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江苏省连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)数学


徐州、淮安、宿迁、连云港四市 2015 届高三第一次模拟考试 数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需写出解题过程,请把答案直接填写 在答题卡相应位置上, 1.己知集合 A ? ?0,1,2,3? , B ? ?2,3,4,5?,则 A

B 中元素的个数为_______.

2.设复数 z

满足 i( z ? 4) ? 3 ? 2i (i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为_______. 3.如图,茎叶图记录了甲、乙两组各 3 名同学在期末考试中的数学成绩, 则方差较小的那组同学成绩的方差为_______. 4.某用人单位从甲、乙、丙、丁 4 名应聘者中招聘 2 人,若每名应聘者被录用 的机会均等,则甲、乙 2 人中至少有 1 入被录用的概率为_______. 5.如图是一个算法的流程图,若输入 x 的值为 2,则输出 y 的值为_____. 6. 已知圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形,则该圆锥的体积为 ______. 7. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? log2 (2 ? x) , 则 f (0) ? f (2) 的值为_____. 8. 在等差数列 ?an ? 中,已知 a2 ? a8 ? 11 ,则 3a3 ? a11 的值为______. 9. 若实数 x, y 满足 x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? x ? y ? 6x ? 2 y ? 10 的最小值为_____.
2 2

10. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 A, B1 , B2 , F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点, a 2 b2

若直线 AB2 与直线 B1 F 的交点恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率为______. 11.将函数 y ? 2sin(? x ?

?
4

)(? ? 0) 的图象分别向左、向右各平移

? 个单位长度后,所得的两个 4

图象对称轴重合,则 ? 的最小值为______. 12.己知 a,b 为正数,且直线 ax ? by ? 6 ? 0 与直线 2 x ? (b ? 3) y ? 5 ? 0 互相平行,则 2a+3b 的最小值为________.
2 ? ?? x , x ? 0, 13.已知函数 f ( x) ? ? 2 ? ,则不等式 f ( f ( x)) ? 3 的解集为______. ? ? x 2 x, x ? 0

·1 ·

14.在△ ABC 中,己知 AC ? 3, ?A ? 45 ,点 D 满足 CD ? 2BD ,且 AD ? 13 ,则 BC 的长 为_______ .

二、解答题:本大题共 6 小题.15~17 每小题 14 分,18~20 每小题 16 分,共计 90 分.请在答题 卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 己知向量 a ? (1, 2sin ? ), b ? (sin(? ? (1)若 a ? b ,求 tan ? 的值: (2)若 a / / b ,且 ? ? (0,

?
3

),1) , ? ? R .

?
2

) ,求 ? 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P- ABC 中,已知平面 PBC ? 平面 ABC. (1)若 AB ? BC,CD ? PB,求证:CP ? PA: (2)若过点 A 作直线 l 上平面 ABC,求证: l //平面 PBC.

17.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,己知点 A(?3, 4), B(9, 0) ,C,D 分别为线段 OA,OB 上的动点,且 满足 AC=BD. (1)若 AC=4,求直线 CD 的方程; (2)证明: ? OCD 的外接圈恒过定点(异于原点 O).

·2 ·

18.(本小题满分 16 分) 如图,有一个长方形地块 ABCD,边 AB 为 2km,AD 为 4 km.,地块的一角是湿地(图中阴影部 分),其边缘线 AC 是以直线 AD 为对称轴,以 A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线 AC 上一点 P 的直线型隔离带 EF,E,F 分别在边 AB,BC 上(隔离带不能穿越湿地,且占地面积忽略不 计).设点 P 到边 AD 的距离为 t(单位:km),△ BEF 的面积为 S(单位: km ). (I)求 S 关于 t 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)是否存在点 P,使隔离出的△ BEF 面积 S 超过 3 km ?并说明理由.
2 2

19.(本小题满分 16 分) 在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ? 1, an ? an?2 ? ? ? 2an?1 , n ? N ? , ? 为常数. (1)证明: a1 , a4, a5 成等差数列; (2)设 cn ? 2
an ? 2 ?an

,求数列 的前 n 项和 Sn ;

(3)当 ? ? 0 时,数列

?an ? 1? 中是否存在三项 as?1 ? 1, at ?1 ? 1, ap?1 ? 1 成等比数列,且 s, t , p 也

成等比数列?若存在,求出 s , t , p 的值;若不存在,说明理由.

20.(本小题满分 16 分)
·3 ·

己知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? x, a ? R 2

(1)若 f (1) ? 0 ,求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? ax ? 1 恒成立,求整数 a 的最小值:

(3)若 a ? ?2 ,正实数 x1 , x2 满足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 x2 ? 0 ,证明: x1 ? x2 ?

5 ?1 2

附加题部分
21.【选做题】本题包括 A, B, C, D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. A 选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图, O 是△ ABC 的外接圆,AB = AC,延长 BC 到点 D,使得 CD = AC,连结 AD 交 O 于点 E.求证:BE 平分 ? ABC.

B.选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知 a, b ? R ,矩阵 A ? ? 值。

? ?1 a ? ? 所对应的变换 TA 将直线 x ? y ? 1 ? 0 变换为自身,求 a,b 的 ?b 3 ?

C.选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 己知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t, ? x ? acos? , (t 为参数),圆 C 的参数方程为 ? .(a>0. ? 为参 ? y ? 2t ? 1 ? y ? a sin ?
·4 ·

数),点 P 是圆 C 上的任意一点,若点 P 到直线 l 的距离的最大值为

5 ? 1 ,求 a 的值。 5

D.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 若 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? 0, b ? 0 ,求 a ? b 的最小值.
3 3

【必做题】第 22 题、第 23 题.每题 10 分.共计 20 分.请在答题卡指定区毕内作答.解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 某校开设 8 门校本课程,其中 4 门课程为人文科学,4 门为自然科学,学校要求学生在高中三年 内从中选修 3 门课程,假设学生选修每门课程的机会均等. (1)求某同学至少选修 1 门自然科学课程的概率; (2)已知某同学所选修的 3 门课程中有 1 门人文科学, 2 门自然科学, 若该同学通过人文科学课程 的概率都是

4 3 ,自然科学课程的概率都是 ,且各门课程通过与否相互独立.用 ? 表示该同学所选的 5 4

3 门课程通过的门数,求随机变量 ? 的概率分布列和数学期望。

23.(本小题满分 10 分)
2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物 y ? 2 px( p ? 0) 的准线方程为 x ? ?

1 , 过点 M(0,-2)作 4

抛物线的切线 MA,切点为 A(异于点 O).直线 l 过点 M 与抛物线交于两点 B,C,与直线 OA 交于点 N. (1)求抛物线的方程;
·5 ·

(2)试问:

MN MN ? 的值是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由。 MB MC

参考答案与评分标准
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需写出解题过程,请把答案直接填写 在答题卡相应位置上 ) ........
3 14 5 π; ; 4. ; 5.7; 6. 7. ?2 ; 3 3 6 1 8.22; 9.18; 10. ; 11.2; 12.25 ; 13. (??, 3] ; 14.3. 2 二、解答题: 本大题共 6 小题, 15~17 每小题 14 分,18~20 每小题 16 分,共计 90 分.请在答题卡 ...

1.6;

2. ?3 ;

3.

指定的区域内作答 ,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ........ .................... 15.(1)因为 a ? b ,所以 a b =0 , …………………………………………………………2 分 所以 2sin ? ? sin ? ? ?

? ?

5 3 π? cos ? ? 0 . ? ? 0 ,即 sin ? ? 2 2 3? 3 . 5

…………………4 分

因为 cos ? ? 0 ,所以 tan ? ? ?

…………………………………………6 分

·6 ·

(2)由 a ∥b ,得 2sin ? sin ? ? ? 即 2sin ? cos
2

? ?

π? ? ? 1, ………………………………………………8 分 3?

π π 1 3 ? 2sin ? cos ? sin ? 1 ,即 ?1 ? cos 2? ? ? sin 2? ? 1 , 3 3 2 2

整理得, sin ? 2? ? 又 ? ? ? 0, 所以 2? ?

? ?

π? 1 ?? 6? 2

……………………………………………………11 分

? ?

π ? π 5π ? π? ? ,所以 2? ? ? ? ? , ? , 6 ? 6 6 ? 2?
π π π ? ,即 ? ? . 6 6 6
…………………………………………………14 分 平面 ABC ? BC , AB ? 平面 ABC ,

16. (1)因为平面 PBC ⊥ 平面 ABC ,平面 PBC

平面 PBC . …………………………………………………2 分 AB ⊥BC ,所以 AB ⊥ 因为 CP ? 平面 PBC ,所以 CP ⊥AB . ………………………………………………4 分 又因为 CP ⊥PB ,且 PB
AB ? B , AB, PB ? 平面 PAB ,

所以 CP ⊥ 平面 PAB ,…………………………………………………………………6 分 又因为 PA ? 平面 PAB ,所以 CP ⊥PA .……………………………………………7 分 (2)在平面 PBC 内过点 P 作 PD ⊥BC ,垂足为 D .…………………………………8 分 因为平面 PBC ⊥ 平面 ABC ,又平面 PBC ∩平面 ABC =BC, 平面 ABC .…………………………………………10 分 PD ? 平面 PBC ,所以 PD ⊥ 又l ⊥ 平面 ABC ,所以 l // PD .……………………………………………………12 分 又 l ? 平面 PBC , PD ? 平面 PBC , l //平面 PBC .…………14 分 A 17.(1) 因为 A(?3, 4) ,所以 OA ? C D P

(?3) 2 ? 4 2 ? 5 ,…………………………………1 分B

又因为 AC ? 4 ,所以 OC ? 1 ,所以 C (? , ) ,…………………………………3 分 由 BD ? 4 ,得 D(5, 0) ,…………………………………………………………… 4 分

3 4 5 5

4 5 ??1 所以直线 CD 的斜率 , ………………………………………………5 分 7 ? 3? 5??? ? ? 5? 0?

·7 ·

所以直线 CD 的方程为 y ? ? ( x ? 5) ,即 x ? 7 y ? 5 ? 0 .…………………………6 分 (2)设 C (?3m, 4m)(0 ? m ≤1) ,则 OC ? 5m .…………………………………………7 分 则 AC ? OA ? OC ? 5 ? 5m , 因为 AC ? BD ,所以 OD ? OB ? BD ? 5m+4 , 所以 D 点的坐标为 (5m+4,0) ………………………………………………………8 分 又设 ?OCD 的外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx+Ey ? F ? 0 ,

1 7

? F ? 0, ? ? 2 2 则有 ?9m ? 16m ? 3mD ? 4mE ? F ? 0, ……………………………………………10 分 ? 2 ? ?? 5m ? 4 ? ? ? 5m ? 4 ? D ? F ? 0.
解之得 D ? ?(5m ? 4), F ? 0 , E ? ?10m ? 3 , 所以 ?OCD 的外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? (5m ? 4) x ? (10m ? 3) y ? 0 ,…………12 分 整理得 x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y ? 5m( x ? 2 y) ? 0 ,

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y =0, ? x ? 0, ? x ? 2, 令? ,所以 ? (舍)或 ? ? y ? 0. ? y ? ?1. ? x+2 y =0
所以△ OCD 的外接圆恒过定点为 (2, ?1) .…………………………………………14 分 18 . (1) 如图,以 A 为坐标原点 O , AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,则 C 点坐标为 (2, 4) .……………………………………………………………………………1 分 设边缘线 AC 所在抛物线的方程为 y = ax 2 , 把 (2, 4) 代入,得 4 = a 22 ,解得 a = 1 , 所以抛物线的方程为 y = x2 .…………………………………………………………3 分 因为 y ?= 2 x ,……………………………………………………………………………4 分 所以过 P(t , t 2 ) 的切线 EF 方程为 y = 2tx - t 2 .………………………………………5 分

t 2 1 t 2 所以 S ? (2 ? )(4t ? t ) ,…………………………………………………………8 分 2 2
·8 ·

令 y = 0 ,得 E ( ,0) ;令 x = 2 ,得 F (2,4t - t 2 ) ,…………………………………7 分

1 3 (t ? 8t 2 ? 16t ) ,定义域为 (0, 2] .………………………………………9 分 4 1 2 3 4 (2) S ? ? (3t ? 16t ? 16) ? (t ? 4)(t ? ) ,……………………………………………12 分 4 4 3 4 由 S ?(t ) ? 0 ,得 0 ? t ? , y 3 C D 4 4 所以 S ?(t ) 在 (0, ) 上是增函数,在 ( , 2] 上是减函数,……14 分 F 3 3 4 64 所以 S 在 (0, 2] 上有最大值 S ( ) ? . 3 27 64 17 P ? 3? ? 3, 又因为 27 27 所以不存在点 P ,使隔离出的△ BEF 面积 S 超过 3 km2 .…16 分
所以 S ? 19. (1)因为 an ? an?2 ? ? ? 2an?1,a1 ? a2 ? 1, 所以 a3 ? 2a2 -a1 +? ? ? ? 1 , O(A) E
(第 18 题)

B x

同理, a4 ? 2a3 -a2 +? ? 3? ? 1 , a5 ? 2a4 -a3 +? ? 6? ? 1 , ……………………2 分 又因为 a4 ? a1 ? 3? , a5 ? a4 ? 3? ,…………………………………………………3 分 所以 a4 ? a1 ? a5 ? a4 , 故 a1 , a4 , a5 成等差数列.…………………………………………………………4 分 (2) 由 an ? an?2 ? ? ? 2an?1 ,得 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an +? ,…………………………5 分 令 bn ? an?1 ? an ,则 bn?1 ? bn ? ? , b1 ? a2 ? a1 ? 0 , 所以 ?bn ? 是以 0 为首项,公差为 ? 的等差数列, 所以 bn ? b1 ? (n ? 1)? ? (n ?1)? ,…………………………………………………6 分 即 an?1 ? an ? (n ?1)? , 所以 an?2 ? an ? 2(an?1 ? an ) ? ? ? (2n ?1)? , 所以 cn ? 2
an?2 ?an

? 2(2n?1)? . ………………………………………………………8 分

Sn ? c1 ? c2 ? L ? cn ? 2? ? 23? ? 25? ? L ? 2(2n?1)?
·9 ·

当 ? ? 0时,Sn ? n , 当 ? ? 0 时,Sn ? 2 ? 2
?

……………………………………………………………9 分
3?

? 25? ? L ? 2(2 n ?1) ? ?

2? (1 ? 22 n? ) .………………10 分 1 ? 22 ?

(3)由(2)知 an?1 ? an ? (n ?1)? , 用累加法可求得 an ? 1+

(n ? 1)(n ? 2) ? ? n ≥ 2? , 2 (n ? 1)(n ? 2) ? ? n ? N? ? 当 n ? 1 时也适合,所以 an ? 1+ 2

……………………12 分

假设存在三项 as?1 ?1, at ?1 ?1, ap?1 ?1 成等比数列,且 s , t , p 也成等比数列, 则 (at ?1 ?1) ? (as?1 ?1)(ap?1 ?1) ,即
2

t 2 (t ? 1)2 s( s ? 1) p( p ? 1) ? , ………14 分 4 4

因为 s , t , p 成等比数列,所以 t 2 ? sp , 所以 (t ? 1)2 ? (s ?1)( p ?1) ,
2 化简得 s ? p ? 2t ,联立 t ? sp ,得 s ? t ? p .

这与题设矛盾. 故不存在三项 as?1 ?1, at ?1 ?1, ap?1 ?1 成等比数列,且 s , t , p 也成等比数列.…16 分 20. (1)因为 f (1) ? 1 ?

a ? 0 ,所以 a ? 2 ,………………………………………1 分 2 此时 f ( x) ? ln x ? x2 ? x, x ? 0 ,
1 ?2 x 2 ? x ? 1 ? 2x ?1 ? ( x ? 0) x x
……………………………………… 2 分

f ?( x) ?

由 f ?( x) ? 0 ,得 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 , 又 x ? 0 ,所以 x ? 1 . 所以 f ( x ) 的单调减区间为 (1, ??) . ………………………………………… 4 分

(2)方法一:令 g ( x) ? f ( x) -(ax ? 1) ? ln x ?

1 2 ax ? (1 ? a) x ? 1 , 2

所以 g ?( x) ?

1 ?ax 2 ? (1 ? a) x ? 1 . ? ax ? (1 ? a) ? x x
·10·

当 a ≤ 0 时,因为 x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 . 所以 g ( x) 在 (0, ??) 上是递增函数, 又因为 g (1) ? ln1 ?

1 3 a ?12 ? (1 ? a) ? 1 ? ? a ? 2 ? 0 , 2 2

所以关于 x 的不等式 f ( x) ≤ ax ? 1 不能恒成立.……………………………………6 分

1 a( x ? )( x ? 1) ?ax ? (1 ? a) x ? 1 当 a ? 0 时, , a g ?( x) ? ?? x x
2

令 g ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 . a 1 a

所以当 x ? (0, ) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ??) 时, g ?( x) ? 0 ,

1 a

因此函数 g ( x) 在 x ? (0, ) 是增函数,在 x ? ( , ??) 是减函数.

1 a

1 a

故函数 g ( x) 的最大值为 g ( ) ? ln

1 a

1 1 1 1 1 ? a ? ( ) 2 ? (1 ? a) ? ? 1 ? ? ln a . a 2 a a 2a

……………………………………………………………………8 分 令 h(a ) ?

1 ? ln a , 2a
1 1 ? 0 , h(2) ? ? ln 2 ? 0 ,又因为 h(a) 在 a ? (0, ??) 是减函数. 2 4

因为 h(1) ?

所以当 a ≥ 2 时, h(a) ? 0 . 所以整数 a 的最小值为 2. …………………………………………………………10 分

方法二: (2)由 f ( x) ≤ ax ? 1 恒成立,得 ln x ?

1 2 ax ? x ≤ ax ? 1 在 (0, ??) 上恒成立, 2

问题等价于

a≥

ln x ? x ? 1 在 (0, ??) 上恒成立. 1 2 x ?x 2

·11·

ln x ? x ? 1 令 ,只要 a ≥ g ( x)max .………………………………………… 6 分 1 2 x ?x 2 1 ( x ? 1)(? x ? ln x) 1 2 因为 g ?( x) ? ,令 g ?( x) ? 0 ,得 ? x ? ln x ? 0 . 1 2 2 ( x ? x) 2 2 g ( x) ?
设 h( x ) ? ?

1 1 1 x ? ln x ,因为 h?( x) ? ? ? ? 0 ,所以 h( x) 在 (0, ??) 上单调递减, 2 x 2

不妨设 ?

1 x ? ln x ? 0 的根为 x0 . 2

当 x ? (0, x0 ) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ( x0 , ??) 时, g ?( x) ? 0 , 所以 g ( x) 在 x ? (0, x0 ) 上是增函数;在 x ? ( x0 , ??) 上是减函数.

1 1 ? x0 ln x0 ? x0 ? 1 1 2 ? ? .………………………8 分 所以 g ( x) max ? g ( x0 ) ? 1 2 1 x0 ? x0 x0 (1 ? x0 ) x0 2 2 1 1 1 因为 h( ) ? ln 2 ? ? 0 , h(1) ? ? ? 0 2 2 4
所以

1 1 ? x0 ? 1 ,此时 1 ? ? 2 ,即 g ( x)max ? (1, 2) . x0 2

所以 a ≥ 2 ,即整数 a 的最小值为 2.……………………………………………… 10 分 (3)当 a ? ?2 时, f ( x) ? ln x ? x2 ? x, x ? 0
2 2 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 x2 ? 0 ,即 ln x1 ? x1 ? x1 ? ln x2 ? x2 ? x2 ? x1x2 ? 0

从而 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? ln( x1 ? x2 )
2

………………………………… 13 分

令 t ? x1 ? x2 ,则由 ? (t ) ? t ? ln t 得, ? ?(t ) ?

t ?1 t

可知, ? (t ) 在区间 (0,1) 上单调递减,在区间 (1, ??) 上单调递增. 所以 ? (t ) ≥? (1) ? 1 ,
2

………………………………………………………15 分

所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ≥1 ,
·12·

因此 x1 ? x2 ≥

5 ?1 成立.………………………………………………………… 16 分 2

数学Ⅱ 附加题部分
21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域内作答 .若多 ....... ............ 做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.(选修 4—1:几何证明选讲) 因为 CD ? AC ,所以 ?D ? ?CAD .………………………………………………2 分 因为 AB ? AC ,所以 ?ABC ? ?ACB .……………………………………………4 分 因为 ?EBC ? ?CAD ,所以 ?EBC ? ?D .………………………………………6 分 因为 ?ACB ? ?CAD ? ?ADC ? 2?EBC , ………………………………………8 分 所以 ?ABE ? ?EBC ,即 BE 平分 ?ABC .………………………………………10 分 B.选修 4-2:矩阵与变换
y ) 在变换 T A 的作用下变成点 P?( x?, y?) , 解: 设直线 x ? y ? 1 ? 0 上任意一点 P( x,

? ?1 a ? ? x ? ? x? ? ? x? ? ? x ? ay , ? ? ? ,得 ? 由? ,……………………………………………4 分 ? ? ? ? b 3 ? ? y ? ? y ?? ? y ? ? bx ? 3 y.
y?) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上, 因为 P?( x?,

(? 1 ? b) x ? (a ? 3) y ? 1 ? 0 , - y - 1 = 0 ,即 所以 xⅱ

……………………6 分

y ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,所以 x ? y ? 1 ? 0 . ……………………8 分 又因为 P( x,

ì - 1- b = 1, ? 因此 ? 解得 a ? 2, b ? ?2 . í ? ? ? a - 3 = - 1.
C.选修 4-4:坐标系与参数方程

………………………………………10 分

·13·

ì x = t, ? 解: 因为直线 l 的参数方程为 ? , í ? ? ? y = 2t + 1 消去参数 t ,得直线 l 的普通方程为 y ? 2 x ? 1 .……………………………………3 分
又因为圆 C 的参数方程为 ?

? x ? a cos? ( a ? 0, ? 为参数) , ? y ? a sin ?
5 ,……………………………………………8 分 5

所以圆 C 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? a 2 .………………………………………………6 分 因为圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d ? 故依题意,得

解得 a ? 1 . ……………………………………………………………………………10 分 D.选修 4-5:不等式选讲 解:因为 a ? 0, b ? 0 ,所以

5 5 ?a ? ?1 , 5 5

1 1 2 ? ≥ ,……………………………………………3 分 a b ab

又因为 所以 a 3 所以 a 3

1 1 ? ? ab ,所以 ab ≥ 2 ,且当 a ? b ? 2 时取等号.………………6 分 a b

? b3 ≥ 2 a3b3 ≥ 4 2 ,且当 a ? b ? 2 时取等号.……………………9 分
? b3 的最小值为 4 2 .………………………………………………………10 分

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写 ....... 出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (1) 记“某同学至少选修 1 门自然科学课程”为事件 A, 则 P(A)=1 ?
3 C4 1 13 ? 1 ? ? ,………………………………………………………2 分 3 C8 14 14

所以该同学至少选修 1 门自然科学课程的概率为

13 .……………………………3 分 14

(2)随机变量 ? 的所有可能取值有 0,1, 2, 3 .……………………………………………4 分

1 ?1? 1 因为 P(? =0)= ? ? ? = , 5 ? 4 ? 80 4 ?1? 1 1 3 1 1 P(? =1)= ? ? ? + ? C2 ? ? ? , 5 ?4? 5 4 4 8 4 1 3 1 ? 3 ? 33 1 P(? =2)= ? C2 ? ? + ?? ? = , 5 4 4 5 ? 4 ? 80
·14·
2 2

2

4 ? 3? 9 ,……………………………………………………………8 分 P(? =3)= ? ? ? ? 5 ? 4 ? 20
所以 ? 的分布列为

2

?

0

1

2

3

1 1 33 9 8 80 80 20 1 10 33 36 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 2.3 .………………………………10 分 所以 E (? )=0 ? 80 80 80 80 p 1 1 = - ,即 p = 23. (1)由题设知, 2 4 2

P

所以抛物线的方程为 y 2 = x …………………………………………………………2 分

(2)因为函数 y = -

x 的导函数为 y ?= -

1 2 x

,设 A( x0 , y0 ) ,

则直线 MA 的方程为 y - y0 = -

1 ( x - x0 ) ,………………………………4 分 2 x0 1 1 ? ( x0 ) . 2 x0

因为点 M (0, - 2) 在直线 MA 上,所以 - 2 - y0 = -

ì 1 ? ? ? y0 = - 2 - 2 联立 í ? 2 ? ? ? y0 = x0 .

x0 ,

解得 A(16, - 4) .……………………………………5 分

所以直线 OA 的方程为 y = -

1 x . ……………………………………………… 6 分 4

设直线 BC 方程为 y = kx - 2 , 由í
2 ì ? ? y = x, ,得 k 2 x2 - (4k + 1) x + 4 = 0 , ? ? ? y = kx - 2

所以 xB + xC =

4k + 1 4 , xB xC = 2 .…………………………………………… 7 分 2 k k

ì 1 ? ? y = - x, 8 ? 由í .………………………………………………… 8 分 4 ,得 xN = ? 4k + 1 ? y = kx 2 ? ?
·15·

所以

x + xC MN MN xN xN + = + = xN ? B MB MC xB xC xB xC

4k + 1 2 8 ? k 4 4k + 1 k2

8 4k + 1 ? 4k + 1 4

2,



MN MN ? 为定值 2.……………………………………………………………10 分 MB MC
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