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三角函数练习题(精选)


任意角及任意角的三角函数
1.(2009· 江苏常州一模)已知角 α 是第三象限角,则角-α 的终边在第________象限. 2.(2010· 连云港模拟)与 610° 角终边相同的角表示为______________. ?1?sin 2θ<1,则 θ 所在象限为第________象限. 3.(2010· 浙江潮州月考)已知?2? π 3π 4.(2010· 南

通模拟)已知角 θ 的终边经过点 P(-4cos α,3cos α)( <α< ),则 sin θ+cos θ=________. 2 2 π π? 5.(2010· 福州调研)已知 θ∈?-2,2?且 sin θ+cos θ=a,其中 a∈(0,1),则关于 tan θ 的值,以下四个答案中,可能正 ? 1 1 1 确的是________(填序号).①-3 ②3 或 ③- ④-3 或- 3 3 3 6.(2009· 江西九江模拟)若角 α 的终边与直线 y=3x 重合且 sin α<0,又 P(m,n)是角 α 终边上一点,且|OP|= 10,则 m -n=________. |sin α| |cos α| 7.(2010· 山东济南月考)已知角 α 的终边落在直线 y=-3x (x<0)上,则 - =________. sin α cos α 8.(2010· 南京模拟)某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t=0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合.将 A、B 两点间的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数,则 d=________,其中 t∈[0,60]. π 4 9.(2010· 泰州模拟)若 0<x< ,则 sin x______ 2x2(用“>”,“<”或“=”填空). 2 π 2 10.(2010· 镇江模拟)已知角 θ 的终边上一点 P(- 3,m),且 sin θ= m,求 cos θ 与 tan θ 的值. 4 11.(2010· 江苏南京模拟)在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围,并由此写出角 α 的集合: 3 1 (1)sin α≥ ;(2)cos α≤- . 2 2 12.(2010· 佳木斯模拟)角 α 终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称(a≠0),角 β 终边上的点 Q 与 A 关于直线 y=x 对称, 求 sin α· α+sin β· cos cosβ+tan α· β 的值. tan

同角三角函数的基本关系及诱导公式
1

17 17 1.(2010· 南通模拟)cos(- π)-sin(- π)的值为___________________________. 4 4 sin(α-3π)+cos(π-α) 2.(2010· 江苏镇江一模)设 tan(5π+α)=m,则 的值为__________. sin(-α)-cos(π+α) sin α+cos α 3.(2009· 辽宁沈阳四校联考)已知 =2,则 sin αcos α=________. sin α-cos α 4.(2008· 浙江理,8)若 cos α+2sin α=- 5,则 tan α=__________. 5.(2008· 四川理,5)设 0≤α<2π,若 sin α> 3cos α,则 α 的取值范围是____________. π 6.(2010· 吉林长春调研)若 sin α+cos α=tan α ?0<α<2?,则 α 的取值范围是__________. ? ? 7.(2009· 苏州二模)sin21° +sin22° +sin23° +?+sin289° =________. 1-x π 8.(2010· 浙江嘉兴月考)已知 f(x)= ,若 α∈( ,π),则 f(cos α)+f(-cos α)=________. 2 1+x 4 9.(2009· 北京)若 sin θ=- ,tan θ>0,则 cos θ=____________________________________. 5 10.(2010· 泰州模拟)化简: 1-cos4α-sin4α π π (1) ; (2) 2sin( -x)+ 6cos( -x). 4 4 1-cos6α-sin6α π 11.(2010· 盐城模拟)已知 sin22α+sin 2αcos α-cos 2α=1,α∈(0, ),求 sin α、tan α 的值. 2 2sin αcos α-cos α+1 π 5 12.(2009· 福建宁德模拟)已知 0<α< ,若 cos α-sin α=- ,试求 的值. 2 5 1-tan α

和差倍角的三角函数
2

1.(2010· 山东青岛模拟)cos 43° 77° cos +sin 43°cos 167° · 的值为________. 2.(2010· 南京模拟)已知 α、β 均为锐角,且 cos(α+β)=sin(α-β),则 tan α=________. 3.(2009· 湖北四校联考)在△ABC 中,3sin A+4cos B=6,4sin B+3cos A=1,则∠C 的大小为________. 4.(2009· 湖南长沙调研)在锐角△ABC 中,设 x=sin A· B,y=cos A· B,则 x,y 的大小关系是________. sin cos sin 2α-cos 2α 5.(2009· 广东韶关模拟)已知 tan α=2,则 =________. 1+cos2α 1+tan x 1 6.(2010· 无锡模拟)若 =2 010,则 +tan 2x 的值为________. cos 2x 1-tan x 7.(2010· 苏州调研)若锐角 α、β 满足(1+ 3tan α)· (1+ 3tan β)=4,则 α+β=________. 1 8.(2009· 江苏南通二模)已知 sin αcos β= ,则 cos αsin β 的取值范围是____________. 2 2 π 1 π 9.(2010· 苏、锡、常、镇四市调研)若 tan(α+β)= ,tan(β- )= ,则 tan(α+ )=________. 5 4 4 4 π 1 10.(2008· 广东)已知函数 f(x)=Asin(x+φ) (A>0,0<φ<π) (x∈R)的最大值是 1,其图象经过点 M?3,2?. ? ? (1)求 f(x)的解析式; π 3 12 (2)已知 α、β∈?0,2?,且 f(α)= ,f(β)= ,求 f(α-β)的值. ? ? 5 13

11.(2010· 宿迁模拟)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|= (1)求 cos(α-β)的值; π π 4 (2)若 0<α< ,- <β<0,且 sin β=- ,求 sin α 的值. 2 2 5

4 13 . 13

三角函数的图象与性质
3

π 1.(2009· 大连一模)y=sin(2x+ )的最小正周期是_____________________________. 6 x 2.(2010· 扬州模拟)y=2-cos 的最大值为__________,此时 x=________. 3 π 3.(2010· 盐城模拟)函数 y=tan( -x)的定义域是________________. 4 4.(2009· 牡丹江调研)已知函数 y=2cos x(0≤x≤1 000π)的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形 的面积是________. π π 5.(2010· 江苏盐城月考)已知函数 y=tan ωx 在(- , )内是减函数,则 ω 的取值范围是________________. 2 2 π? π π π π 6. (2008· 辽宁理, 16)已知 f(x)=sin?ωx+3? (ω>0), 6?=f?3?, f(x)在区间?6,3?上有最小值, f? ? ? ? 且 无最大值, ω=_______. 则 ? ? ? ? 7.(2009· 浙江宁波检测)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周 π 5π 期是 π,且当 x∈?0,2?时,f(x)=sin x,则 f? 3 ?的值为________. ? ? ? ? 8.(2010· 连云港模拟)sin 2,cos 1,tan 2 的大小顺序是________________. 9. (2008· 全国Ⅱ理)若动直线 x=a 与函数 f(x)=sin x 和 g(x)=cos x 的图象分别交于 M、 两点, N 则|MN|的最大值为_______. π? 5 3 2 10.(2009· 福建莆田模拟)是否存在实数 a,使得函数 y=sin x+acos x+ a- 在闭区间?0,2?上的最大值是 1?若存在, ? 8 2 求出对应的 a 值;若不存在,说明理由.

x x x 11.(2008· 陕西)已知函数 f(x)=2sin · + 3cos . cos 4 4 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期及最值; π (2)令 g(x)=f?x+3?,判断函数 g(x)的奇偶性,并说明理由. ? ?

12.(2010· 山东济宁第一次月考)设 a=?sin2

?

π+2x b. ,cos x+sin x?,b=(4sin x,cos x-sin x),f(x)=a· 4 ?

(1)求函数 f(x)的解析式; π 2π (2)已知常数 ω>0,若 y=f(ωx)在区间?-2, 3 ?上是增函数,求 ω 的取值范围; ? ? 2π? ? π (3)设集合 A=?x|6≤x≤ 3 ?,B={x||f(x)-m|<2},若 A?B,求实数 m 的取值范围. ? ?

三角函数的最值及应用
π 1.(2010· 连云港模拟)函数 y= 3sin( -2x)-cos 2x 的最小值为________. 3
4

2π 2.(2010· 泰州模拟)若函数 y=2cos ωx 在区间[0, ]上递减,且有最小值 1,则 ω 的值可以是________. 3 π π 3. (2010· 湖北黄石调研)设函数 f(x)=2sin( x+ ). 若对任意 x∈R, 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立, 1-x2|的最小值为____. 则|x 2 5 4.(09· 湖南株州模拟)函数 y=sin 2x 按向量 a 平移后,所得函数的解析式是 y=cos 2x+1,则模最小的一个向量 a=__. π π 1 4π 5.(2009· 广东惠州二模)函数 y=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )在同一单调区间内的 x= 处取得最大值 ,在 x= 处取得最 2 9 2 9 1 小值- ,则函数的解析式是________________________. 2 ab≤0, ?a+b, ? 6.(2010· 广西南宁检测)定义运算 a*b=?a 则函数 f(x)=(sin x)*(cos x)的最小值为________. ?b, ab>0, ? 7.(2010· 苏州调研)一半径为 10 的水轮,水轮的圆心距水面 7,已知水轮每分钟旋转 4 圈,水轮上点 P 到水面距离 y 与时间 x(s)满足函数关系 y=Asin(ω+φ)+7(A>0,ω>0),则 A=________,ω=________. 8. (2009· 徐州二模)函数 y=(sin x-a)2+1, sin x=a 时有最小值, sin x=1 时有最大值, a 的取值范围是_______. 当 当 则 9.(2009· 江苏)函数 y=Asin(ω x+φ )(A、ω 、φ 为常数,A>0,ω >0)在闭区间[-π ,0]上的图象如图所示,则ω = .

A A π 10.(2010· 镇江模拟)已知函数 f(x)= - cos(2ωx+2φ) (A>0,ω>0,0<φ< ),且 y=f(x)的最大值为 2,其图象上相邻两对 2 2 2 称轴间的距离为 2,并过点(1,2). (1)求 φ; (2)计算 f(1)+f(2)+?+f(2 008).

11.( 10· 辽宁瓦房店月考)如图所示,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b. (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.

12.(2010· 吉林延吉模拟)如图,在一个奥运场馆建设现场,现准备把一个半径为 3 m 的球形工件吊起平放到 6 m 高的平台上,工地上有一个吊臂长 DF=12 m 的吊车,吊车底 座 FG 高 1.5 m. 当物件与吊臂接触后, 钢索 CD 的长可通过顶点 D 处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触. 求 物件能被吊车吊起的最大高度,并判断能否将该球形工件吊到平台上?

解三角形
5

1.(2010· 江苏靖江调研)在△ABC 中,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则 A=________. 2.(2010· 宿迁模拟)在△ABC 中,已知 acos A=bcos B,则△ABC 的形状为____________. 3.(2010· 江苏淮阴模拟)如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为____________. 4.(2010· 浙江绍兴模拟)△ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边,如果 a,b,c 成等差数列,∠B=30° ,△ABC 3 的面积为 ,那么 b=__________. 2 5 5.(2008· 四川,7)△ABC 的三内角 A、B、C 的对边边长分别为 a、b、c.若 a= b,A=2B,则 cos B=________. 2 6.(2010· 南通模拟)一船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏 东 60° 方向,行驶 4 h 后,船到达 B 处,看到这个灯塔在北偏东 15° 方向,这时船与灯塔的距离为________km. 7.(2009· 福建泉州二模)如图所示,我炮兵阵地位于地面 A 处,两观察 所分别位于地面 C 处和 D 处,已知 CD=6 000 m,∠ACD=45° , ∠ADC=75° ,目标出现于地面 B 处时测得∠BCD=30° ,∠BDC=15° , 则炮兵阵地到目标的距离是________________(结果保留根号).

8.(2009· 江西宜泰模拟)线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60° ,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶,同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶,则运动开始____ h 后,两车的距离最小. 9.(2009· 广东改编)已知△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c,若 a=c= 6+ 2,且∠A=75° ,则 b=________. π 1 10.(2009· 安徽)在△ABC 中,C-A= ,sin B= . 2 3 (1)求 sin A 的值; (2)设 AC= 6,求△ABC 的面积.

11.(2009· 山东泰安第二次月考)在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向,距 A 处( 3-1)海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处 北偏西 75° 方向,距 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以 10 海里/ 小时的速度从 B 处向北偏东 30° 的方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船,并求出所需要的时间.

6

三角函数的综合应用
π 2 1.(2009· 济宁期末)已知 a=(cos 2α,sin α),b=(1,2sin α-1),α∈( ,π),若 a· ,则 b= 2 5 π tan(α+ )的值为________. 4 2.(2008· 江苏)若 AB=2,AC= 2BC,则 S△ABC 的最大值是________. π π 3.(2009· 肇庆期末)定义运算 a*b=a2-ab-b2,则 sin *cos =________. 12 12 4.(2009· 广州第二次联考)已知 a,b,x,y∈R,a2+b2=4,ax+by=6,则 x2+y2 的最小值 为________. 5.(2010· 宿州模拟)若函数 f(x)=sin(x+α)-2cos(x-α)是偶函数,则 cos 2α=________. 1 1 6.(2010· 泰州调研)函数 f(x)=(sin2x+ )· 2x+ (cos )的最小值是________. 2 009sin2x 2 009cos2x 7.(2009· 福建文)已知锐角△ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为________. 8.(2010· 苏南四市模拟)俗话说“一石激起千层浪”,小时候在水上打“水漂”的游戏一定不会忘记吧.现在一个圆形 2π 波浪实验水池的中心已有两个振动源,在 t 秒内,它们引发的水面波动可分别由函数 y1=sin t 和 y2=sin(t+ )来描 3 述,当这两个振动源同时开始工作时,要使原本平静的水面保持平静,则需再增加一个振动源(假设不计其他因素, 则水面波动由几个函数的和表达),请你写出这个新增振动源的函数解析式______________. 9.(2010· 南通模拟)2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的 弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积 为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 θ,那么 cos 2θ 的值等于____________.

10.(2008· 福建)已知向量 m=(sin A,cos A),n=( 3,-1),m· n=1,且 A 为锐角. (1)求角 A 的大小; (2)求函数 f(x)=cos 2x+4cos Asin x (x∈R)的值域. 解 (1)由题意得 m· n= 3sin A-cos A=1,

3 11.(2010· 苏、锡、常、镇四市调研)已知函数 f(x)= 3sin ωx· ωx-cos2ωx+ (ω∈R,x∈R)的最小正周期为 π,且图 cos 2 π 象关于直线 x= 对称. 6 (1)求 f(x)的解析式; π (2)若函数 y=1-f(x)的图象与直线 y=a 在[0, ]上只有一个交点,求实数 a 的取值范围. 2

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