当前位置:首页 >> 数学 >>

算术平均数与几何平均数


题目 第六章不等式 算术平均数与几何平均数 高考要求 1 了解算术平均数与几何平均数的意义,掌握两个正数的算术平均数不 小于几何平均数的定理及其逆定理 2 能运用定理解决一些简单的数学问题和实际问题 3 在用均值定理解决实际问题时 , 要理解题意,设变量时要把要求最大值 或最小值的变量定为函数 ,建立相应的函数关系式 ,在定义域内,求出函数的 最大值或最小值 知识点归纳 1.常用

的基本不等式和重要的不等式
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(1) a ? R, a 2 ? 0, a ? 0 当且仅当 a ? 0, 取“?” (2) a, b ? R, 则a 2 ? b 2 ? 2ab (3) a, b ? R ? ,则 a ? b ? 2 ab

(4)

a2 ? b2 a?b 2 ?( ) 2 2

2 最值定理:设 x, y.0,由x ? y ? 2 xy
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

(1)如积 xy ? P(定值),则积 x ? y有最小值2 P (2)如积 x ? y ? S (定值),则积 xy 有最大值( )
2

S 2

即:积定和最小,和定积最大 运用最值定理求最值的三要素:一正二定三相等 3 均值不等式:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

a?b ? ab 2 a?b?c 3 ? abc 三个正数的均值不等是: 3
两个正数的均值不等式: n 个正数的均值不等式:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? a1 a 2 ? a n n

4 四种均值的关系:两个正数 a、 b 的调和平均数、几何平均数、算术平均 数、均方根之间的关系是
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

a?b ? ab ? ? 1 1 2 ? a b 2

a2 ? b2 2

不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应 用.因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性,这对同学们将 所学数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用.在解决问题时,要 依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为 不等式的求解或证明. 不等式的应用范围十分广泛, 它始终贯串在整个中学 数学之中.诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数 定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小 值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不等 式的求解或证明 题型讲解 例 1 设 a>0 ,b>0 则下列不等式中不成立的是()
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

A.a+b+

1 ab

≥2 2

B (a+b)(
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

1 1 + )≥4 a b

C

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

a 2 ? b2 ≥a+b ab

D

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2 ab ≥ ab a?b

解法一:由于是选择题,可用特值法,如取 a=4,b=1, 代入各选项中的不等 式,易判断

2 ab ≥ ab 不成立 a?b

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

解法二:可逐项使用均值不等式判断 A.a+b+

1 ab

≥2 ab +

1 ab

≥2 2 ab ?

1 ab

=2 2 ,不等式成立

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

B ∵a+b≥2 ab >0,
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

1 1 1 1 1 + ≥2 >0,相乘得: (a+b)( + )≥4 成立 a b a b ab
a?b 2 a?b 2 ) =( ) 2 2
2 2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

C ∵a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2(
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

a?b 2 1 a ? b ≥a+b 成立 又 ab ≤ ≥ ∴ ? 2 ab ab a ? b
D ∵a+b≥2 ab ?
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

1 1 ≤ , a ? b 2 ab

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com



2 ab 2 ab 2ab ≤ = ab ,即 ≥ ab 不成立 a ? b 2 ab a?b

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

故选 D 例 2 今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的 重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物 体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论 解:不对
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

设左、 右臂长分别是 l1 , l2 ,物体放在左、 右托盘称得重量分别为 a , b 真实 重量为为 G,则由杠杆平衡原理有:

l1 ? G ? l2 ? a , l2 ? G ? l1 ? b
①×②得 G2= ab , ∴G= ab 由于 l1 ? l2 ,故 a ? b ,由平均值不等式
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

a?b > 2

ab 知说法不对

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

真实重量是两次称量结果的几何平均值 点评:本小题平均值 不等, 杠杆平衡原理知识、数学化能力及分析问题、 解决问题的能力,属跨学科(数学、物理)的创新问题
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

例 3 设 x≥0, y≥0, x2+

y2 2 =1,则 x 1 ? y 的最大值为__ 2

分析: ∵x2+

y2 y2 =1 是常数, ∴x2 与 的积可能有最大值 2 2

2 2 ∴可把 x 放到根号 x (1 ? y ) 里面去考虑,注意到 x2 与 1+y2 的积,应处理成

1? y2 2x · 2
2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

解法一: ∵x≥0, y≥0, x2+

y2 =1 2

2 2 2 2 ∴ x 1 ? y = x (1 ? y ) = 2 x

1? y2 2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

x2 ?
≤ 2

1? y2 y2 1 x2 ? ? 2 = 2 2 2 =3 2 4 2 2
1? y2 3 2 3 2 2 ,y= (即 x2= )时, x 1 ? y 取得最大值 2 2 2 4

当且仅当 x=

解法二: 令 ?

? ? x ? cos ? ? (0≤ ? ≤ ) 2 ? ? y ? 2 sin ?
1 ? 2 sin 2 ? = 2 cos2 ? (1 ? 2 sin 2 ? ) ?
2

2 则 x 1 ? y =cos ?

1 2

1 ? 2cos2 ? ? (1 ? 2sin 2 ? ) ? 3 2 ≤ ? ? = 4 2 ? 2 ? ?
当 2 cos ? = 1 ? 2 sin ? ,
2 2

即? =

? 3 2 3 2 2 时,x= ,y= 时, x 1 ? y 取得最大值 6 2 2 4
2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

例 4 若 a>b>0, 求 a ?

16 的最小值 b( a ? b )

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

分析 : a ?
2

16 16 的结 构不对称 , 关键 是 的分母 (a—b)b, 而 b( a ? b ) b( a ? b)

(a—b)+b=a, 故问题突破口已显然 ! 也可以逐步进行:先对 b 求最小值

f (a ) ,然后在对 a 求最小值
解法一: a ?
2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

16 16 =[(a—b)+b]2 + b( a ? b ) b( a ? b)

≥[2 b(a ? b) ]2 +

16 16 =4(a—b)b+ ≥16 b( a ? b) b( a ? b)
2

当且仅当 b=(a—b)且(a—b)b=2,即 a=2b=2 2 时取等号,故 a ?

16 b( a ? b )

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

的最小值为 16 解法二: a ?
2

16 16 64 8 = a2 ? ? a 2 ? 2 ? 2a ? ? 16 2 b( a ? b ) a a ? b ? ( a ? b) ? ? ? 2 ? ?
8 , a
2

当且仅当 b=(a—b)且 a ?

即 a=2b=2 2 时取等号,故 a ?

16 的最小值为 16 b( a ? b )

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

点评:在运用均值不等式求最值时,凑出定值是关键!但在定值的过程中, 不一定就能凑出定值来 ,实际上,分几步凑也是可以的,只要每步取等号的条 件相同便可
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

例 5 若 x>0,y>0,x+y=1, 求证:(1+ 分析: x+y 常数,xy 可有最大值 证法一: 左边=(1+

1 1 )(1+ )≥9 x y

1 1 1 1 1 x? y 1 )(1+ )=1+ + + =1+ + x x y xy y xy xy

1 2 2 ≥1+ =9=右边 (当且仅当 x=y= 时取“=”号) x? y 2 2 xy ( ) 2 ? 2 2 证法二: 令 x= cos ? y= sin ? , 0< ? < 2
=1+ 左边=(1+

1 1 1 1 )(1+ )=(1+ )(1+ ) 2 x cos ? sin 2 ? y

1 1 1 1 2 + + · 2 =1+ 2 2 2 2 sin ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? cos 2 ? 8 =1+ ≥1+8=9=右边 sin 2 2? ? 1 0<2 ? < ? ? = 时,x=y= 时取等号 2 4
=1+
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

证法三:∵x+y=1 ∴左边=(1+

1 x? y y 1 x? y x )(1+ )=(1+ )(1+ )=(2+ )(2+ ) x x x y y y

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

=5+2(

y x 1 + )≥5+4=9=右边 (当且仅当 x=y= 时取“=”号) 2 x y

小结: 1 平均值定理是证明不等式的重要依据,其一般形式是:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

a1a2a3```+an≥ n n

a1a2

an

( a1a2a3```an 均为正实数),它的一边是“和”的形
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

式,另一边是“积”的形式,要实现转化时,常用均值不等式 用它来求函 数最值时,注意:一“正”二“定”三“相等” 2 运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

a2+b2≥2ab 逆用 ab≤
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

a?b 2 a 2 ? b2 a ? b ; ≥ ab (a,b>0)逆用为 ab≤( ) 2 2 2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

(a,b>0)等 还要注意“添拆项”技巧和公式等号成立的条件等 3 在用均值定理解决实际问题时,要理解题意,设变量时要把要求最大值 或最小值的变量定为函数 ,建立相应的函数关系式 ,在定义域内,求出函数的 最大值或最小值 学生练习
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

1 设 a、 b≥0,a+b=1, 试比较大小: 2a ? 1 ? 2b ? 1
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

2 2 (填 “≥” ,

“≤”或“=”) 答案:≤ 2 比较大小:若 a>b>0, 则
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

a2 ? b2 a2 ? b2

a?b (填“>”,“<”或“=”) a?b
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

答案:> + 2 若 x, y∈R , 且 x+y=s, xy=p, 则下列命题中正确的是( )
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

A

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

当且仅当 x=y 时,s 有最小值 2

p

s2 B 当且仅当 x=y 时,p 有最大值 4
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

C 当且仅当 p 为定值时,s 有最小值 2 p
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

D 若 s 为定值,则当且仅当 x=y 时,p 有最大值
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

s2 4

答案:D
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

4 若 x, y∈R , x+y≤4,则下列不等式中成立的是(
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

+

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/



A

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

1 1 ≤ x? y 4

B

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

1 1 + ≥1 C x y

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

xy ≥ 2 D

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

1 ≥1 xy

答案:B 提示:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

1 1 1 1 + ≥2 ≥2 ≥1 x? y 2 x y xy ( ) 2

5 下列说法中不正确的是( ) 2 2 2 2 A 由 a、b∈R,可得 a +b ≥2ab≥-(a +b )
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

B 对于命题“a、b∈R ?
+
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

a?b ≥ ab ”,把条件改为 a、b 均为非负数 2
n

后依然成立 C 若 a>b>0, n∈Z, n>1,则 a>b ?
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

a ?n b

D 若 a、b、c∈R ,则
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

+

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

1 3 ? 3 abc a ? b 3 ? c 3

答案:D 提示:

1 3 3 ≤ = 3 3 a ?b ?c 3 ? 3 a 3b 3 c 3 abc
3

6 下列不等式中恒成立的是( )
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

A ctgθ +tgθ ≥2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

B x+
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

2 x

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

-1≥2

C

sin 2 ? ? 3
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

sin ? ? 2
2
+

≥2

D xyz≤
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

1 (x+y+z=1) 27

答案:B 7 当 x∈R 时可得到不等式 x+
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

2 2 1 4 x x ≥2, x+ 2 = + + ( ) ≥3, 由此 x 2 2 x x

可以推广为 x+ An
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

p ≥n+1, 取值 p 等于( ) xn
Cn
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

n

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

Bn
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

2

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

D n+1
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

答案:A 提示:x+
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

n n p x x x n = + +??+ + ( ) ≥n+1,∴p= n n n n n x x

8 x、y>0, x+y=1, 且
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

x ? y ≤a 恒成立, 则 a 的最小值为( )

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

A

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2 /2

B2 2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

C2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

D

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2

答案:D 提示: x ?
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

y ≤2

x? y = 2 2
时,函数 y=

9 在区间(0, +∞)上,当 x=
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

12 +3x 有最小值 x2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

答案:2;9 提示:y=
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

12 12 3x 3x +3x≥3 ? ? =9, 2 x x2 2 2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

10 函数 y=m +
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

2

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

1 的值域为 m ?1
2
2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

答案:[1, +∞) 提示:y=m +
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

1 1 2 = y=(m +1)+ 2 -1≥2 m ?1 m ?1
2

11 为

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

已 知 x 、 y 、 z ≥ 0, 且 x + y + z=1, 则 ; 最小值为
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

x ? y ? z 的最大值

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

答案: 3 ;1 12 已知: a+b+c=1, a +b +c =1, 且 a>b>c,则 a+b 的取值范围是 a2+b2 的取值范围是
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

2

2

2

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/



新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

4 8 );( , 1) 3 9 13 若 a>1, b>1, c>1, ab=10,求证:log ac+log bc≥4lgc, 并指出什么时
答案:(1,
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

候等号成立

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

答案:a=b= 10 时等号成立 提示:a>1, b>1, c>1, ab=10,
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

log ac+log

b

c=lgc ·

1 lg a ? lg b ≥ lgc · =4lgc, 当 lga=lgb 时 , 即 lg a ? lg b 2 lg a lg b ( ) 2

a=b= 10 时等号成立
14 若 a>0, b>0,且
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

1 1 ? =1, a b
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

求证:(I) a+b≥4; n n n 2n n+1 (II) 对于一切 n∈N, (a+b) -a -b ≥2 -2 成立

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

提示:(I)

1 1 1 1 b a ? =1, a+b=( ? )(a+b)=1+ + +1≥4, a b a b a b

(II) 当 n=1 时, 左式=0,右式=0,∴n=1 时成立,假设 n=k 时成立, k k k 2k k+1 k+1 k+1 k+1 即(a+b) -a -b ≥2 -2 , 则当 n=k+1 时,(a+b) -a -b =(a+ b) (a+b)k-ak+1-bk+1≥(a+b)(ak+bk+22k-2k+1) -ak+1-bk+1=abk+bak+ 2k k+1 k+1 2k k+1 2k+2 k+2 (a+b)(2 -2 )≥2·2 +4·2 -4·2 =2 -2 , ∴n=k+1 时命题 成立
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com


相关文章:
算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考数学专题复习资料学科: 学科:数学 教学内容: 教学内容:算术平均数与几何平均数 【基础知识导引】 基...
算术平均数与几何平均数
6.2.3 算术平均数与几何平均数●教学目标 (一)教学知识点 + 1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若 a,b∈R ,且 a+b=M,M 为定值, R ...
算术平均数与几何平均数
6.2 算术平均数与几何平均数第一课时 教学目标: 1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理; 2.理解定理的几何意义; 3.能够简单应用定理证明不...
算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数_韩语学习_外语学习_教育专区。算术平均数与几何平均数 进货次数问题探讨 题目 某公司某年需要某种计算机元件 8000 个,在一年内连续作业组装...
算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数_数学_高中教育_教育专区。我的小论文6.2 算术平均数与几何平均数宣化一中 一、教材分析(一)教材所处的地位和作用 “算术平均数与几何平...
算术平均数与几何平均数
题目 第六章不等式 算术平均数与几何平均数 高考要求 1 了解算术平均数与几何平均数的意义,掌握两个正数的算术平均数不 小于几何平均数的定理及其逆定理 2 能...
算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数_数学_高中教育_教育专区。算术平均数与几何平均数――【三维目标】 a?b ? ab 2 1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个不等...
算术平均数与几何平均数(一)
算术平均数与几何平均数(一)_数学_高中教育_教育专区。算术平均数与几何平均数(一)教学目标 (1)掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定...
算术平均数与几何平均数测试卷
算术平均数与几何平均数测试卷_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档算术平均数与几何平均数测试卷_从业资格考试_资格考试/...
算术平均数与几何平均数(2)
算术平均数与几何平均数(2)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。掌握基本不等式 课题:算术平均数与几何平均数(2) 教学目的: 1 进一步掌握均值不等式定理; 2 会...
更多相关标签:
几何平均数 | 算术平均数 | 算术平均数几何平均数 | 调和平均数 | 加权平均数 | 平均数 | 几何平均 | 诗经 |