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河北省唐山市第一中学2013届高三第三次模拟考试数学(文)试题


一、选择题: A 卷:BBCDA B 卷:DCBAB

ABCCD CACBA

DA AD

(17)解: 如图,记⌒ MN的中点为 E,连结 OE,OC,交 BC 于 F,交 AD 于 G,则∠DOG=60?. 设∠EOC=θ(0?<θ<60?) . 1⌒ (Ⅰ)当⌒ CN= MN时,θ=30?. 4 在 Rt△COF 中,OF=OCcos 30?= 3,CF=OCsin 30?=1. DG 3 在 Rt△DOG 中,DG=CF=1,OG= = . tan 30? 3 2 3 所以 CD=GF=OF-OG= . ?5 分 3
N D O A M C E B

G

F

(18)解: (Ⅰ)记事件“商品 B 日销售量为 i 件”为 Bi,i=0,1,2,3,4,5. 商品 B 日销售量不超过 3 件的概率为 4 4 6 8 11 P=P (A0)+P (A1)+P (A2)+P (A3)= + + + = . 30 30 30 30 15 (Ⅱ)商品 A, B 的日均利润平均值分别为 -A=40×0×2+1×5+2×7+3×7+4×5+5×4=320, x 30 3 0×4+1×4+2×6+3×8+4×5+5×3 -B=40× x =100, 30 因为-A>-B,所以应经销商品 A. x x (1 9)解:

?6 分

?8 分 ?10 分 ?12 分

( Ⅰ)在正六边形 ABCDEF 中,CD⊥AC. 因为 PA⊥底面 ABCDEF,CD?平面 ABCDEF,所以 CD⊥PA. 又 AC∩PA=A,所以 CD⊥平面 PAC. 因为 CD?平面 PCD,所以平面 PAC⊥平面 PCD.
P

?3 分 ?5 分

A F B C D E

所以三棱锥 B-PCD 高为

6 . 4

?12 分

(20)解: 2 2 (Ⅰ)设 A (x0,x0),B (x1,x2),C (-x0 , x0),D (x2,x2). 1 2 对 y=x2 求导,得 y?=2x,则抛物线在点 C 处的切线斜率为-2x0. x2-x2 2 1 直线 BD 的斜率 k= =x +x , x2-x1 1 2

(21) 解: ln x+x+1 (Ⅰ)f ?(x)= . (1+x)2 依题意,ln x0+x0+1=0,则 ln x0=-(x0+1).

x0ln x0 -x0(x0+1) = =-x0. ?4 分 1+x0 1+x0 a(x-1) (Ⅱ)f (x)≥ 等价于 x2( ln x-a)+a≥0. x 设 g (x)=x2(ln x-a)+a(x∈[1,+∞)) ,则 g ?(x)=x(2ln x-2a+1). a(x-1) 1 若 a≤ 时,则 g ?(x)≥0,g (x)单调递增,g (x)≥g (1)=0,f (x)≥ .?8 分 2 x 1 1 若 a> ,则当 x∈ 1,ea- 2 时,g ?(x)<0,g (x)单调递减, 2 a(x-1) 此时 g (x)<g (1)=0,f (x)< . x 1 综上,a 的取值范围是 -∞, . ?12 分 2 (22) 解: f (x0)=

(

)

(

]

G D
3 2

F

C B

E A
1

O H

(Ⅱ)延长 GE 交 AB 于 H. 因为 GD=GC=GF,所以点 G 是经过 D,E,C,F 四点的圆的圆心. 所以 GE=GC,所以∠GCE=∠GEC. ?8 分 又因为∠GCE+∠3=90?,∠1=∠3, 所以∠GEC+∠3=90?,所以∠AEH+∠1=90?, 所以∠EHA=90?, 即 GE⊥AB. ?10 分 ( 23)解: (Ⅰ)设 P (ρ,θ),M (ρ1,θ),依题意有 ρ1sin θ=2,ρρ1=4. ?3 分 消去 ρ1,得曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ(ρ≠0). ?5 分 (Ⅱ)将 C2,C3 的极坐标方程化为直角坐标方程,得 C2:x2+(y-1)2=1,C3:x-y=2. ?7 分 3 2 C2 是以点(0,1)为圆心,以 1 为半径的圆,圆心到直线 C3 的距离 d= , 2 3 2 故曲线 C2 上的点到直线 C3 距离的最大值为 1+ . ?10 分 2
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因为|a|<1,|b|<1, 所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|. 故所证不等式成立. ?10 分


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