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2015-2016学年高中数学 2.2.3向量数乘运算及其几何意义课时作业 新人教A版必修4


2015-2016 学年高中数学 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课时作 业 新人 A 教版必修 4
基础巩固 一、选择题 → 1.已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A、C),则AP=( → → A.λ (AB+BC) → → B.λ (AB+BC) → → C.λ (AB-BC) → → D.λ (AB-BC) [答案] A → [解析] 设 P 是对角线 AC 上的一点(不含 A、C),过 P 分别作 BC、AB 的平分线,设AP= → → → → λ AC,则 λ ∈(0,1),于是AP=λ (AB+BC),λ ∈(0,1). → → → 1→ → 2.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD= CA+λ CB,则 λ 等于( 3 2 A. 3 1 C.- 3 [答案] A → → [分析] 将AD、DB都用从 C 点出发的向量表示. → → [解析] (方法一):由AD=2DB, → → → → → 1→ 2→ 可得CD-CA=2(CB-CD)? CD= CA+ CB, 3 3 2 所以 λ = .故选 A. 3 2 → → → → 2→ → 2 → → 1→ 2→ (方法二):CD=CA+AD=CA+ AB=CA+ (CB-CA)= CA+ CB,所以 λ = ,故选 A. 3 3 3 3 3 → → → 3.点 P 是△ABC 所在平面内一点,若CB=λ PA+PB,其中 λ ∈R,则点 P 一定在( A.△ABC 内部 C.AB 边所在的直线上 [答案] B
1

)

λ ∈(0,1) λ ∈(0, 2 ) 2

λ ∈(0,1) λ ∈(0, 2 ) 2

)

1 B. 3 2 D.- 3

)

B.AC 边所在的直线上 D.BC 边所在的直线上

→ → → → → → [解析] ∵CB=λ PA+PB,∴CB-PB=λ PA. → → ∴CP=λ PA. ∴P、A、C 三点共线. ∴点 P 一定在 AC 边所在的直线上. → → → 4.已知平行四边形 ABCD 中,DA=a,DC=b,其对角线交点为 O,则OB等于( 1 A. a+b 2 1 C. (a+b) 2 [答案] C → → → → → → [解析] DA+DC=DA+AB=DB=2OB, → 1 所以OB= (a+b),故选 C. 2 → → → 5. 已知向量 a、 b, 且AB=a+2b, BC=-5a+6b, CD=7a-2b, 则一定共线的三点是( A.A、B、D C.B、C、D [答案] A → → → → [解析] BD=BC+CD=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2AB,所以,A、B、D 三点共 线. → → → → → → 6.如图所示,向量OA、OB、OC的终点 A、B、C 在一条直线上,且AC=-3CB.设OA=p, → B.A、B、C D.A、C、D ) 1 B.a+ b 2 D.a+b )

OB=q,OC=r,则以下等式中成立的是(
1 3 A.r=- p+ q 2 2 B.r=-p+2q 3 1 C.r= p- q 2 2 D.r=-q+2p [答案] A



)

→ → → → → → [解析] ∵OC=OB+BC,AC=-3CB=3BC, → 1→ ∴BC= AC. 3 → → 1→ → 1 → → ∴OC=OB+ AC=OB+ (OC-OA). 3 3

2

1 ∴r=q+ (r-p). 3 1 3 ∴r=- p+ q. 2 2 二、填空题 1 2 7.若向量 a=3i-4j,b=5i+4j,则( a-b)-3(a+ b)+(2b-a)=________. 3 3 32 [答案] -16i+ j 3 1 2 [解析] ( a-b)-3(a+ b)+(2b-a) 3 3 1 11 11 44 = a-b-3a-2b+2b-a=- a-b=- (3i-4j)-(5i+4j)=-11i+ j-5i- 3 3 3 3 32 4j=-16i+ j. 3 1 2 → 8.(江苏高考)设 D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点,AD= AB,BE= BC.若DE= 2 3 → → λ 1AB+λ 2AC(λ 1,λ 2 为实数),则 λ 1+λ 2 的值为________. [答案] 1 2

→ → → 2→ 1→ [解析] 由已知DE=BE-BD= BC- BA 3 2 2 → → 1→ 1→ 2→ = (AC-AB)+ AB=- AB+ AC, 3 2 6 3 1 2 ∴λ 1=- ,λ 2= , 6 3 1 从而 λ 1+λ 2= . 2 三、解答题 → → → → 9.已知?ABCD 中,AB=a,AD=b,对角线 AC、BD 交于点 O,用 a、b 表示OA,BO. 1 → 1→ 1 → → [解析] OA= CA= (CB+BA)= (-a-b). 2 2 2



BO= BD= (AD-AB)= (b-a).
10.已知向量 e1、e2 是两个共线向量,若 a=e1-e2,b=2e1+2e2,求证:a∥B.
3

1→ 1 → → 2 2

1 2

[证明] 若 e1=e2=0,则 a=b=0, 所以 a 与 b 共线,即 a∥b; 若 e1、 e2 中至少有一个不为零向量, 不妨设 e1≠0, 则 e2=λ e1(λ ∈R), 且 a=(1-λ )e1,

b=2(1+λ )e1,所以 a∥e1,b∥e1.
因为 e1≠0,所以 a∥B. 综上可知,a∥B. 能力提升 一、选择题 → → → 1.已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点,且 2OA+OB+OC=0,那么( → → A.AO=OD → → C.AO=2OD [答案] A → → → → → → [解析] ∵OB+OC=2OD,且OB+OD=-2OA, → → → → ∴2OD=-2OA,即OD=AO. 2.在?ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延 → → → 长线交 CD 于点 F,若AC=a,BD=b,则AF=( 1 1 A. a+ b 4 2 1 1 C. a+ b 2 4 [答案] D [解析] → ) 1 2 B. a+ b 3 3 2 1 D. a+ b 3 3 → → B.AO=2OD → → D.2AO=OD )

AF=AC+CF=a+ CD=a+ (OD-OC)=a+ ( BD- AC)=a+ (b-a)=a+





2→ 3

2 → 3



2 1→ 3 2

1→ 2

1 3

1 3

2 1 (b-a)= a+ B. 3 3 3. 设 e1、 e2 是两个不共线的向量, 则向量 a=2e1-e2, 与向量 b=e1+λ e2(λ ∈R)共线, 当且仅当 λ 的值为( A.0 C.-2 [答案] D [解析] ∵向量 a 与 b 共线,∴存在唯一实数 u,使 b=ua 成立.即 e1+λ e2=u(2e1
?1=2u, ? -e2)=2ue1-ue2.∴? ?λ =-u. ?

) B.-1 1 D.- 2

1 解得 λ =- . 2
4

→ → → → 4.在△ABC 中,点 D 在 BC 边所在直线上.若CD=4BD=sAB-rAC,则 s+r 等于( A.0 8 C. 3 [答案] C 4 B. 3 D.3

)

→ → → → → → → 1→ → → 1 → → → [解析] 由题意可得, CD=AD-AC=AB+BD-AC=AB+ CB-AC=AB+ (AB-AC)-AC= 3 3 4→ 4→ 8 AB- AC,∴s+r= . 3 3 3 二、填空题 1 1 5. 若 2(x- a)- (b+c-3x)+b=0, 其中 a、 b、 c 为已知向量, 则未知向量 x=________. 3 2 [答案] 4 1 1 a - b+ c 21 7 7

2 1 1 3 [解析] ∵2x- a- b- c+ x+b=0, 3 2 2 2 7 2 1 1 4 1 1 ∴ x= a- b+ C.∴x= a- b+ c 2 3 2 2 21 7 7 → → → → → 6.如图所示,在?ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则MN= ____________.(用 a、b 表示). [答案] 1 (b-a) 4

→ → → → [解析] MN=MB+BA+AN 1→ → 3→ =- BC+BA+ AC 2 4 1→ → 3 → → =- AD-AB+ (AB+AD) 2 4 1 3 =- b-a+ (a+b) 2 4 1 1 1 = b- a= (b-a). 4 4 4 三、解答题 → → → 7.已知 e、 f 为两个不共线的向量,若四边形 ABCD 满足AB=e+2f,BC=-4e-f,CD= -5e-3f. → (1)将AD用 e,f 表示;

5

(2)证明四边形 ABCD 为梯形. → → → → [解析] (1)AD=AB+BC+CD=(e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4-5)e+(2- 1-3)f=-8e-2f. → → (2)因为AD=-8e-2f=2(-4e-f)=2BC, → → 即AD=2BC, → → → → 所以根据数乘向量的定义,AD与BC同方向,且AD长度为BC的长度的 2 倍, 所以在四边形 ABCD 中,AD∥BC,且 AD≠BC,所以四边形 ABCD 是梯形. 8.设两个不共线的向量 e1、e2,若向量 a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,向量 c=2e1-9e2, 问是否存在这样的实数 λ 、μ ,使向量 d=λ a+μ b 与向量 c 共线? [解析] ∵d=λ (2e1-3e2)+μ (2e1+3e2)=(2λ +2μ )e1+(3μ -3λ )e2, 要使 d 与 c 共线,则存在实数 k 使 d=k·c, 即:(2λ +2μ )e1+(-3λ +3μ )e2 =2ke2-9ke2.由?
?2λ +2μ =2k, ? ? ?-3λ +3μ =-9k



得 λ =-2μ ,故存在这样的实数 λ 和 μ , 只要 λ =-2μ ,就能使 d 与 c 共线.

6


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