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高中数学北师大版必修4学案:1.9 三角函数的简单应用 Word版含解析


§ 9

三角函数的简单应用

1.能用三角函数研究简单的实际问题,尤其是周期性问题.(重点) 2.将实际问题抽象为三角函数模型.(难点)

[基础· 初探] 教材整理 三角函数模型的应用

阅读教材 P58~P59 练习以上部分,完成下列问题. 1.三角函数模型的应用 (1)根据实际问题的图像求出函数解析式. (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. (3)利用收集的数据,进行函数拟合,从而得到函数模型. 2.解答三角函数应用题的一般步骤

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 y=sin x 在第一象限内是增函数.( (2)函数 y=3sin x-1 的最大值为 3.( ) ) )

(3)直线 x=π 是函数 y=sin x 的一条对称轴.( (4)函数 y=sin(πx-4)的周期为 2.( )

【解析】 (1)由正弦函数图像知,正确;(2)最大值应该是 3-1=2;(3)x=

π 2π + k π( k ∈ Z ) 是 y = sin x 的对称轴; (4) T = 2 π =2. 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√ [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 2:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 3:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________

[小组合作型] 三角函数在物理学中的应 用 交流电的电压 E(单位:V)与时间 t(单位:s)的关系可用 E=220 3 π? ? sin?100πt+6?来表示,求: ? ? (1)开始时电压; (2)电压值重复出现一次的时间间隔; (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间. 【精彩点拨】 (1)求 t=0 时所对应的电压.

(2)求函数的周期.(3)求函数的最值. 【自主解答】 (1)当 t=0 时,E=110 3(V),即开始时的电压为 110 3V.

2π 1 (2)T=100π=50(s),即时间间隔为 0.02 s. (3)电压的最大值为 220 3V, π π 1 当 100πt+6=2,即 t=300(s)时第一次取得最大值.

由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性,且均符合 函数 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的变换规律,因此可借助于三角函数模型来 研究物理学中的相关现象.

[再练一题] 1.如图 1-9-1,一弹簧上挂的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位 移 s(cm)随时间 t(s)的变化曲线是一个三角函数的图像,求:

图 1-9-1 (1)经过多长时间,小球往复振动一次; (2)这条曲线的函数解析式; (3)小球开始振动时,离开平衡位置的位移. 【解】 ?7π π ? (1)由图像可知,周期 T=2×?12-12?=π, ? ?

所以小球往复振动一次所需要的时间为 π s. (2)由题意可设该曲线的函数解析式为 s=Asin(ωt+φ),t∈[0,+∞). 2π 从图像中可以看出 A=4,又 ω =π,所以 ω=2. π 从而 s=4sin(2t+φ),将 t=12,s=4 代入上式, π ?π ? 得 sin?6+φ?=1,所以 φ=3. ? ? 故这条曲线的函数解析式为 π? ? s=4sin?2t+3?,t∈[0,+∞). ? ?

π (3)当 t=0 时,s=4sin 3=2 3(cm).故小球开始振动时,离开平衡位置的 位移是 2 3 cm. [探究共研型] 三角函数的实际应 用 探究 1 建立三角函数模型解决实际问题的思路是什么?

【提示】(1)先寻找与角有关的信息,确定选用正弦、余弦还是正切函数模 型. (2)其次是搜集数据,建立三角函数解析式并解题. (3)最后将所得结果翻译成实际答案. 探究 2 如何建立拟合函数模型? (1)利用搜集到的数据,作出相应的“散点图”.

【提示】

(2)观察“散点图”,并进行数据拟合,获得具体的函数模型. (3)利用这个函数模型解决相应的实际问题,并进行检验. 探究 3 π? ? 由图像怎样确定 y=Asin(ωx+φ)+b?A>0,ω>0,|φ|<2?中的 A 和 b. ? ? A= ymax-ymin ymax+ymin , b = . 2 2

【提示】

某港口的水深 y(单位:m)是时间 t(0≤t≤24,单位:h)的函数,下面 是水深数据:

t/h y/m

0 10.0

3 13.0

6 9.9

9 7.0

12 10.0

15 13.0

18 10.1

21 7.0

24 10.0

根据上述数据描出曲线,如图 1-9-2 所示,经拟合,该曲线可近似地看做 函数 y=Asin ωt+b 的图像.

图 1-9-2

(1)试根据以上数据,求函数解析式; (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离不少于 4.5 m 时是安全的, 如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为 7 m,那么该船何时能进入港口?在 港口能待多久? 【精彩点拨】 (1)根据题意确定 A,b,ω,φ.

(2)根据题意水深 y≥11.5 可求解. 【自主解答】 (1)从拟合曲线可知,函数 y=Asin ωt+b 在一个周期内由最 大变到最小需 9-3=6(h),此为半个周期,∴函数的最小正周期为 12 h, 2π π 因此 ω =12,得 ω=6. ∵当 t=0 时,y=10,∴b=10. ∵ymax=13,∴A=13-10=3. π ∴所求函数的解析式为 y=3sin6t+10(0≤t≤24). (2)由于船的吃水深度为 7 m,船底与海底的距离不少于 4.5 m,故在船舶航 行时水深 y 应不小于 7+4.5=11.5(m). ∴当 y≥11.5 时就可以进港. π π 1 令 y=3sin6t+10≥11.5,得 sin6t≥2, π π 5π ∴6+2kπ≤6t≤ 6 +2kπ(k∈Z), ∴1+12k≤t≤5+12k(k∈Z). 取 k=0,则 1≤t≤5;取 k=1,则 13≤t≤17; 取 k=2,则 25≤t≤29(不合题意). 因此,该船可以在凌晨 1 点进港,5 点出港或在 13 点进港,17 点出港,每 次可以在港口停留 4 小时.

根据给出的函数模型,利用表中的数据,找出变化规律,运用已学的知识与 三角函数的知识, 求出函数解析式中的参数,将实际问题转化为三角方程或三角 不等式,然后解方程或不等式,可使问题得以解决.

[再练一题] 2.已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(时)的函数,其中 0≤t≤24,记 y=f(t),下表是某日各时的浪高数据: t y 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1 18 0.5 21 0.99 24 1.5

经长期观测,y=f(t)的图像可近似地看成函数 y=Acos ωt+b 的图像. (1)根据以上数据,求其最小正周期,振幅及函数解析式; (2)根据规定,当海浪高度大于 1 米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结 论,判断一天内的 8:00 到 20:00 之间,有多少时间可供冲浪者进行活动? 【解】 π (1)由表中数据可知,T=12,所以 ω=6.

又 t=0 时,y=1.5, 1 所以 A+b=1.5;t=3 时,y=1.0,得 b=1.0,所以振幅为2,函数解析式为 1 π y=2cos6t+1(0≤t≤24). (2)因为 y>1 时,才对冲浪爱好者开放,所以 1 π π y=2cos6t+1>1,cos6t>0, π π π 2kπ-2<6t<2kπ+2, 即 12k-3<t<12k+3(k∈Z). 又 0≤t≤24,所以 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24, 所以在规定时间内只有 6 个小时冲浪爱好者可以进行活动,即 9<t<15. [构建· 体系]

1.如图 1-9-3 所示为一简谐振动的图像,则下列判断正确的是(

)

图 1-9-3 A.该质点的振动周期为 0.7 s B.该质点的振幅为 5 cm C.该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时振动速度最大 D.该质点在 0.3 s 和 0.7 s 时的加速度为零 【解析】 由图像可知,该质点的振动周期是 2(0.7-0.3)=0.8,故 A 不正

确;振幅为 5 cm,故选 B. 【答案】 B

2.某人的血压满足函数关系式 f(t)=24sin 160πt+110,其中 f(t)为血压,t 为时间,则此人每分钟心跳的次数为( A.60 C.80 【解析】 【答案】 )

B.70 D.90 2π 1 1 ∵T=160π=80,∴f=T=80. C

3.如图 1-9-4 所示,是一弹簧振子作简谐振动的图像,横轴表示振动的

时间,纵轴表示振子的位移,则这个振子振动的函数解析式是________. 【导学号:66470033】

图 1-9-4 【解析】 设函数解析式为 y=Asin(ωx+φ),则由题意得

A=2,T=2×(0.5-0.1)=0.8, 2π 5 5 π π ∴ω=0.8=2π.又2π×0.1+φ=2,∴φ=4, π? ?5 ∴解析式为 y=2 sin?2πt+4?. ? ? 【答案】 π? ?5 y=2sin?2πt+4? ? ? y = Asin(ωx +

4 . 某 同 学 利 用 描 点 法 画 函 数

π π? ? φ)?其中0<A≤2,0<ω<2,-2<φ<2?的图象,列出的部分数据如下表: ? ? x y 0 1 1 0 2 1 3 -1 4 -2

经检查,发现表格中恰有一组数据计算错误,请你根据上述信息推断函数 y =Asin(ωx+φ)的解析式应是________. 【解析】 在平面直角坐标系中描出这五个点,如图所示.

根据函数图象的大致走势, 可知点(1,0)不符合题意; 又∵0<A≤2, 函数图象过点(4,-2),∴A=2, ∵函数图象过点(0,1),∴2sin φ=1. π π π 又∵-2<φ<2,∴φ=6,

由(0,1),(2,1)关于直线 x=1 对称, 知 x=1 时函数取得最大值 2, ∴函数的最小正周期为 6. π ∴ω=3. 【答案】 ?π π? y=2sin?3x+6? ? ?

5.如图 1-9-5,某地夏天 8~14 时用电量变化曲线近似满足函数 y= π? ? Asin(ωx+φ)+b?A>0,ω>0,|φ|<2?. ? ?

图 1-9-5 (1)求这一天的最大用电量及最小用电量; (2)写出这段曲线的函数解析式. 【解】 度. (2)b= 30+50 2 =40,A×1+40=50?A=10, (1)由题图可知,一天最大用电量为 50 万度,最小用电量为 30 万

T 由图可知, 2=14-8=6, 2π π 则 T=12,ω= T =6, ?π ? 则 y=10sin?6x+φ?+40, ? ? π 代入(8,30)得 φ=6, ?π π? ∴解析式为 y=10sin?6x+6?+40,x∈[8,14]. ? ?

我还有这些不足: (1)______________________________________________________________

(2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案: (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________


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