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2015-2016学年高中数学 2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课件 新人教B版必修4


第二章 平面向量

第二章
2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.2.2 向量的正交分解 与向量的直角坐标运算

1

课前自主预习

2

课堂典例讲练

4

思想方法技巧

3

易错疑难辨析

5

课 时 作 业

课前自主预习

卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向,为 了便于分析,如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直

两个方向的速度呢?

1.向量的直角坐标 向量垂直:如果两个向量的基线互相垂直,则称这两个向 互相垂直 . 量____________ 正交分解:如果基底的两个基向量 e1 、e2 互相垂直,则称 正交基底 , 在 正 交 基 底 下 分 解 向 量 , 叫 做 这 个 基 底 为 ___________ 正交分解 . ____________

向量的直角坐标:在直角坐标系 xOy 内 (如图所示), 分别取与 x 轴和 y 轴方向相同的 两个单位向量 e1、e2,这时,就在坐标平面 内建立了一个正交基底{e1,e2},任作一向量 a,由平面向量基本定理可知,存在惟一的有 a1e1+a2e2 ,(a ,a )就是向量 a 序实数对(a1,a2)使得 a=______________ 1 2

坐标 在基底{e1,e2}下的___________ ,即 a=(a1,a2),其中 a1 叫做
向量 a 在 x 轴上的坐标分量,a2 叫做 a 在 y 轴上的坐标分量.

2.向量的直角坐标运算 设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 (a1+b1,a2+b2) a+b=________________________ ;

(a1-b1,a2-b2) a-b=________________________ ; (λa1,λa2) λa=____________________________.

1.设平面向量a=(3,5)、b=(-2,1),则a-2b=(

)

A.(7,3)
C.(1,7) [答案] A

B.(7,7)
D.(1,3)

[解析] a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).

→ 2.(2015· 新课标Ⅰ文,2)已知点 A(0,1)、B(3,2),向量AC= → (-4,-3),则向量BC=( A.(-7,-4) C.(-1,4) ) B.(7,4) D.(1,4)

[答案] A
[解析] 本题主要考查平面向量的线性运算. → → → BC=BA+AC=(-3,-1)+(-4,-3) =(-7,-4).故选 A.

3.若向量 a=(1,1)、b=(1,-1)、c=(-1,2),则向量 c 等于( ) 3 1 B.2a-2b 3 1 D.-2a+2b 1 3 A.-2a+2b 1 3 C.2a-2b

[答案] C
[解析] 1 3 1 3 1 3 2a-2b=(2-2,2+2)=(-1,2),故选 C.

4.(2015·江苏,6)已知向量a=(2,1)、b=(1,-2).若ma
+nb=(9,-8)(m、n∈R),则m-n的值为________. [答案] -3 [解析] 由题意得,2m+n=9,m-2n=-8?m=2,n= 5,m-n=-3.

→ 5 .已知点 A( - 2,4) 和向量 AB = (3,8) ,则点 B 的坐标为 ________.

[答案] (1,12)
[解析] 设点 B
? ?x+2=3 的坐标为(x,y),则? ? ?y-4=8



? ?x=1 ∴? ? ?y=12

.∴B(1,12).

→ → 6.已知 A(1,-2)、B(2,1)、C(3,2)和 D(-2,3),以AB、AC → → → 为一组基底来表示AD+BD+CD.
[解析] → → → → AB=(1,3)、 AC=(2,4)、 AD=(-3,5)、 BD=(-4,2)、

→ CD=(-5,1), → → → ∴AD+BD+CD =(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).

根据平面向量基本定理,一定存在实数 m、n 使得 → → → → → AD+BD+CD=m· AB+n· AC, ∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4), 也就是(-12,8)=(m+2n,3m+4n),
? ?m+2n=-12 可得? ? ?3m+4n=8 ? ?m=32 ,解得? ? ?n=-22

.

→ → → → → ∴AD+BD+CD=32AB-22AC.

课堂典例讲练

向量的坐标

1 → 1→ → 已知点 A(-1,2)、B(2,8)及AC=3AB,DA=-3 → → BA,求点 C、D 和CD的坐标.
→ [分析] 根据题意可设 C(x1, y1)、 D(x2, y2), 然后利用AC= 1→ → 1→ 3AB和DA=-3BA相等关系可得关于 x1、y1 及 x2、y2 的方程组, → 从而可得 C、D 点坐标及CD坐标.

[解析] 设 C、D 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),由题意 可得 → → → → AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6),DA=(-1-x2,2-y2),BA =(-3,-6), 1→ → 1→ → ∵AC=3AB,DA=-3BA, 1 ∴(x1+1,y1-2)=3(3,6), 1 (-1-x2,2-y2)=-3(-3,-6),

即(x1+1,y1-2)=(1,2), (-1-x2,2-y2)=(1,2).
? ?x1+1=1 ∴? ? ?y1-2=2 ? ?x1=0 ∴? ? ?y1=4 ? ?-1-x2=1 ,和? ? ?2-y2=2



? ?x2=-2 ,和? ? ?y2=0

.

∴C、D 的坐标分别为(0,4)和(-2,0). → 因此CD=(-2,-4).

如图, 已知在边长为 1 的正方形 ABCD 中, AB 与 x 轴正半 → → 轴成 30° 角.求点 B 和点 D 的坐标和AB与AD的坐标.

3 [解析] 设点 B 的坐标为(x,y),则 x=cos30° = 2 ,y= 1 sin30° =2. 3 1 → 3 1 ∴B( 2 ,2),AB=( 2 ,2). ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠BAD=90° ,∴∠xOD=120° . 设点 D 的坐标为(x′,y′), 1 3 则 x′=cos120° =-2,y′=sin120° =2, 1 3 1 3 ∴D=(-2, 2 ),AD=(-2, 2 ).

中点坐标公式 已知平行四边形 ABCD 的一个顶点 A( - 2 , 1) , 一组对边AB,CD的中点分别为 M(3,0)、N(-1,- 2),求平行

四边形其他三个顶点的坐标.
[分析] 根据平行四边形的对角线互相平分,求出对角线 交点,再利用中点坐标公式求顶点坐标.

[解析] 设其余三个顶点的坐标标为 B(xB,yB),C(xC,yC), xA+xB yA+yB D(xD,yD).∵M 是其中点,∴xM= 2 ,yM= 2 ,即 3 -2+xB 1+yB = 2 ,0= 2 , 解得 xB=8,yB=-1,∴B(8,-1). 设 MN 的中点为 O′(x0,y0), 3+?-1? 0+?-2? 则 x0 = =1,y0= =-1. 2 2

xA+xC yA+yC 又∵O′是 AC 的中点,∴x0= 2 ,y0= 2 , -2+xC 1+yC 即 1= 2 ,-1= 2 解得 xC=4,yC=-3,∴C(4,-3). 同理 O′又是 BD 的中点, 解得 xD=-6,yD=-1. ∴B(8,-1)、C(4,-3)、D(-6,-1).
[点评] 应用平行四边形对角线互相平分这一性质是本题 用中点公式解题的前提.

→ → 已知向量AB=(4,3),AD=(-3,-1),点 A(-1,-2), 求线段 BD 的中点 M 的坐标.

[解析] 设点 B 的坐标为(x1,y1), → ∵AB=(4,3),A(-1,-2), ∴(x1+1,y1+2)=(4,3),
? ?x1+1=4 ∴? ? ?y1+2=3 ? ?x1=3 ,∴? ? ?y1=1

.

∴B(3,1).同理可求得 D(-4,-3). 设线段 BD 的中点 M 的坐标为(x2,y2), 3-4 1-3 1 ∴x2= 2 =-2,y2= 2 =-1,
? 1 ? ∴M?-2,-1?. ? ?

易错疑难辨析

→ → → 已知 A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),AP=AB+λAC(λ ∈R),点 P 在第三象限,求 λ 的取值范围. → → → [错解] 因为AP=AB+λAC=(5,4)-(2,3)+λ[(7, 10)-(2,3)]
=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ), 又因为点 P 在第三象限,
? ?3+5λ<0 ∴? ? ?1+7λ<0



3 解得 λ<-5.
→ [辨析] 混淆了向量AP的坐标与点 P 的坐标,导致错误.

[正解] 设 P(x,y), → 则AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3). → → → 又因为AP=AB+λAC=(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)]=(3,1) +λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ), ∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),
? ?x-2=3+5λ 即? ? ?y-3=1+7λ



? ?x=5+5λ 解得? ? ?y=4+7λ

.

∵点 P 在第三象限,
? ?x=5+5λ<0 ∴? ? ?y=4+7λ<0

,解得 λ<-1.

思想方法技巧

分类讨论思想
已 知 平 面 上 三 点 的 坐 标 分 别 为 A( - 1,0) 、 B(3,0) 、 C(1 ,- 5) ,再求一点 D ,使这四个点构成平行四边 形,则D点的坐标为________.

→ → [解析] 当平行四边形为 ABCD 时,AB=DC, → → 又AB=(4,0),DC=(1-x,-5-y),
? ?4=1-x ∴? ? ?0=-5-y ? ?x=-3 ,∴? ? ?y=-5

.∴D(-3,-5).

→ → 当平行四边形为 ABDC 时,AB=CD,
? ?4=x-1 ∴? ? ?0=y+5 ? ?x=5 ,∴? ? ?y=-5

.∴D(5,-5).

→ → 当平行四边形为 ACBD 时,AC=DB, → → 又AC=(2,-5),DB=(3-x,-y),
? ?2=3-x ∴? ? ?-5=-y ? ?x=1 ,∴? ? ?y=5

.∴D(1,5).

[答案] (1,5)或(5,-5)或(-3,-5)


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