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2015-2016学年高中数学 3.1.1数系的扩充和复数的概念课件 新人教A版选修1-2


3.1

1 理解教 材新知
2 突破常 考题型

知识点一
知识点二

3.1.1

第 三 章

题型一
题型二

数系 的扩 充和 复数 的概 念

3 跨越高 分障碍
4 应用落 实体验 随堂即时演练 课时达标检测

复数的概念及代数表示 [提出问题]
问题 1:方程 x2+1=0 在实数范围内有解吗?
提示:没有.

问题 2:若有一个新数 i 满足 i2=-1,试想方程 x2+1 =0 有解吗.
提示:有解(x=± i),但不在实数范围内.

[导入新知] 1.复数的定义 形如 a+bi(a, b∈R)的数叫做复数, 其中 i 叫做 虚数单位 , 满足 i2= -1 .全体复数所成的集合 C 叫做 复数集 . 2.复数的表示 复数通常用字母 z 表示,即 z=a+bi(a,b∈R),这一表 示形式叫做复数的 代数形式 , a 与 b 分别叫做复数 z 的 实部 与

虚部 . ______

3.复数相等的充要条件 在复数集 C={a+bi|a,b∈R}中任取两个复数 a+bi,c +di(a,b,c,d∈R),规定 a+bi 与 c+di 相等的充要条件 是 a=c 且 b=d .

[化解疑难] 对复数概念的理解 (1)对复数 z=a+bi 只有在 a,b∈R 时,a 和 b 才分别是 复数的实部和虚部,并注意:虚部是实数 b 而非 bi. (2)当两个复数不全是实数时,不能比较大小,只可判定 相等或不相等,但两个复数都是实数时,可以比较大小. (3)利用复数相等,可以把复数问题转化成实数问题进行 解决,并且一个复数等式可得到两个实数等式,为应用方程 思想提供了条件.

复数的分类

[提出问题] 问题 1:复数 z=a+bi 在什么情况下表示实数?
提示:b=0.

问题 2:如何用集合关系表示实数集 R 和复数集 C?
提示:R? C

[导入新知] 复数的分类 (1)复数
? 实数 ?b=0?, ?_____ a+bi(a, b∈R)? ? ? 虚数 ?b≠0??当a=0时为纯虚数?

(2)集合表示:

[化解疑难] 1.0 的特殊性 0 是实数,因此也是复数,写成 a+bi(a,b∈R)的形式 为 0+0i,即其实部和虚部都是 0. 2.a=0 是复数 z=a+bi 为纯虚数的充分条件吗 因为当 a=0 且 b≠0 时,z=a+bi 才是纯虚数,所以 a =0 是复数 z=a+bi 为纯虚数的必要不充分条件.

复数相等的充要条件

[例 1]

(1)若 5-12i=xi+y(x,y∈R),则 x=________,

y=________. (2)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x,y∈R,i 为虚数 单位.求实数 x,y 的值.
[解析]
[答案]

(1)由复数相等的充要条件可知 x=-12,y=5.
-12 5

(2)[解] 根据复数相等的充要条件, 由(2x-1)+i=y-(3-y)i,
? ?2x-1=y, 得? ? ?1=-?3-y?,

5 ? ?x= , 解得? 2 ? ?y=4.

5 即 x= ,y=4. 2

[类题通法] 解决复数相等问题的步骤 (1)等号两侧都写成复数的代数形式; (2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组); (3)解方程(组).

[活学活用] 已知 x2+y2-6+(x-y-2)i=0 求实数 x,y 的值.
2 2 ? ?x +y -6=0,① 解:由复数相等的条件得方程组? ? ?x-y-2=0.②

由②得 x=y+2,代入①得 y2+2y-1=0.解得 y1=-1+ 2,y2=-1- 2.所以 x1=y1+2=1+ 2, x2=y2+2=1- 2.
? ?x=1+ 2, 即? ? ?y=-1+ 2 ? ?x=1- 2, 或? ? ?y=-1- 2.

复数的分类

[例 2]

m?m+2? 已知 m∈R,复数 z= +(m2+2m-3)i, m- 1

当 m 为何值时, (1)z 为实数?
[解]

(2)z 为虚数?

(3)z 为纯虚数?

(1)要使 z 为实数,需满足 m2+2m-3=0,且

m?m+2? 有意义即 m-1≠0,解得 m=-3. m- 1

m?m+2? (2)要使 z 为虚数, 需满足 m +2m-3≠0, 且 有 m- 1
2

意义即 m-1≠0,解得 m≠1 且 m≠-3. m?m+2? (3)要使 z 为纯虚数,需满足 =0,且 m2+2m m- 1 -3≠0,解得 m=0 或 m=-2.

[类题通法] 利用复数的分类求参数的方法及注意事项 利用复数的分类求参数时,要先确定构成实部、虚部 的式子有意义的条件,再结合实部与虚部的取值求解.要 特别注意复数 z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是 a =0 且 b≠0.

[活学活用] 设复数 z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i, 当 m 为何值时, (1)z 是实数? (2)z 是纯虚数?
2 ? ?m -2m-2>0, 为实数,需满足? 2 ? ?m +3m+2=0,

解:(1)要使复数 z



得 m=-2 或-1.即当 m=-2 或-1 时,z 是实数. (2)要使复数 z
2 ? ?m -2m-2=1, 为纯虚数,需满足? 2 ? ?m +3m+2≠0,

解得

m=3.即当 m=3 时,z 是纯虚数.

3.对纯虚数的概念把握不准

[典例]

(上海高考)设 m∈R, m2+m-2+(m2-1)i 是纯虚

数,其中 i 是虚数单位,则 m=________.
[解析] 复数 m2+m-2+(m2-1)i 是纯虚数的充要条件是
? ?m=1或m=-2, 解得? ? 1, ? m≠ ±

2 ? ?m +m-2=0, ? 2 ? ?m -1≠0,

即 m=-2.

故 m=-2 时,m2+m-2+(m2-1)i 是纯虚数.
[答案] -2

[易错防范] 1. 若忽视“纯虚数的虚部不为 0”这一条件, 易得出 m =1 或-2 的错误结论. 2 .复数 z = a + bi(a , b ∈ R) 是纯虚数的充要条件为
? ?a=0, ? ? ?b≠0,

二者缺一不可.

[成功破障] 若 z=(x2-1)2+(x-1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为( A.-1 C.1 B. 0 D.-1 或 1 )

解析:因为 z 为纯虚数,所以(x2-1)2=0,又 x-1≠0, 所以 x=-1.
答案 :A

[随堂即时演练]

2 1.在 2+ 7, i,0,8+5i,(1- 3)i,0.618 这几个数中,纯虚 7 数的个数为 A.0 C.2 B. 1 D.3 ( )

2 解析: i,(1- 3)i 是纯虚数,2+ 7,0,0.618 是实数, 7 8+5i 是虚数.
答案:C

2.以- 5+2i 的虚部为实部,以 5i+2i2 的实部为虚部的 复数是 A.2-2i C.- 5+ 5i B.2+2i D. 5+ 5i ( )

解析:- 5+2i 的虚部为 2, 5i+2i2=-2+ 5i,其 实部为-2,故所求复数为 2-2i.
答案 :A

3.下列命题: ①若 a∈R,则(a+1)i 是纯虚数; ②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是纯虚数,则 x=± 1; ③两个虚数不能比较大小. 其中正确命题的序号是________.
解析:当 a=-1 时,(a+1)i=0,故①错误;两个虚数不 能比较大小,故③对;若(x2-1)+(x2+3x+2)i 是纯虚数,
2 ? ?x -1=0, 则? 2 ? ?x +3x+2≠0,

即 x=1,故②错.

答案:③

4.已知(3x+y)+(2x-y)i=(7x-5y)+3i,则实数 x= ________,y=________.
解析:∵x,y 是实数, ∴根据两个复数相等的充要条件, ? 9 ? ?x=4, ?3x+y=7x-5y, 可得? 解得? ? ?2x-y=3, ?y=3. ? 2

9 3 答案: 4 2

a2-7a+6 2 5.已知复数 z= + ( a -5a-6)i(a∈R),试求实数 a a2-1 分别取什么值时,z 分别为: (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

解:(1)当 z 为实数时,
2 ? ?a -5a-6=0, 则? 2 ? ?a -1≠0,

? ?a=-1或a=6, ∴? ? 1. ?a≠±

∴当 a=6 时,z 为实数.

(2)当 z

2 ? ?a -5a-6≠0, 为虚数时,则有? 2 ? ?a -1≠0.

? ?a≠-1且a≠6, ∴? ? 1, ?a≠±

即 a≠ ± 1 且 a≠6.

∴当 a≠± 1 且 a≠6 时,z 为虚数. (3)当 z 为纯虚数时, ?a2-5a-6≠0, ? 2 则有?a -7a+6 =0. 2 ? ? a -1
? ?a≠-1且a≠6, ∴? ? 1. ?a=6且a≠±

∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数.


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