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必修5 3.4基本不等式做课课件


人教 A 版必修 5

3.4 基本不等式 (第一课时)

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国际数学界四年一度的奥林匹 克盛会——国际数学家大会。

始于1897年,每次大会开幕式 上,由国际数学联合会领导人宣 布该届菲尔兹奖获奖者名单,颁 发金质奖章和奖金。

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数学届的诺贝尔奖──菲尔兹奖

奖章正面是阿基米德头像,并 用拉丁文写有:“超越人类 极限,做宇宙主人”的格言

奖章的背面用拉丁文写着 “全世界的数学家们:为知 识作出新的贡献而自豪”

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1982年,美 籍华人数学家丘 成桐教授荣获菲 尔茨奖,成为获 此荣誉的第一位 华人。

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2008年,1975年出生的澳洲华裔 数学家陶哲轩因为在调和分析方面的 研究成果而荣获本届菲尔茨奖。

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2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标

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会标根据 三国时期吴国 数学家赵爽用 于证明“勾股 定理”的弦图 设计。颜色的 明暗使它看上 去像一个风车, 代表中国人民 热情好客。

公式引读
问题1:会标中含有怎样 的几何图形?
问题2:你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系?

公式引读
D

正方形ABCD的面积 S1=a2+b2 四个直角三角形的面积和 S2=2ab
F E C

a ?b
2

2

b
G H

A

a

问题3:S1与S2有相等的 情况吗?
B

公式引读
重要不等式: 一般地,对于任意实数a、b,我们有

a ? b ? 2ab
2 2

当且仅当a=b时,等号成立。

公式引读
2 2 a ? b ≥2ab 问题4:借助不等式性质,给出不等式

的证明?
证明: a ? b ? 2ab ? (a ? b)
2 2

2

当a ? b时
当a ? b时

(a ? b) 2 ? 0
(a ? b) ? 0
2

作 差 法

所以(a ? b)2≥0
所以a2 ? b2≥2ab.

公式引读
重要不等式: 一般地,对于任意实数a、b,我们有

a 2 ? b 2≥2ab
当且仅当a=b时,等号成立。 适用范围:a,b∈R 取等号条件:当且仅当a=b时,等号成立。
文字叙述: 两数的平方和不小于它们积的2倍.

如果a ? 0, b ? 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论?

a ? b≥2 ab

a?b ≥ ab (a ? 0, b ? 0) 即: 2

公式引读
请用不等式的性质,证明这个不等式。

a?b ≥ ab (a ? 0, b ? 0) 2

公式构想
a?b ≥ ab 基本不等式: 2
适用范围: a>0,b>0 取等号条件: 当且仅当a=b时,等号成立。
我们把 a ? b 叫做正数a,b的算术平均数,

(a ? 0, b ? 0)

当且仅当a=b时取等号。

ab 叫做正数a,b的几何平均数;
文字叙述:两个正数的算术平均数不小于它们的几 何平均数。

2

公式构想
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? D 如图,点C是AB上一点, AC=a, BC=b, 以AB为直径作圆, O为圆 心,过点C作垂直于AB的弦DE,连 A B a C O b 接AD、BD、OD。 a?b ①如何用a, b表示OD? OD=______ E 2
②如何用a, b表示CD?

ab CD=______
≥ OD_____CD >

③OD与CD的大小关系怎样?

几何意义:半径不小于弦长的一半

公式活用
例1:(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最 短的篱笆是多少?
A

D

解:如图设BC=x ,CD=y , 若x、y皆为正数, 则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m.

y
B

x ? y则当xy的值是常数P时, ? x ? y≥2 100 ? 20, ? ≥ xy 2 当且仅当x=y时, ? 2( x ? y)≥40 x+y有最小值_______. 2 P 当且仅当 x=y=10时,等号成立

x

C

x ? y≥2 xy ? 2 P 因此,这个矩形的长、宽都为 10m时,所用的篱笆 最短,最短的篱笆是40m.

公式活用
例1:(2)如图,用一段长为36m的篱笆围成一个矩形 菜园,问这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜园的面 积最大,最大面积是多少? A D 解:如图,设BC=x ,CD=y ,
则 2( xx +、 y)= 36 , x + y =18 若 y皆为正数,
B

y

x

C

则当x+y的值是常数 矩形菜园的面积为 xy m2S时, 当且仅当 =y时, x ? y x18 ? xy ≤ ? ?1 9 2 得 xy ≤ 81 2 2 S ; xy有最大值 _______ 4 当且仅当x=y时,等号成立 即x=y=9 x? y S 1 2 因此,这个矩形的长、宽都为 xy ≤ ? ? xy≤ 9m S 时, 4 2 2 2 菜园面积最大,最大面积是 81m

总结提升
几何直观
数 形 结 合
基本不等式的 代数证明

重要不等式

基本不等式
基本不等式的 几何解释

基本不等式的 应用

作 业
1、课本P100习题3.4 A组 第1 、2 、3 题

2、课后作业:请同学们课后在网上 查找基本不等式的其它几何解释, 整理并相互交流。


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