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江苏省连云港市2013届高三第三次模拟数学试题


2013 年江苏省连云港市高三三模拟试题
数学Ⅰ
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答卷卡的相应位 .......
置上. .. 1. 已 知 R 是 实 数 集 , 集 合
? 3 ? M ? ? x | ? 1? , ? x ?
开始 n=1,s=0

N ? y

| y ? t ? 2 t ? 3, t ? 3 ,则 N ? CR M ?
i
2012

?

?


? 3 z2

.

n≤2013
?i
2013


n? 4

2. 已知 z1 ? 2 ? i, z2 ? 1 ? 2i , 则复数 z ? 于 ★ .

z1 ? 1

的模等


s ? s ? sin

输出 s

3.一个算法的程序框图如右,则其输出结果是
? ? ? ?


? ?

.
5? b) , 2

n=n+1

结束

4. 已知向量 a, b ,满足 | a |? 2,| b |? 1 ,且 (a ? b) ? (a ? 则 a与b 的夹角为
? ?

?



. ★ 条

5. a ? ?2 是直线 l1 : ax ? 2 y ? 0 与直线 l 2 : 2 x ? ay ? 3 ? 0 平行的 件. 6. 已知直线、 m 与平面 ? 、 ? , l ? ? , m ? ? ,则下列命题中正确的是 ①若 l // m ,则必有 ? // ? ;
? ??;



.

②若 l ? m ,则必有 ? ? ? ;

③若 l ? ? ,则必有

④若 ? ? ? ,则必有 m ? ? ;

⑤若 ? // ? ,则与 m 一定不相交. ★ .

7. 已知 x 是三角形的最小内角,则 sin x ? cos x 的取值范围是

8. 已知数列 ?a n ? 为等差数列, a1 ? 1, 公差 d ? 0 , a1 、 a 2 、 a 5 成等比,则 a 2013 的值为 ★ .

9.若 a ? 0, b ? 0 , 且点 (a, b) 在过点 (1,?1) ,(2,?3) 的直线上, s ? 2 ab ? (4a 2 ? b 2 ) 的 则 最大值是 ★ .

10. 已知点 ( x, y ) 是不等
?x ? 1 ? 式组 ? x ? y ? 4 表 ? ax ? by ? c ? 0 ?

示的平面区域内的一个
4y ? c a 的取值范围是 c b

动 点 , 且 目 标 函 数 z ? 2 x ? y 的 最大 值 为 7 , 最 小 值 为 1, 则
x?



.
x a
2 2 2
2 2

11. 已知点 F (?c,0)(c ? 0) 是双曲线

?

y b

2 2

过 ? 1 的左焦点, F 且平行于双曲线渐近线的

直线与圆 x ? y ? c 交于点 P ,且点 P 在抛物线 y ? 4cx 上,则该双曲线的离心率是
2

★ . 12. 已 知 实 数 p 、 q 、 r 满 足 r ? p ? q , r (r ? 1) ? p ? q 且
2

0 ? p ? 1 ? q ? 2 ,则实数 r 的取值范围是



.

13. 如图 4,线段 AB 长度为 2 ,点 A, B 分别在 x 非负半轴和 y 非负 半轴上滑动,以线段 AB 为一边,在第一象限内作矩形 ABCD ,
BC ? 1 , O 为坐标原点,则 OC ? OD 的取值范围是



.
x 1 2 f (x ) 且 当

14. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f (0) ? 0, f ( x ) ? f (1 ? x ) ? 1, f ( ) ?
3

0 ? x1 ? x2 ? 1 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f (

1 2013

) ? _____★

_.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请把答案填写在答卷卡的相应位置上.解答时应写 .........
出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (sin ? x, 2 cos ? x) , b ? (cos ? x, ?
?

?

2 3 3

cos ? x)

? ? ? ? (? ? 0) ,函数 f ( x ) ? a ( 3 b ? a ) ? 1 ,且函数 f ( x ) 的最小正周期为 。 2

(1)求 ? 的值; (2)设 ?ABC 的三边 a、b、c 满足: b 2 ? ac ,且边 b 所对的角为 x ,若方程 f ( x) ? k 有

两个不同的实数解,求实数 k 的取值范围。

16. (本小题满分 14 分) 16.如图 1 所示,在 Rt?ABC 中, AC ? 6 , BC ? 3 , ?ABC ? 90? , CD 为 ?ACB 的平 分线,点 E 在线段 AC 上, CE ? 4 .如图 2 所示,将 ?BCD 沿 CD 折起,使得平面 BCD ? 平面 ACD ,连结 AB ,设点 F 是 AB 的中点. (1)求证: DE ? 平面 BCD ; (2)若 EF // 平面 BDG ,其中 G 为直线 AC 与平面 BDG 的交点,求三棱锥 B ? DEG 的 体积.

17.(本小题满分 14 分) 如图一块长方形区域 ABCD , AD ? 2 , AB ? 1 ,在边 AD 的中点 O 处有一个可转动的探 ? 照灯,其照射角 ?EOF 始终为 ,设 ?AOE ? ? ,探照灯照射在长方形 ABCD 内部区域
4

的面积为 S (1)当 0 ? ? ? (2)当 0 ? ? ?
?
2

时,求 S 关于 ? 的函数关系式; 时,求 S 的最大值;
B

?
4

(3)若探照灯每 9 分钟旋转“一个来回”( OE 自 OA 转到 OC ,再回到 OA ,称“一个来 F C 回”,忽略 OE 在 OA 及 OC 处所用的时间),且转动的角速度大小一定。设 AB 边上有一 ? 点 G ,且 ?AOG ? ,求点 G 在“一个来回”中被照到的时间。
6

E

?
D O A

18(本小题满分 16 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的左顶点 A(?2,0) ,过右焦点 F 且垂直于长轴的弦长

为3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 A 的直线与椭圆交于点 Q ,与 y 轴交于点 R ,过原点与平行的直线与椭圆交于
AQ ? AR OP
2

点 P ,求证:

为定值.

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? (a ? )e 2 x ? x .( a ? R )
2 1

(1)若 f (x) 在区间 (??,0) 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)若在区间 (0,??) 上,函数 f (x) 的图象恒在曲线 y ? 2ae 下方,求 a 的取值范围.
x

20. (本小题满分 16 分) 对于实数 x ,将满足“ 0 ? y ? 1 且 x ? y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分,用记号
8 7 1 7

x 表示.例如 1.2 ? 0.2, ?1.2 ? 0.8,

?

.对于实数 a ,无穷数列 ?an ? 满足如下条

件:
? 1 ? ? ? an ? ?0 an ? 0, an ? 0,

a1 ? a

, an ?1

其中 n ? 1,2,3, . ?

(1)若 a ? (2)当 a ?
1 4

2 ,求数列 ?an ? 的通项公式;

时,对任意的 n ? N* ,都有 a n ? a ,求符合要求的实数
p q

a

构成的集合 A ;

(3)若 a 是有理数,设 a ?

( p 是整数, q 是正整数, p , q 互质),对于大于 q 的任

意正整数 n ,是否都有 a n ? 0 成立,证明你的结论.

数学 II(附加题)

21.【选做题】本题包括 A 、 B 、 C 、 D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域 ...... ......... 内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 ... 骤. B.(选修4-2:矩阵与变换)设 T 是矩阵 ? (1)设 b ? 0 ,当△ POA 的面积为
?a c ? ? 所对应的变换,已知 A(1, 0) 且 T ( A) ? P ?b 0 ?

3 , ?POA ?

?
3

,求 a, b 的值;
3 x ? y ? 0 ,求 c 的值.

(2)对于(1)中的 a, b 值,再设 T 把直线 4 x ?

y ? 0 变换成

1 ? ? x? t 2 ? C. 选修4-4: ( 坐标系与参数方程) 在直角坐标系 xoy 中, 直线的参数方程为 ? ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2 2

(为参数),若以直角坐标系 xoy 的 O 点为极点, ox 为极轴,且长度单位相同,建立 极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程为 ? (1)求直线的倾斜角; (2)若直线与曲线 C 交于 A, B 两点,求 AB .
? 2 cos(? ?

?
4

).

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分) 如 图 , 在 各 棱 长 均 为 2 的 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , 侧 面 A1 ACC1 ? 底 面 ABC ,
?A1 AC ? 60? .

(1)求侧棱 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值的大小; (2)已知点 D 满足 BD ? BA ? BC ,在直线 AA1 上是否存在点 P ,使 DP // 平面AB1C ? 若存在,请确定点 P 的位置;若不存在,请说明理由.

(第 22 题)

23. (本小题满分 10 分) 等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 4 .
? 1 ? (1)设数列 ?an ? 的公差 d ? 6 , m 为数列 ?an ? 的第 n 项的值,求证: ? x ? ? 的展开 ? ? x? ?
m

式中不含常数项; (2)设数列 ?an ? 的公差 d 为正整数, m 为数列 ?an ? 的第 n 项的值,求公差 d 的值的集合,
? 1 ? ? 的展开式中均不含常数项。 使得对于一切 m , ? x ? ? ? x? ?
m

2013 年江苏省连云港市高三三模拟试题答案
一、填空题
1.

? 2, 3? ; 2.

29 ; 3.

2 2

? 1 ; 4. 60°; 5.充分不必要; 6.③⑤; 7. 1,

?

2 ; 8.

?

4025 ; 9.
1 128

2 ?1 2

; 10. ? ? , ? ; 11. ? 3 3?

?

2 14 ?

1? 2

5

; 12. 1 ? r ?

17 ? 1 2

; 13. [1,3] ;

14.

.

二、解答题
15. 解:(1)? f ( x) ? a ? ( 3 b ? a ) ? 1
? (sin ? x, 2 cos ? x) ? (sin ? x ? 3 cos ? x, 0) ? 1 ? ? ?

?

3 2

sin? 2? x ?

1 2

cos 2? x ?

1 2

? sin(2? x ? ?T ? 2? 2? ?

?
6

)?

1 2

????????????? 5 分
?? ? 2
a ?c ?b
2 2 2

?
2

????????????? 7 分
2ac ? ac 2ac 1 2

(2)?在?ABC 中, cos x ?
?
3 ? f ( x ) ? sin(4 x ?

?

?

???????9 分

2ac
?0 ? x ?

?
?6

? 4x ? 1 2

?
6

?

7? 6

????????????? 11 分

?
6

)?

? k 有两个不同的实数解时

1 k 的取值范围是: ( ?1, ) 。 2

????????????? 14 分

17. (1)当 0 ? ? ?
?
4

?
4

时, E 在 AB 上, F 在 BC 上, S ? 1 ?

1 2

tan ? ?

1

?? ? tan ? ? ? ? 2 ?4 ?



?? ?

?
2

时, E 、 F 都在 BC 上, S ?

1

2 tan ?

[

1

?

1 ? 3? ? tan ? ?? ? ? 4 ?

] ??5 分

(2)当 0 ? ? ?
1 2 tan ? ?

?
4

时,

S ? 1?

1

1? 2 ?? ? ? tan ? ? ? ? ? 2 ? ?1 ? tan ? ? ? , tan ? ? ?0,1? 2 2? 1 ? tan ? ? ?4 ?

当 tan ? ?

2 ? 1 时, S max ? 2 ?

2 ??????????10 分
3? 4 ? 3? 2

(3)在“一个来回”中, OE 共转动了 2 ?
2?

,其中点 G 被照到时, OE 共转动了

?
6

?

?
3

点 G 被照到的时间为 t ? 9 ? (

?
3

?

3? 2

) ? 2 分钟????????14 分

18. 解:(1) a ? 2 ,设过右焦点 F 且垂直于长轴的弦为 MN ,将 M (c, y M ) 代入椭圆方
c a
2 2



?

yM b
2

2

解得 y m ? ? ? 1,

b

2

, 故

2b a

2

可得 b ? 3 . ? 3,
2

????

a

4分 所以,椭圆方程为 6分 (2)由题意知,直线 AQ, OP 斜率存在,故设为 k ,则直线 AQ 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 直 线
OP
2

x

2

?

y

2

? 1.

????

4

3

的 .







y ? kx







R (0,2k )





AR ? 2 1 ? k

????8 分

? y ? k ( x ? 2) ? 2 设 A( x1 , y1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) ,联立方程组 ? x 2 , y ? ?1 ? 3 ? 4

消 去

y

得 : (4k ? 3) x ? 16k x ? 16k ? 12 ? 0
2 2 2 2



x1 ? x 2 ? ?

16k
2

2

4k ? 3



x1 x 2 ?

16k ? 12
2

4k ? 3
2



则 AQ ? 1 ? k x1 ? x 2 ? 1 ? k
2

2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

12 1 ? k
2

2

4k ? 3



????

11 分
? y ? kx ? 2 设 y ? kx 与椭圆交另一点为 M ( x3 , y 3 ) , P ( x 4 , y 4 ) ,联立方程组 ? x 2 , y ? ?1 ? 3 ? 4

2 2 消去 y 得 (4k ? 3) x ? 12 ? 0 , x 4 ?

12 4k ? 3
2



所以 OP ? 1 ? k x 4 ? 1 ? k
2

2

12 4k ? 3
2



????14


AQ ? AR OP
2

2 1? k ? ( 1? k
2

2

12 1 ? k
2

2



4k ? 3 12 4k ? 3
2

? 2.
2

)

所以

AQ ? AR OP
2

等于定值 2 .

????16

分 19. 解:(1) f (x) 在区间 (??,0) 上单调递增, 则 立. 即 1 ? 2a ?
1 e
2x

2x f ?( x ) ? ( 2a ? 1)e ? 1 ? 0


1 e
2x





(??,0)







????3 分 ,而当 x ? (??,0) 时,
? 1 ,故 1 ? 2a ? 1 .

????

5分 所以 a ? 0 . 分 (2)令 g ( x) ? f ( x) ? 2ae x ? (a ? )e 2 x ? 2ae x ? x ,定义域为 R .
2 1

????6

在区间 (0,??) 上, 函数 f (x) 的图象恒在曲线 y ? 2ae 下方等价于 g ( x) ? 0 在区间 (0,??)
x

上恒成立.
1 2

∵ ????10 分
1 2a ? 1

2x x x x g ?( x ) ? ( 2a ? 1)e ? 2ae ? 1 ? (e ? 1)[(2a ? 1)e ? 1]

① 若a ?

,令 g ?( x) ? 0 ,得极值点 x1 ? 0 , x 2 ? ln
1 2



当 x 2 ? x1 ? 0 ,即

? a ? 1 时,在( x 2 ,+∞)上有 g ?( x ) ? 0 ,此时 g (x ) 在区间 ( x 2 ,??)

上是增函数,并且在该区间上有 g ( x) ? ( g ( x 2 ),??) ,不合题意; 当 x 2 ? x1 ? 0 ,即 a ? 1 时,同理可知, g (x) 在区间 (0,??) 上,有 g ( x) ? ( g (0),??) , 也不合题意; 分 ② 若a ?
1 2
(0,??) 上 是 减 函 数 ; 要 使 g ( x ) ? 0 在 此 区 间 上 恒 成 立 , 只 须 满 足

????12

,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间 (0,??) 上恒有 g ?( x) ? 0 ,从而 g (x) 在区间

g (0) ? ? a ?

1 2

?0?a??

1 2

, 得
a


[?


1 1 , ]. 2 2





范 ????14 分





综合①②可知,当 a ? [?

1 1 x , ] 时,函数 f (x ) 的图象恒在直线 y ? 2ae 下方. 2 2

????

16 分 20. 解:(1) a1 ?
2 ? 2 ? 1 , a2 ?
1 a1 ? 1 2 ?1 ? 2 ?1 ? 2 ?1

……….2 分

若 ak ? 所以 an ?

2 ? 1 ,则 ak ?1 ? ?

? 1 ? ? ? ? 2 ? 1? ? ? ak ? ? ?

2 ?1

2 ?1
1 4 1 4
1 a1 1 a 1 a

……………………………………4 分
1 a

(2)? a1 ? a ? a , a ?

所以

? a ? 1 ,从而 1 ?

?4

①当

1 2

? a ? 1 ,即 1 ?

1 a

? 2 时, a2 ?

?

?

?1 ? a

所以 a ? a ? 1 ? 0
2

解得: a ?

?1 ? 2

5

, (a ?

?1 ? 2

5

?1 ? ? ? ,1? ,舍去) ?2 ?

……………….6 分

②当

1 3

?a?

1 2

,即 2 ?

1 a

? 3 时, a2 ?

1 a1

?

1 a

?

1 a

?2? a ,

所以 a ? 2a ? 1 ? 0
2

解得 a ?

?2 ? 2

8

?

?1 1? 2 ? 1, ( a ? ? 2 ? 1? ? , ? ,舍去) ? 3 2?
1 a

………………8 分

① 当

1 4

?a?

1 3

时,即 3 ?

?4

时, a2 ?

1 a1

?

1 a

?

1 a

?3? a

解得 a ?

?3 ? 13 2

(a ?
?1 ? 2

?3 ? 13 2
5 , a?

? 1 1? ?? , ? ? 4 3?

,舍去)

综上,集合 A ? ? a? (3)结论成立.
pn qn

2 ?a , 1?

?3 ? 2

13

?.

………………10 分

由 a 是有理数,可知对一切正整数 n , an 为 0 或正有理数,

可设 a n ?

( p n 是非负整数, q n 是正整数,且 pn , qn 互质)

由 a1 ?

p q

?

p1 q1

,可得 0 ? p1 ? q ;

…………………………………12 分

若 p n ? 0 ,设 qn ? ? pn ? ? ( 0 ? ? ? p n , ? , ? 是非负整数)
qn pn ?? ?



?
pn

,而由 a n ?

pn qn



1 an

?

qn pn

, an ?1 ?

1 an

?

qn pn

?

?
pn

,故 p n ?1 ? ? ,

q n ?1 ? p n ,可得 0 ? p n ?1 ? p n ,若 p n ? 0 则 p n ?1 ? 0 ,

若 a1 ,a 2 , a3 ,? ? ?, a q 均不为 0,则这 q 正整数 pn (n ? 1, 2, 3,? , q ) 互不相同且都小于 q , 但小于 q 的正整数共有 q ? 1 个,矛盾. 故 a1 ,a 2 , a3 ,? ? ?, a q 中至少有一个为 0,即存在 m (1 ? m ? q ) ,使得 a m ? 0 . 从而数列 ?a n ? 中 a m 以及它之后的项均为 0, 所以对于大于 q 的自然数 n ,都有 a n ? 0 ……………………………………………16 分

附加题答案
21.B.略解:(1) a ? 2, b ? 2 3 (2) c ? 0 . ? C.(1) . ????5 分
3

????5 分

????10 分

(2) AB ?

10 2

. ????10 分

22. 解:(1)∵侧面 A1 ACC1 ? 底面 ABC ,作 A1O ? AC 于点 O ,∴ A1O ? 平面 ABC . 又 ?ABC ? ?A1 AC ? 60? ,且各棱长都相等,∴ AO ? 1 ,OA1 ? OB ? 故以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz ,则
A(0,?1,0) , B ( 3 ,0,0) , A1 (0,0, 3 ) , C (0,1,0) ,

3 ,BO ? AC .

z

∴ AA1 ? (0,1, 3 ) , AB1 ? ( 3 ,2, 3 ) , AC ? (0,2,0) . 设平面 AB1C 的法向量为 n ? ( x, y,1) , 则?
?n ? AB ? ? 1 3x ? 2 y ? 3
?

O

y

解得 n ? (?1,0,1) .

?

x

?n ? AC ? 2 y ? 0 ?

? AA1 ? n 3 6 ? 由 cos ? AA1 , n ? . ? ? ? 4 2 2 AA1 ? n

而侧棱 AA1 与平面 AB1C 所成角,即是向量 AA1 与平面 AB1C 的法向量所成锐角的余角, ∴ 侧 棱
6 4

AA1

与 平 面

AB1C

所 成 角 的 正 弦 值 的 大 小 为


??? ?

????5 分

(2)∵ BD ? BA ? BC ,而 BA ? ? 3, ?1, 0 , BC ? ? 3,1, 0 . 又∵ B ( 3 ,0,0) ,∴点 D 的坐标为 D (? 3 ,0,0) .

?

?

??? ?

?

?

∴ BD ? (?2 3, 0, 0)

??? ?

假设存在点 P 符合题意,则点 P 的坐标可设为 P (0, y, z ) ,∴ DP ? ( 3 , y, z ) . ∵ DP // 平面AB1C , n ? (?1,0,1) 为平面 AB1C 的法向量, ∴由 AP ? ? AA1 ,得 ?
??? ? ????
?y ?1 ? ? ? 3?? 3 ,? y ? 0 .
?

又 DP ? 平面 AB1C ,故存在点 P ,使 DP // 平面AB1C ,其坐标为 (0,0, 3 ) ,即恰好为
A1 点.

???? 10 分
m? r ? 1 ? r m?r ? 1 ? r 23. 解:(1) m ? a n ? 6n ? 2 , ? x ? ? 展开式 Tr ?1 ? C m x ? ? ? C m x 2 ,则 ? ? ? ? x? ? ? x? m r 3

m?

3 2

r ? 0 ,即 6n ? 2 ?
m

3 2

r , r ? 4n ?

4 3

?N ,

? 1 ? 所以 ? x ? ? 的展开式中不含常数项.????????????4 分 ? ? x? ?
m? r ? 1 ? r m?r ? 1 ? r ? 展开式 Tr ?1 ? C m x ? ? ? Cm x 2 (2) m ? a n ? 4 ? ?n ? 1?d , ? x ? ? ? ? ? x? ? ? x? m r 3

则m?

3 2

r ? 0 ,即 4 ? ?n ? 1?d ?
*

3 2

r ,r ? 8 3 3 ?N

2 3

d ?n ? 1? ?

8 3

① 若 d ? 3k ?k ? N

? , r ? 2k ?n ? 1? ?

② 若 d ? 3k ? 1?k ? N

?, r ? 2k ?n ? 1? ? 2 n ? 2 ,易知 n ? 3,6,9,? 时, r 为自然

数 ③ 若 d ? 3k ? 2?k ? N 然数 综上,公差 d 的值的集合为 ? d ? 3k , k ? N * ???????????10 分 d

? , r ? 2k ?n ? 1? ? 4 ?n ? 1? ,易知 n ? 2,5,8,? 时, r 为自
3


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