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2001 AIME I中文版


2001 年美国数学邀请赛(1)

1. 一个两位正整数能被它的各个数码整除,求所有这样的两位数的 和. 2. 由不同的实数形成的有限集合 S 有以下性质:S?{1}中的数的平均 数比 S 中的数的平均数少 13,S?{2001}中的数的平均数比 S 中的 数的平均数多 27,求 S 中的数的平均数. 3. 已知 x2001+( -x)2001=0 没有重根,求它的所有实数根和非实数根的 和. 4. 在?ABC 中,?A=60?,?B=45?,?A 的平分线与 BC 相交于 T,AT=24, ?ABC 的面积可以写成 a+b c 的形式,这里 a,b,c 是正整数,c 不能被 任何质数的平方整除,求 a+b+c. 5. 一个等边三角形内接于一个方程为 x2+4y2=4 的椭圆,其中的一个 顶点是(0,1),一条高在 y 轴上,边长是 数,求 m+n. 6. 将一枚均匀的骰子投掷四次,对于后面三次投掷中的每一次,所得 的数都不小于先前一次投掷所得的数的概率可以表示成 这里 m 和 n 是互质的正整数,求 m+n. 7. 在?ABC 中, AB=21,AC=22,BC=20,点 D 和点 E 分别在 AB 和 AC 上,DE 与 BC 平行并过此三角形内接圆的圆心,DE= 是互质的正整数,求 m+n. 8. 如果将 7 进制表示的正整数 N 视作一个十进制数,该数如果是 N
m ,这里 m 与 n n m 的形式, n

1 2

m ,这里 m 和 n 是互质的正整 n

的两倍,就称 N 是一个“7-10 倍数”.例如:51 是一个“7-10 倍数”, 因为它的 7 进制表示是 102.求最大的“7-10 倍数”. 9. 在?ABC 中,AB=13, BC=15,CA=17. 点 D 在 AB 上,点 E 在 BC 上, 点 F 在 CA 上.令 AD=p?AB, BE=q?BC,CF=r?CA,这里 p,q,r 是正数, 并满足 p+q+r= ,p2+q2+r2= ,?DEF 的面积与?ABC 的面积之比是
m ,这里 m 与 n 是互质的正整数,求 m+n. n 2 3 2 5

10. 集合 S 是由空间中坐标都是整数,且满足 0?x?2,0?y?3,0?z?4 的点 形成的,以 S 中的两个不同的点为端点的线段的中点属于 S 的概率 为
m ,这里 m 与 n 是互质的正整数,求 m+n. n

11. 一个矩形的点阵有 5 行 N 列.从最上面一行开始,将其中的点从左 到右连续地编号,这样,最上面一行的数是 1 到 N,第二行的数是 N+1 到 2N,等等.从中选出 5 个点 P1,P2,P3,P4 和 P5,点 Pi 在第 i 行,令 xi 是 Pi 的编号;再将该点阵从第一列开始从上到下重新编号,令 yi 是重新编号后 Pi 相应的编号.若 x1=y2,x2=y1,x3=y4,x4=y5,x5=y3,求 N 可能取得的最小值. 12. 一个球内接于顶点是 A=(6,0,0),B(0,4,0),C(0,0,2),D=(0,0,0)的四面 体,球的半径是
m ,这里 m 与 n 是互质的正整数,求 m+n. n

13. 在一个给定的圆中,d 度的弧所对应弦长是 20 厘米,2d 度的弧所对 应弦长比 3d 度的弧所对应弦长多 20 厘米,3d 度的弧所对应弦长是 -m+ n 厘米,这里 m 和 n 是正整数,求 m+n. 14. 一位信使给埃尔姆大街东侧的 19 幢房子投送信件.他发现,从没有 相邻两幢房子在同一天都收到邮件,但是,在连续的,多于 2 幢的房

子中,从没有同一天都没有收到邮件,问:有多少种可能的不同的信 件投送方式? 15. 将 1,2,3,4,5,6,7,8 这八个数写到一个正八面体的面上,每个面上写 一个数,没有两个相邻面上的数相邻的(这里 1 和 8 作为相邻的数) 概率是
m ,这里 m 和 n 是互质的正整数,求 m+n. n

答案:

630 079 149

651 923 005

500 315 174

291 061 351

937 200 085


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