题意的数学关系式(如函数关系、方程、...
高中数学经典的解题技巧和方法(数列求和及综合应用)
高中数学经典的解题技巧和方法(数列求和及综合应用)_数学_高中教育_教育专区。高中...2.能在具体问题情景中识别数列的等差、等比关系,并能用有关知识解决相应问题。...
高中数列问题中的数学思想方法
2 文献综述 2.1 国内外研究现状现查阅到的参考文献中,分别就数学思想方法解题中的应用做出了说明.其中在文 献[1]、[4]、[8]中关于数列问题解决过程中提出...
用函数思想解决数列问题
用函数思想解决数列问题 06 级数学与应用数学 张志斌 【论文摘要】 函数是高中...而在解答题中, 则从更深的层次,在知识的网络的交汇处,从思想方法与相关能力相...
高中数学解题方法谈:图形背景中的等比数列问题
高中数学解题方法谈:图形背景中的等比数列问题高中数学解题方法谈图形背景中的等比数列问题 高考解答题已从过去单纯考查数列知识向综合问题转化,成为沟通函数、三角、...
高中数学经典解题技巧和方法:(数列求和及综合应用)
高中数学经典解题技巧和方法:(数列求和及综合应用)_数学_高中教育_教育专区。...2.能在具体问题情景中识别数列的等差、等比关系,并能用有关知识解决相应问题。...
2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十一 数列的综合...
2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十一 数列的综合应用问题_数学_高中教育_...用“函数与方程”的思想解决数列中的综合问题,通常 有如下情形: (1)用等差...
2011届高考数学解题方法复习10
2011届高考数学解题方法复习10_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。用函数知识...用函数知识解决数列问题数列是一种特殊的函数,数列的通项公式和前 n 项和公式...
浅谈导数在高中数学解题中的应用
浅谈导数在高中数学解题中的应用_数学_高中教育_教育...为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了...函数知识的很多方面,用导数解决这类问题可以使解题...
数列解题技巧归纳总结
数列解题技巧归纳总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。知识框架 ? ?数列的...思想方法 1.函数思想 运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决...
更多相关标签: