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河北省石家庄市2011届高三教学质量检测(二)--数学理(word版)


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2011 年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(二) 年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测( 数学(理科) 数学(理科) (时间 120 分钟,满分 150 分) 注意事项: 1. 答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2. 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应.?目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选 涂其它答案标号. 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题 选择 大题共 小题,每小题 S 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 共 , 求的, 求的,请将正确的选项填涂在答题卡上. 1.复数 A. 2 已知集合 A. 3. 设函数 B. = B. 满足 C. C. ,则一定有 D. ,则它的反函数 的图象是 D.

4. 已知 A B.

,则 C.

= D.

5. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有 1 名女生,则不同的选 派方案的种数为 A. 108 6. 已知两点 B.186 C.216 ,若点 P 是圆 D.270 上的动点,则 面积的最小值为

A.6

B.

C. 3

D.

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7. 若函数 A. 8. 已知直线 的条数为 A.0 B. 2 C. 4 满足 B. B.

在 C.

上是减函数,则实数 a 的取值范围是 D.

,直线 l 过空间一定点 P,且与 a 直线成 30°,与直线 b 成 90°,则满足条件的直线 l

D.无数条 ,当 时 ,则

9. 定义在 R 上的偶函数 A .. C..

D.. ,若将其沿 BD 折成直二面角 A - B D - C,则三

10. 在平行四边形 ABCD 中, 棱锥 A - BCD 的外接球的表面积为 A. 11. 双曲线 交《于 7V,若 A. 12. 已知数列 A.0 B. 1 B. 满足, C. 2 D.3 ,且 C. B. C. D.

的两条渐近线分别为

F 为其右焦点,过 F 作

交双曲线于点 M,

,则双曲线的离心率的取值范围为 D. ,则 的整数部分为

第 n 卷(非选择题,共 90 分)

题号 二 得分 17 18

三 19 20 21 22

总分

二、填空题:本大题共 4 小题,毎小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上. 13. 14. 在 的展开式中, 的系数与 ,, 的系数之和等于 则BC =_________. _________.

中,若 AC = I, AB=

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15. 已知椭巩

上一点 P 到其左准线的距离为 10,F 是该椭圆的左焦点,若点 M 满足 =_________ 则四面体 ABCD 的体积的最大值为

(其中 O 为坐标原点),则

16. 已知四面体 ABCD,AB = 1,CD = 2,直线 AB 与 O)的距离为 _________..

小题,共 解答应写出文字说明 或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题 共 70 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答题: 解答应写出文字说明,证 过程或演算步骤 17.(本小题满分 10 分) 如图,P,Q 是以原点为圆心的单位圆上的两个动点,若它们同时从点 A(1,0)出发,沿逆时针方向作匀角速 度运动,其角速度分别为 ), (I)求 (II)将 的函数解析式; 图象上的各点均向右平移 2 个单位长度,得到 的图象,求函数 的单调递减区间. (单位:弧度/秒),M 为线段 PQ 的中点,记经过 x 秒后(其中

18.(本小题满分 12 分). 已知等差数列 (I )求数列 (II)若 的前 n 项和为 的通项公式; 求数列 的前n项和Tn. ,公差 d>0,且

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19 (本小题满分12分) 为了预防春季流感,市防疫部门提供了编号为 1,2,3,4 的四种疫苗供市民选择注射,每个人均能从中任选 一个编号的疫苗接种,现有甲,乙,丙三人接科苗. (I )求三人注射的疫苗编号互不相同的概率; (II)设三人中选择的疫苗编号最大数为 ,求 的分布列及数学期望.

20.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为正方形,PA 丄平面 ABCD,且 PA=AD,E 为棱 PC 上的一点,PD 丄平面 (I)求证:E 为 PC 的中点; ( I I ) 若 N 为 CD 的中点,M 为 AB 上的动点,当直线 MN 与平面 ABE 所成的角最大时,求二面角的大小.

21(本小题 12 分) 已知动点 P 到定点 A(0,1)的距离比它到定直线 y = -2 的距离小 1. (I)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

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(II)已知点 Q 为直线 y= -1 上的动点, 过点 q 作曲线 C 的两条切线, 切点分别为 M, N,求 (其中 O 为坐标原点)

的取值范围.

22(本小题满分 12 分)

已知函数 (I)求 a 的值; (II)证明:



,的一个极值点

?

2011 年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(二) 年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测( 理科答案) 数 学(理科答案) 选择题: 小题, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.

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1~5 CBCDB 6~10 BCBAC 11~12BB ~ ~ ~ 填空题: 小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. ?30 2 14 . 2 15 . 2 16 .

2 2 3

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 17. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)依题意可知 ∠POA =

π π x , ∠QOA = x ,……………………2 分 3 6

| OP |=| OQ |= 1 ,
∴ | OM |=| OQ | cos ∠MOQ = cos ∠MOQ ,

π π x? x 6 = π x, ∴ ∠MOQ = 3 2 12 π ∴ | OM |= cos x ,( 0 ≤ x ≤ 6 ) 12 π 则 f ( x ) = cos x , 0 ≤ x ≤ 6 ).……………………………………5 分 ( 12 π π π (Ⅱ)依题意可知 g ( x ) = cos ( x ? 2) = cos( x ? ) , 2 ≤ x ≤ 8 )………………7 分 ( 12 12 6 π π 由 2k π ≤ x ? ≤ 2k π + π , 12 6 得 24k + 2 ≤ x ≤ 24k + 14 ,……
所以函数 y = g ( x ) , x ∈ [2,8] 的单调递减区间为 [2,8] .……………………10 分 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由公差 d > 0 ,且 ?

?a3 + a8 = a4 + a7 = 24 , ?a4 a7 = 135

解得 ?

?a4 = 9 ,………………………2 分 a7 = 15 ?
d=



a7 ? a4 = 2 ,∴ an = a4 + ( n ? 4 ) d = 2n + 1 .………………………5 分 3 b b b (Ⅱ)当 n ≥ 2 时, S n = 1 + 2 + L + n , ①, 2 3 3 3n b b b S n ?1 = 1 + 2 + L + n ?1 , ②, 2 3 3 3n ?1 b ①-②得: S n ? S n ?1 = n = an = 2n + 1 , 3n



bn = ( 2n + 1) ? 3n

( n ≥ 2) .

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n = 1 时, S1 = 3 =


b1 , 3

b1 = 9 也符合上式,故 bn = ( 2n + 1) ? 3n

( n ∈ N ) .………………………8 分
*

Tn = 3 ? 31 + 5 ? 32 + L + ( 2n ? 1) ? 3n ?1 + ( 2n + 1) ? 3n , 3Tn = 3 ? 32 + 5 ? 33 + L + ( 2n ? 1) ? 3n + ( 2n + 1) ? 3n +1 ,

③ ④

③-④得: ?2Tn = 9 + 2 ? 32 + 33 + L + 3n ? ( 2n + 1) ? 3n +1 ………………………10 分

(

)

= 9 + 2?

9 (1 ? 3n?1 ) 1? 3

- ( 2n + 1) ? 3

n +1

= ?2n ? 3n +1 .


Tn = n ? 3n +1 .…………………12 分

19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由题意可知总的基本事件为 4 = 64 ,…………………2 分
3

三人注射的疫苗批号互不相同的基本事件数为 A4 = 4 × 3 × 2 = 24 ,
3

所以所求概率为 p =

24 3 = .………………………4 分 64 8

(Ⅱ) ξ 的取值为 1,2,3,4

p (ξ = 1) =

3 C3 1 = 3 4 64 1 C33 + C32 + C3 7 = 43 64

p (ξ = 2) =

1 C33 + C32 ? 2 + C3 ? 22 19 p (ξ = 3) = = . 43 64 1 C33 + C32 ? 3 + C3 ? 9 37 = 64 43

p (ξ = 4) =

所以 ξ 的分布列为

ξ
p

1

2

3

4

1 64

7 64

19 64

37 64

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………………10 分

Eξ =

55 .………………………12 分 16

20.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)过 E 作 EF / / CD 交 PD 于 F ,由

EF / / CD, CD / / AB 可知 EF / / AB

∴ A , B, E , F 四点共面,…………………2 分
又因为 PD ⊥ 面ABE ∴ PD ⊥ AF , ∵ PA = AD ∴ 在

Rt ?PAD





F为PD的中点 ,………………………4 分
∴可得 E 为 PC 的中点.……………………6 分 (Ⅱ)连结 EN ,

EN // PD

∴ EN ⊥ 面ABE ,

连结 MN , ME ,则 ∠EMN 为直线 MN 与平面 ABE 所成的角. 在

EN , MN ∴ MN 最小时, ∠EMN 最大,此时 MN ⊥ AB .
Rt?MEN 中, sin ∠EMN =
所以 M 为 AB 中点,……………………………9 分 则 EF // ND // AM . = =

∴ AMEF为平行四边形.

由 AF ⊥ PD, CD ⊥ AF ,

可知 AF ⊥ 面PCD, ME ⊥ 面PCD

∴ ∠CEN为二面角C ? ME ? N的平面角


1 a CN 2 = 2 PA = AD = a, 在Rt?CEN中, tan ∠CEN = = EN 2 2 a 2


∴ 所求二面角的大小为 arctan

2 .……………12 分 2

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法 二 ( Ⅰ ) 建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系 , 不 妨 设

PA = 1 , 则 uuu r uuu r P (0, 0,1) , A(0, 0, 0) , B (1, 0, 0) , C (1,1, 0) , D (0,1, 0), PC = (1,1, ?1) , PD = (0,1, ?1) .………………2

分 设 PE = λ PC = (λ , λ ,?λ ) ,

AE = AP + PE = (0,0,1) + (λ , λ ,?λ ) = (λ , λ ,1 ? λ ) ,…………………4 分
因为

uuu r PD ⊥ 面ABE

, PD ? AE = 0 ,

uuu uuu r r

λ + λ ?1 = 0 , 1 即 λ = ,∴ E为PC中点 .……………………6 分 2 uuuu r 1 1 (Ⅱ)设 M = (t , 0, 0) , N ( ,1, 0) , MN = ( ? t ,1, 0), 2 2
由(Ⅰ)知面 ABE 的法向量为 PD = (0,1,?1) , 设 MN 与面 ABE 所成角为 θ ,

uuuu uuu r r sin θ =| cos < MN , PD >| =

2 1 2 1 + ( ? t )2 2

当 t=

1 时, sin θ 最大,此时 M 为 AB 中点,…………………9 分 2

平面 NEM 的法向量为 n1 = ( ?1, 0, 0) 设平面 CEM 的法向量为 n2 = ( x, y, z )

uuu r ?n2 ? EC = 0 ? uuuu r ? ?n2 ? MC = 0 ?

而 EC = ( ,

uuu r

r 1 1 1 uuuu 1 , ? ) MC = ( ,1, 0), 2 2 2 2

?1 ? 2 ( x + y ? z ) = 0, ? ? ? 1 x + y = 0. ?2 ? ∴ n2 = (?2,1, ?1)

令 y = 1 则x = ?2

y = ?1

cos < n1 , n2 >=

2 6

=

6 , 3

∴ 所求二面角为 arccos
21.(本小题满分 12 分)

6 .……………………12 分 3

解:(Ⅰ)由动点 P 到定点 A (0,1) 的距离比到定直线 l1 : y = ?2 的距离小 1 ,可知 P 到定点 A (0,1) 的距离

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2

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等于到直线 y = ?1 的距离,由抛物线定义可知动点 P 的轨迹方程为 x = 4 y .………………………………4 分 (Ⅱ)法一由题意知 y′ = 则切线 MQ : y ? y1 = 切线 NQ : y ? y2 =

x ,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , Q ( x0 , ?1) , 2

x1 ( x ? x1 ) , 2

x2 ( x ? x2 ) ,……………………6 分 2 x x 又 MQ , NQ 交于 Q ( x0 , ?1) ,故 ?1 ? y1 = 1 ( x0 ? x1 ) , ?1 ? y2 = 2 ( x0 ? x2 ) ,又 M 、N 在 x 2 = 4 y 上, 2 2
x0 x x1 ? y1 + 1 = 0 , 0 x2 ? y2 + 1 = 0 . 2 2 x0 x2 2 x ? y + 1 = 0 ,又 y = ,可得 x ? 2 x0 x ? 4 = 0 . 2 4



可得直线 MN :

由韦达定理可知 x1 + x2 = 2 x0 , x1 x2 = ?4 , 不妨设 x1 < 0, ……………………8 分

y1 y2 ? x1 x2 x2 tan ∠MON = ,由y= yy 4 1+ 1 2 x1 x2
4( x1 ? x2 ) tan ∠MON = =? 12
=?

( x1 + x2 )
3

2

? 4 x1 x2

4 x0 2 + 16 3

4 ≤ ? ,……………………………10 分 3

所以 ∠MON ∈ ?

4? ?π , π ? arctan ? .…………………………12 分 3? ?2 2 ,………2 分 x +1

22.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f (x ) 的定义域为 (?1, ∞ ) , f ′( x ) = 2( x + a ) ? +

∵ x = 0 是 f (x ) 的一个极值点,∴ f ′(0) = 0 , 2a ? 2 = 0 , a = 1 , 则 f ( x ) = ( x + 1) 2 ? 2 ln( x + 1) , f ′( x ) = 2( x + 1) ?

2 , x +1

函数 f ( x ) 在 (?1, 0) 上单调递减,在 (0, +∞ ) 上单调递增, 经检验 a = 1 时, x = 0 是 f (x ) 的一个极值点,∴ a = 1 ………………4 分

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(Ⅱ)证法一由(Ⅰ)知 f (x ) 在 (?1, 上单调递减, f (x ) 在 (0, ∞) 上单调递增, 0) + ∴ f ( x ) ≥ f (0) = 1 ,即 ( x + 1) 2 ? 2 ln( x + 1) ≥ 1 ,将 x =

1 代入得 n

1 1 ( + 1) 2 ? 2 ln( + 1) ≥ 1 , n n n + 1 2 2n + 1 ) ≤ .……………………………6 分 即 ln( n n2
可得 2 [ ln( n + 1) ? ln n ] ≤ 则 ln( n + 1) ? ln n <

2n + 1 2 1 2 1 1 1 = + 2< + = + (n ≥ 2) …………8 分 2 n n n n n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 ( + ), (n ≥ 2) 2 n n ?1 1 1 1 ln n ? ln ( n ? 1) < ( + ), 2 n ?1 n ? 2


ln 3 ? ln 2 <

1 1 ( + 1) , 2 2

1 1 1 1 1 (1 + ) + + + ... + (n ≥ 2) ………………10 分 2 n 2 3 n ?1 n +1 1 1 1 1 1 证得 ln + (1 + ) < 1 + + ... + + .…………………12 分 2 2 n 2 n ?1 n
叠加得 ln( n + 1) ? ln 2 <


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