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06-07学年数学必修IV模块综合测评六(附答案)


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综合测试 第Ⅰ 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 1.如图 1,在 ABCD 中, OA =a, OB =b, OC =c, OD =d,则下列运算正确的是( )

图1 A.a+b+c+d=0 C.a+b-c-d=0 B.a-b+c-d=0 D.a

-b-c+d=0

思路分析:由题图可知 a-b= BA ,c-d= DC ,而 BA 与 DC 是互为相反的向量,其和为零, 所以 a-b+c-d=0. 答案:B 2.已知 cotα=2,tan(α-β)= ? A.

13 18

2 ,那么 tan(β-2α)的值是( ) 5 1 3 B. ? C. 22 12

D.

3 18

思路分析:首先 tan(β-2α)=-tan(2α-β)=-tan[(α-β)+α] ,再利用两角和的正切公式可得结论. 答案:B 3.函数 y= log 1 sin(
5

?
3

?

?
4

x) 的单调增区间是(

)

2 ?x? 3 2 C. ? ? x ? 3
A. ?

4 3 4 3

2 4 ?x? 3 3 2 4 D. 8k ? ? x ? 8k ? (k∈Z) 3 3
B. ?

思路分析:将原函数转化为 y ? log 1 [? sin(
5

?

由复合函数的单调性可知整个函数的 x ? )], 4 3

?

单调增区间就是 sin( 答案:D

? ? x- )的增区间. 4 3
? )的图象,可以将函数 y=3sin2x 的图象沿 x 轴( 4 ? B.向右平移 个单位 8 ? D.向右平移 个单位 4
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)

4.要得到函数 y=3cos(2x-

? 个单位 8 ? C.向左平移 个单位 4
A.向左平移

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? ? -2x)=3cos(2x- ),化为同名函数后即可进行平移, 2 2 ? ? ? ? 显然 3cos [2(x+ )- ] =3cos(2x- ), 所以应将函数 y=3sin2x 的图象沿 x 轴向左平移 个 8 2 4 8
思路分析:将 y=3sin2x 转化为 y=3cos( 单位. 答案:A 5.化简式子 2 ? sin 2 2 ? cos4 的值是( A.sin2 B.-cos2 ) C. 3 cos2 D. ? 3 cos2

思路分析:将 cos4 运用倍角公式变形为 1-2sin22,从而原式化为 3 ? 3sin 2 2 ,再化简并开 方即得结果. 答案:D 6.若 α∈ (

? 1 ? ,π),且 sinα·cosα= ? ,则 tan 的值是( 2 2 2
B. 2 ? 1

) D. 3 ? 1

A. 1? 2 思路分析:由 sinα·cosα= ? 得 tan

C. 1? 3

? 的值. 2

1 3? 可得 sin2α=-1,所以 α= ,求出 cosα 后利用半角公式即可求 4 2

答案:A 7.已知三点 A(1,1)、B(-1,0)、C(0,1),若 AB 和 CD 是相反向量,则 D 点坐标是( A.(-2,0) B.(2,2) C.(2,0) D.(-2,-2) )

思路分析:设出 D 点的坐标(x,y),写出向量 AB 和 CD 的坐标形式,根据它们是相反向量, 可以列出关于 x、y 的方程组,从而得解. 答案:B 8.若 1 弧度的圆心角所对的弦长为 2,那么这个圆心角所对的弧长为( A. sin

) D.2sin

1 2

B.

? 6

C.

1 sin 1 2

1 2

思路分析:要求圆心角所对的弧长,需要知道圆的半径,这可以利用直角三角形获得. 答案:C 9.若 0≤θ<2π 且同时满足不等式 cosθ<sinθ 和 tanθ<sinθ,那么角 θ 的取值范围是(

)

? 3? , ) 4 4 3? C.(π, ) 2
A.(

? ,π) 2 3? 5? D.( , ) 4 4
B.(

思路分析:分别在 0≤θ<2π 范围内解两个不等式,然后求出它们的交集. 答案:B 10.若 tanA· tanB=tanA+tanB+1,则 cos(A+B)的值为( )

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A. ?

2 2

B.

2 2

C. ?

2 2

D. ?

1 2

思路分析:由 tanA· tanB=tanA+tanB+1 可得-tanA+tanB=1-tanA· tanB,所以 tan(A+B)=-1,由此 可求 cos(A+B). 答案:C 11.已知 f(x)=3sin(2x+ A.f(3)>f(1)>f(2) C.f(3)>f(2)>f(1) 思路分析:利用 f(x)=3sin(2x+

? ),则以下不等式正确的是( 3

)

B.f(1)>f(2)>f(3) D.f(1)>f(3)>f(2)

? )的单调性,根据 1、2、3 所在的区间,结合图象可以较为方 3

便的得到结论. 答案:A 12.在△ABC 中,若 B=30° ,则 cosA· cosC 的取值范围是( A.[-1,1] C.[ ? B.[ ?

)

1 3 , ] 4 4

1 1 , ] 2 2 3 1 D.[ ? , ] 4 4

思路分析:积化和差转化为只含一个三角函数值的形式,利用正余弦函数的有界性确定式子 的取值范围. 答案:C 第Ⅱ 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 13.已知 AC 为 AB 与 AD 的和向量,且 AC =a, BD =b,分别用 a、b 表示 AB =________,

AD =__________.
思路分析:根据向量加法的平行四边形法则直接写出结论. 答案:

1 (a-b) 2

1 (a+b) 2

14.已知 sin

?
2

? cos

?
2

??

3 5

,且

5? ? <α<3π,则 cot =__________. 2 4
,得 2 sin

思路分析:由 sin

?
2

? cos

?
2

??

3 5

?
2

cos

?
2

?

4 . 5

∴(cos

?

2 2 2 2 5? 5? ? 3? ? ? ? ? ∵ <α<3π.∴ .∴ cos >sin . 2 4 2 2 2 2
∴ cos

? sin

?

) 2 ? 1 ? 2 sin

?

cos

?

? 1?

4 1 ? . 5 5

? ? 1 ? 1 ? 2 -sin = .再由已知得 cos ? ? , sin ? ? . 2 2 2 2 5 5 5
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∴cot

?
4

?

sin

?
2

?

2 5 1 5 ? ) 1? 5 . 2

1 ? cos

?
2

? 1 ? (?

答案:

1? 5 2

15.若 x∈ (0, 答案:

? ? 5 ),且 cos( +x)= ,则 cos2x=____________. 13 4 4

120 169 2 cos ? ? 1 ,则 m 的取值范围是____________. m

16.已知 6 sin ? ?

思路分析:

1 1 2 ? 2 2 sin(? ? ? ) ,∴| |? 2 2 , | m |? . m m 4

∴m ? ?

2 2 或m ? . 4 4 2 2 ]∪ [ ,+∞) 4 4

答案:(-∞, ?

17.将函数 y=sin(3x+

? ? )的图象向右平移 个单位,再将图象上各点的横坐标扩大到原来的 4 8
? 个单位,解析式应变为 y=sin 8

3 倍(纵坐标不变),则所得函数的解析式是______________. 思路分析:本题考查正弦型函数图象的平移,图象向右平移

? ? )+ ]. 8 4 ? 答案:y=sin(x- ) 8
[3(x-

18.在△ABC 中,A>B,下列不等式中正确的是________. ① sinA>sinB ② cosA<cosB ③ sin2A>sin2B ④ cos2A<cos2B 思路分析:分 A、B 都是锐角和 A 为钝角而 B 为锐角两种情况分析. 答案:① ④ ② 三、解答题 19.已知点 A(-3,-4)、B(5,-12), (1)求 AB 的坐标及| AB |; (2)若 OC ? OA ? OB , OD ? OA ? OB ,求 OC 及 OD 的坐标; (3)求 OA? OB .

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思路分析:直接利用向量坐标公式写出结论. 答案:(1) AB =(8,-8),| AB |= 8 2 . (2) OC =(2,-16), OD =(-8,8). (3) OA? OB =33.

20.已知 cos(

? 3 17? 7? sin 2 x ? 2 sin 2 x ?x? +x)= , ,求 . 5 12 4 4 1 ? tan x

解:因为

17? 7? 5? ? ? 3 ?x? ? x ? ? 2? .又 cos( ? x) ? , ,所以 12 4 3 4 4 5

所以 sin(

? 4 sin 2 x ? 2 sin 2 x sin 2 x(1 ? tan x) ? ? ? ? ? cos( ? 2 x) tan( ? x) +x)=- .所以 5 4 1 ? tan x 1 ? tan x 2 4

=[1-2cos2(

? ? 28 +x)]tan( +x)= ? . 75 4 4

21.已知 O 为坐标原点, OA =(2cos2x,1), OB =(1, 3 sin2x+a)(x∈ R,a∈ R,a 是常数), 若 y= OA? OB . (1)求 y 关于 x 的函数解析式 f(x); (2)若 x∈ [0,

? ]时,f(x)的最大值为 2,求 a 的值并指出 f(x)的单调区间. 2

解:(1)y= OA? OB =2cos2x+ 3 sin2x+a =1+cos2x+ 3 sin2x+a

? )+a+1. 6 ? (2)当 sin(2x+ )=1 时,f(x)取得最大值 2,∴ 2+a+1=2.∴ a=-1. 6 ? 此时 f(x)=2sin(2x+ ). 6 ? ? ? ? ? 当 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ , k∈Z, kπ- ≤x≤kπ+ , Z 时, 即 k∈ 函数 f(x)递增, 故函数 f(x) 2 6 2 3 6 ? ? 的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ] ,k∈Z. 3 6
=2sin(2x+ 22.设坐标平面上有三点 A、B、C,i、j 分别是坐标平面上 x 轴、y 轴正方向的单位向量, 若向量 AB =i-2j, BC =i+mj,那么是否存在实数 m,使 A、B、C 三点共线. 思路分析:假设满足条件的 m 存在,由 A、B、C 三点共线,转化出向量平行,列得关于 m 的方程(组),再进一步求解.

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解法一:假设满足条件的 m 存在,由 A、B、C 三点共线,即 AB ∥BC , ∴ 存在实数 λ,使 AB =λ BC .i-2j=λ(i+mj),

?? ? 1, ∴ m=-2. ? ??m ? 2,
∴ m=-2 时,A、B、C 三点共线 当 解法二:假设满足条件的 m 存在,根据题意可知 i=(1,0),j=(0,1), ∴ AB =(1,0)-2(0,1)=(1,-2), BC =(1,0)+m(0,1)=(1,m). 由 A、B、C 三点共线,即 AB ∥BC ,故 1· (-2)=0.解得 m=-2. m-1· ∴ m=-2 时,A、B、C 三点共线. 当 23.求函数 y ?

2? x 1? 1? x2

?

1? 1? x2 的最大值、最小值. x

思路分析:进行三角代换,利用三角函数及二次函数获得最值. 解:函数的定义域为 1-x2≥0,且 x≠0,即-1≤x≤1,x≠0,作三角代换:

? ? 2 ? s i n 1 ? co s? 2 ? s i n ? ? sin ? ? ? ? ? ≤θ≤ , 且 θ≠0) , 则 y ? 1 ? co ? sin ? 1 ? co s? 1 ? co s? 2 2 ? ? 2(sin ? cos ) 2 2(1 ? sin ? ) 2 2 ? (1 ? tan? ) 2 . ? ? 1 ? cos? 2 2 cos2 2 ? ? ? ? ? ? ∵? ? ? ? ,θ≠0,∴? ? ? , ≠0 2 2 4 2 4 2 ? ? ∴ tan =1,即 θ= 时,取得 ymax=4, 当 2 2 ? ? 当 tan =-1,即 θ=- 时,取得 ymin=0. 2 2
令 x=sinθ(-

? 2 , ?sin ? ? sin ? ? ? 2 请问根据上述两个等式,你能求出几个三角函数的 24.(附加题)已知 ? ?cos? ? cos? ? 2 ? 4 ?
值?(要求至少写出四个不同的结论) 解:将两式平方后相加,得到 2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=

1 1 11 ? ,所以 cos(α-β)= ? . 8 2 16

又将两式相除,得到

2 2 ? 2 ,所以 tan ? ? ? ? 2 . ? ?? ? ?? 2 2 cos cos 2 2
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2 sin

? ??

cos

? ??

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由此又可以得到 sin(α+β)=

4 3 4 ,cos(α+β)= ? ,tan(α+β)= ? . 5 5 3

公式表 1.与角 α 终边相同的角的集合 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}或 S={β|β=α+2kπ,k∈Z}. 2.L 弧长=|α|R=

n ?R 1 1 n? ? R 2 ;S 扇= LR= R2|α|= ,其中 α、n、L、R 分别是圆心角的弧度 180 2 2 360
P(x,y) , 则

数、角度数、弧长、半径. 3. 设 α 是 一 个 任 意 角 , 它 的 终 边 与 单 位 圆 交 于 点 sinα=y,cosα=x,tanα= 4.同角关系: (1)商的关系:① tanθ= ② cotθ=

y 1 x 1 (x≠0),cotα= (y≠0),secα= (x≠0),cscα= (y≠0). x x y y

cos ? =cosθ·cscθ; sin ? 1 =tanθ·cscθ; cos ? 1 =cotθ·secθ. sin ?

sin ? =sinθ·secθ; cos ?

③ sinθ=cosθ·tanθ; ④ secθ=

⑤ cosθ=sinθ·cotθ ; ⑥ cscθ=

(2)倒数关系:sinθ·cscθ=cosθ·secθ=tanθ·cotθ=1. (3)平方关系:sin2θ+cos2θ=sec2θ-tan2θ=csc2θ-cot2θ=1;cos2θ= (4)asinθ+bcosθ= a 2 ? b 2 5.诱导公式 sin cos tan cot -α -sinα +cosα -tanα -cotα π-α +sinα -cosα -tanα -cotα π+α -sinα -cosα +tanα +cotα 2π-α -sinα +cosα -tanα -cotα 2kπ+α +sinα +cosα +tanα +cotα 三角函数值等于 α 的同名三角函数值, 前面加上一个把 α 看作锐角时, 原三角函数值的符号, 即函数名不变,符号看象限. sin cos tan cot

1 1 ;sin2θ= . 2 1 ? tan ? 1 ? cot 2 ? b sin(θ+φ)〔其中辅助角 φ 与点(a,b)在同一象限,且 tanφ= 〕. a

? -α 2 ? +α 2 3? -α 2

+cosα +cosα -cosα

+sinα -sinα -sinα

+cotα -cotα +cotα

+tanα -tanα +tanα

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3? +α 2
-cosα +sinα -cotα -tanα

三角函数值等于 α 的异名三角函数值, 前面加上一个把 α 看作锐角时, 原三角函数值的 符号,即函数名改变,符号看象限. 6.五点作图法:令 ωx+φ 依次为 0,

? 3? ,π, ,2π,求出 x 与 y,依点(x,y)作图. 2 2

7.函数 y=Asin(ω·x+φ)+k 的图象及性质:(ω>0,A>0) 振幅 A,周期 T ?

2?

?

,频率 f ?

1 ,相位 ω·x+φ,初相 φ. T

8.向量加、减法运算的运算法则 (1)三角形法则

(2)平行四边形法则

9.平面向量的基本定理 如果 e1、 2 是同一平面内的两个不共线向量, e 那么对该平面的任一向量 a,有且仅有一对 实数 λ1、λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 10.两个向量共线的条件:a∥ ? a=λb. b 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥ ? x1y2-x2y1=0. b 11.两个非零向量垂直的条件:a⊥ ? a· b b=0. 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥ ? x1x2+y1y2=0. b 12.线段的分点的坐标公式

? ?x ? ? 设 P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2),且 P P ? ? PP ,则 ? 1 2 ?y ? ? ? x1 ? x 2 ? ?x ? 2 , ? 若 λ=1 时,则得到线段的中点坐标公式: ? ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 ?
13.和差角公式及其变形形式 (1)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ; (2)cos(α±β)=cosαcosβ ? sinαsinβ; (3)tan(α±β)=

x1 ? ?x 2 , 1? ? y1 ? ?y 2 . 1? ?

tan? ? tan ? ; 1 ? tan? ? tan ?

(4)tanα±tanβ=tan(α±β)(1 ? tanα·tanβ);

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(5)tan(α+β+γ)=

tan? ? tan ? ? tan? ? tan? ? tan ? ? tan? . 1 ? tan? ? tan ? ? tan? ? tan? ? tan ? ? tan?

其中当 A+B+C=π 时,有:① tanA+tanB+tanC=tanA· tanB· tanC; ②tan

A B A C B C tan ? tan tan ? tan tan ? 1 . 2 2 2 2 2 2 2 tan ? ; 1 ? tan 2 ?

14.二倍角公式及其变形形式 (1)sin2θ=2sinθcosθ=

(2)cos2θ=cos2θ-sin2θ=2cos2θ-1=1-2sin2θ;

2 tan ? ; 1 ? tan 2 ? 1 ? cos 2? (4)sin2θ= ; 2 1 ? cos 2? (5)cos2θ= . 2
(3)tan2θ= 15.三倍角公式: (1)sin3θ=3sinθ-4sin3θ; (2)cos3θ=-3cosθ+4cos3θ. 16.半角公式:(符号的选择由

? 所在的象限确定) 2

(1) sin

?
2
2

??
?

1 ? cos? ; 2

(2) sin

?
2

1 ? cos ? ; 2

(3) cos

?
2

??
?

1 ? cos? ; 2

1 ? cos ? ; 2 2 ? (5)1-cosθ=2sin2 ; 2 ? (6)1+cosθ=2cos2 ; 2
(4) cos
2

?

(7) 1 ? sin ? ?

(cos ? sin ) 2 ?| cos ? sin | ; 2 2 2 2

?

?

?

?

(8) tan

?
2

??

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? . ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?

17.积化和差公式: sinαcosβ=

1 [sin(α+β)+sin(α-β)]; 2

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1 [sin(α+β)-sin(α-β)]; 2 1 cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]; 2 1 sinαsinβ= ? [cos(α+β)-cos(α-β)]. 2
cosαsinβ= 18.和差化积公式: (1)sinα+sinβ= 2 sin

?? ? ?

2 2 ? ?? ? ?? sin (2)sinα-sinβ= 2 cos ; 2 2 ? ?? ? ?? cos (3)cosα+cosβ= 2 cos ; 2 2 ? ?? ? ?? sin (4)cosα-cosβ= ? 2 sin . 2 2
19.最简单的三角方程 方 程 sinx=a cosx=a tanx=a cotx=a |a|=1 |a|<1 |a|=1 |a|<1 方程的解集 {x|x=2kπ+arcsina,k∈Z} {x|x=kπ+(-1)karcsina,k∈Z} {x|x=2kπ+arccosa,k∈Z} {x|x=2kπ±arccosa,k∈ Z} {x|x=kπ+arctana,k∈Z} {x|x=kπ+arccota,k∈Z}

cos

? ??

;

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