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春季高考数学复习 函数部分 幂函数零点定理与二分法


惠安荷山中学 2016 届春季高考数学复习提纲 2015 年 5 月 4 日

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春季高考数学复习
幂函数

函数部分

幂函数、函数零点与二分法

一、知识点
(一) 、幂函数 1、幂函数 (1)定义:一般地,形如_________ (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 a 为常数。 几种常见幂函数的图像:
2 ?1 3 ① y ? x; ② y ? x ; ③ y ? x ; ④ y ? x ; ⑤ y ? x ;
1 2

(2)幂函数的性质 ①所有幂函数在_________都有定义,并且图像都过点________; ② a ? 0 时,幂函数的图像通过_________,并且在区间 ? 0, ?? ? 上是_________, 特别的,当 a ? 1 时,幂函数的图像 ________ ,当 0 ? a ? 1 时,幂函数的图像 ________。 ③ a ? 0 时,幂函数的图像在区间 ? 0, ?? ? 上是_________,在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图像在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋向 ?? 时,图 像在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴。 (4)幂函数 y ? x 的图象,在第一象限内,直线 x ? 1 的右侧,图象由下至上, 指数 . y 轴和直线 x ? 1 之间,图象由上至下,指数 ? .
?

(二).常见幂函数的性质:
y?x
y ? x2 y ? x3 y ? x1/ 2 y ? x?1

定义域 值域 奇偶性 单调性 定点

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二、例题解析

? 1? 例 1.幂函数 f(x)的图像过点 ?4, 2?,那么 f(8)的值是( ? ?

)

A.2 C. 2 4

2

B. 64 D. 1 64

例 2. 已知函数

?2 ? ,x ? 2 若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同 f ( x) ? ? x ?( x ? 1)3 , x ? 2 ?

的实根,则 k 的取值范围是 ___________

例 3.若曲线 y ? x 2 在点(a, a 2) 处的切线与两个坐标轴围城的三角形的面积为 18,则 a=____

?

1

?

1

例 4 已知函数 f ( x ) ? (m ? m ? 1) x
2

?5 m ? 3

, m 为何值时, f ( x ) :

(1)是正比例函数, (2)是反比例函数, (3)是二次函数, (4)是幂函数

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例 5 若点 ( 2,2) 在幂函数 f ( x ) 的图像上,点 (2, ) 在幂函数 g( x ) 的图像上, 定义 h( x ) ? ?

1 2

? f ( x), f ( x) ? g( x) ,试求函数 h( x) 的最大值以及单调区间。 g ( x ), f ( x ) ? g ( x ) ?

三、巩固练习 1.如图,曲线是幂函数 y ? x ? 在第一象限内的图像, 1 已知α 分别取-1,1, ,2 四个值,则相应图像依次为: 2 .

2、已知 ?1 ? a ? 0 ,则( A (0.2) ? ( ) ? (2)
a a


a a

1 2

a

B (2) ? (0.2) ? ( )

1 2

a

C ( ) ? (0.2) ? (2)
a a

1 2

a

D (2) ? ( ) ? (0.2)
a a

1 2

a

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3.幂函数 y=x-1 及直线 y=x,y=1,x=1 将平面直角坐标系的第一象限分

成八个“卦限” :①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧,那么幂函数 y= 像经过的“卦限”是 .(请填写序号)

x

1 2

的图

4、幂函数的图像过点 (3, 3 ) ,则它的单调递增区间是( A ? ?1, ?? ? B ? 0, ?? ? C ? ?? , ?? ? D ? ?? ,0 ?



5.(2011·山东高考)若点(a,9)在函数 y ? 3x 的图象上,则 tan= (A)0 (B)
3 3

a? 的值为: 6

(C)1

(D) 3

1 ? ? 6.设 ? ? ?? 1,1, ,3? ,则使函数 y ? x ? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 值为 2 ? ?

_________

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函数与方程
一、知识点 复习 1: 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0, ? a ? 0? 的解法: 判别式 ? = 当? 当? 当? 0,方程有两根,为 x1,2 ? 0,方程有一根,为 x0 ? 0,方程无实根. ; ; .

复习 2: 方程 ax2 ? bx ? c ? 0, ? a ? 0? 的根与二次函数 y ? ax2 ? bx ? c, ? a ? 0? 的图象 之间有什么关系? 判别 式
??0 ??0 ??0

一元二次方程

二次函数图象与 x 轴的交点

1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. (2)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根 ?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点 ?函数 y=f(x)有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b) <0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0, 这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 2.二分法求方程的近似解 (1)二分法的定义 对于在区间[a, b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x), 通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近

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似值的方法叫做二分法. (2)给定精确度 ε,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下: ①确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度 ε;②求区间(a,b)的中点 c; ③计算 f(c); (ⅰ)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; (ⅱ)若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); (ⅲ)若 f(c)· f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). ④判断是否达到精确度 ε.即:若|a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复 ②③④. 一个口诀 用二分法求函数零点近似值的口诀为:定区间,找中点,中值计算两边看.同号 去,异号算,零点落在异号间.周而复始怎么办?精确度上来判断. 两个防范 (1)函数 y=f(x)的零点即方程 f(x)=0 的实根,是数不是点. (2)若函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不间断的,并且在区间端点的函 数值符号相反,即 f(a)· f(b)<0,满足这些条件一定有零点,不满足这些条件也不 能说就没有零点.如图,

f(a)· f(b)>0,f(x)在区间(a,b)上照样存在零点,而且有两个.所以说零点存在性 定理的条件是充分条件,但并不必要. 三种方法 函数零点个数的判断方法: (1)直接求零点:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点; (2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线, 且 f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数 有多少个零点; (3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的 横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.

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例题解析
例1 函数 f ( x) ? x ? 1 的零点是

例 2. (2011· 福建)若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是( ).

A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

例 3: 判断下列函数零点的个数
(1) f ? x ? ? x ? 2x ? 5, x ? R
2

(2) f ? x ? ? ? x ? 3x ? 5, x ? R
2

(3) f ? x ? ? x3 ? 3x2 ? 4x, x ? R

(4) f ? x ? ? x3 ? 3x ? 2, x ? R

(5) f ? x ? ? lg x ? x ?1

?1? (6) f ? x ? ? ? ? ?2?

x ?1

? x2 ? 2

例 4.若函数 y=f(x)在 R 上递增,则函数 y=f(x)的零点( A.至少有一个 B.至多有一个 C.有且只有一个

).

D.可能有无数个

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例 5.如图所示的函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐 标的是( ).

A.①②

B.①③

C.①④

D.③④

例 6.在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为 ? 1 ? A.?-4,0? ? ? 1? ?1 1? ? B.?0,4?C.?4,2? ? ? ? ? ?1 3? D.?2,4? ? ?

例 7.(人教 A 版教材习题改编)已知函数 f(x)=x2+x+a 在区间(0,1)上有零点, 则实数 a 的取值范围是________.

2 ?x +2x-3,x≤0 例 8、(2010· 福建)函数 f(x)=? 的零点个数为( ?-2+ln x,x>0

).

A.3 B.2 C.7

D.0

[审题视点] 函数零点的个数?f(x)=0 解的个数?函数图象与 x 轴交点的个数. 解析 法一 由 f(x)=0 得

?x≤0, ?x>0, ? 2 或? 解得 x=-3,或 x=e2. ?x +2x-3=0 ?-2+ln x=0, 因此函数 f(x)共有两个零点. 法二 函数 f(x)的图象如图所示

可观察函数 f(x)共有两个零点. 答案 B

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对函数零点个数的判断可从以下几个方面入手考虑: (1)结合函数图象; (2)根据零点存在定理求某些点的函数值;(3)利用函数的单调性判断函数的零点 是否唯一等. 【训练 1】 函数 f(x)=log3x+x-3 的零点一定在区间( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) ).

e2 例 9、已知函数 f(x)=-x +2ex+t-1,g(x)=x+ x (x>0,其中 e 表示自然对数的
2

底数). (1)若 g(x)=m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 t 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. 分析:(1)可结合图象也可解方程求之.(2)利用图象求解. [审题视点] 画出函数图象,利用数形结合法求函数范围. e2 ∵g(x)=x+ x ≥2 e2=2e,

解 (1)法一

等号成立的条件是 x=e. 故 g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需 m≥2e,则 g(x)=m 就有零点. e2 法二 作出 g(x)=x+ x 的图象如图:

可知若使 g(x)=m 有零点,则只需 m≥2e. 法三 (2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异的实根, 即 g(x)=f(x)中函数 g(x)与 f(x)的图 e2 象有两个不同的交点,作出 g(x)=x+ x (x>0)的图象.

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∵f(x)=-x2+2ex+t-1 =-(x-e)2+t-1+e2. 其对称轴为 x=e,开口向下,最大值为 t-1+e2. 故当 t-1+e2>2e,即 t>-e2+2e+1 时,g(x)与 f(x)有两个交点,即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. ∴t 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞). 此类利用零点求参数的范围的问题,可利用方程,但有时不易甚至 不可能解出,而转化为构造两函数图象求解,使得问题简单明了,这也体现了, 当不是求零点,而是利用零点的个数,或有零点时求参数的范围,一般采用数形 结合法求解.

课堂练习 1.已知函数 y ? mx2 ? 6x ? 2 只有一个零点,求 m 范围。 2.已知方程 4( x2 ? 3x) ? k ? 3 ? 0 没有零点,求 k 的取值范围。 3.已知函数 f ( x) ? 2ax2 ? x ?1 在(0,1)内恰有一个零点,求 a 的取值范围。

4、设 f ( x) ? 3x ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3x ? 3x ? 8 ? 0 在 x ? (1, 2) 内近似解的过 程中, 计算得到 f (1) ? 0, f (1.5) ? 0, f (1.25) ? 0 , 则方程的根落在区间 ( A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5, 2) D.不能确定 )

5.在用二分法求方程 f ( x) ? x3 ? x2 ?1 ? 0 在[0,1]上的近似解时,第一步得到的 有解区间是 。

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课后练习
1.函数 f ? x ? ? x3 ? 3x2 ? 2x 的零点个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ) ( ).

2. 函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 3x ? 1 零点的个数为 ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.函数 f ( x) ? x5 ? x ? 3 的实数解落在的区间是( A. [0,1] B. [1, 2] C. [2,3] ) D. 0 D. [3, 4]

)

4.方程 lg x ? x ? 0 根的个数为( A.无穷多 B. 3 C. 1

5.如果二次函数 y ? x 2 ? mx ? (m ? 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是( A. ?? 2,6? B. ?? 2,6? C. ?? 2,6? D. ? ??, ?2?



?6, ???

6. 若函数 f ( x) 在 ? a, b? 上连续, 且 f ( x) 在 ? a, b? 上是单调函数, 且 f (a) ? f (b) ? 0 . 则 函数 f ( x) 在 ? a, b? 上( A. 一定没有零点 C. 只有一个零点 ). B. 至少有一个零点 D. 零点情况不确定

7.函数 f ( x) ? e x?1 ? 4 x ? 4 的零点所在区间为 A. (?1,0) B. (0,1) C. (1, 2) D. (2,3) )

8.若方程 a x ? x ? a ? 0 有两个实数解,则 a 的取值范围是( A. (1, ??) B. (0,1) C. (0, 2) D. (0, ??) )

9.直线 y ? 3 与函数 y ? x 2 ? 6 x 的图象的交点个数为( A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 10.函数 f ? x ? ? lg x ? m 有两个不同的零点,则 m 的取值为

11.若函数 f ( x) 为定义域是 R 的奇函数,且 f ( x) 在 (0, ??) 上有一个零点.则 f ( x) 的零点个数为

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12.利用函数图象判断下列方程有没有实数根,有几个实数根: ① x 2 ? 7 x ? 12 ? 0 ; ② lg( x 2 ? x ? 2) ? 0 ; ③ x 3 ? 3x ? 1 ? 0 ;

④ 3 x?1 ? ln x ? 0 。

⑤ | x2-2x-3|? ( a a ? 0)

13.关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2 ? m ? 3? x ? 2m ?14 ? 0 有两个不同的实根, 则 m 的取值范围是 .

14、若函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b? 上的图象为连续不断的一条曲线,下列说法正确的 是( ) A.若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; B.若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; C.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; D.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; 15.已知函数 f ( x) ? 2(m ? 1) x2 ? 4mx ? 2m ?1 . (1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个不同的零点;
(2)如果函数有一个零点为 x ? 0 ,求 m 的取值;

二.填空题 16.函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点个数为 。

17.已知函数 f ( x) ? x2 ?1 ,则函数 f ( x ? 1) 的零点是__________. 18.若函数 f ( x) ? 4 x ? x 2 ? a 的零点个数为 3 ,则 a ? ______。 三.解答题(每题 10 分) 19.函数 f ( x) ? ? x2 ? 2ax ? 1 ? a 在区间 ?0,1? 上有最大值 2 ,求实数 a 的值。


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