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2012届高三数学 专题二 分段函数复习课件


专题二

分段函数

专题二 分段函数
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专题二 │ 主干知识整合
主干知识整合
1.分段函数 . 分段函数定义: 的不同的取值范围, (1)分段函数定义:对于自变量 x 的不同的取值范围,有着不同的对应 分段函数定义 法则,这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数. 法则,这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数. (2)定义域:各段函数定义域的并集. 定义域: 定义域 各段函数定义域的并集. (3)值域:各段函数值域的并集. 值域: 值域 各段函数值域的并集. 2.分段函数的常见问题 . (1)分段函数的图象.(2)分段函数的函数值. 分段函数的图象. 分段函数的函数值 分段函数的函数值. 分段函数的图象 分段函数的单调性: (3)分段函数的单调性:分别判断出各段函数在其定义区间的单调性即 分段函数的单调性 可. (4)分段函数的奇偶性:先看定义域是否关于原点对称,不对称就不是 分段函数的奇偶性: 分段函数的奇偶性 先看定义域是否关于原点对称, 函数, ,-x< , 奇(偶)函数,再由 x>0,- <0,分别代入各段函数式计算 f(x)与 f(-x) 偶 函数 > ,- 与 - 的值, =-f(- , 是奇函数; 的值,若有 f(x)=- -x),当 x=0 有定义时 f(0)=0,则 f(x)是奇函数; =- = = , 是奇函数 是偶函数. 若有 f(x)=f(-x),则 f(x)是偶函数. = - , 是偶函数

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要点热点探究 ? 探究点一 分段函数的单调性
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分段函数的单调性,首先应该判断各段函数的单调性, 分段函数的单调性,首先应该判断各段函数的单调性, 若每一段函数单调性一致,再判断分界点处函数值的关系, 若每一段函数单调性一致,再判断分界点处函数值的关系, 符合单调性定义, 则该函数在整个定义域上单调递增或递减, 符合单调性定义, 则该函数在整个定义域上单调递增或递减, 不符合,则必须分开说明单调性. 不符合,则必须分开说明单调性.

例1

x ) ?a (x>1), ? 上的单调递 若 f(x)=?? a? = 是 R 上的单调递 . - + ( ≤ ) ??4-2?x+2(x≤1) ?? ?

的取值范围为________. 增函数,则实数 a 的取值范围为 函数, . .

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【解析】 因为 f(x)是定义在 R 上的增函数,故 y= 解析】 是定义在 上的增函数, = ? a? a x ?4- ?x+2 均为增函数, a 和 y= -2 + 均为增函数, = 所以 a>1 且 4-2>0, 1<a<8. - , 即 ? ? 又画出该分段函数图象, 又画出该分段函数图象, [4,8) 由图象可得,该函数还必须满足: 由图象可得,该函数还必须满足: ? a? 1 - a ≥?4-2?×1+2,即 a≥4. + , ≥ ? ? 综上, 综上,a 的取值范围为 4≤a<8. ≤

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【点评】 在处理分段函数的单调性时,易错在当每一段 点评】 在处理分段函数的单调性时, 函数为单调递增时,误以为整个函数也是单调递增, 函数为单调递增时,误以为整个函数也是单调递增,还需要 看分界点处的函数值的关系,如本题所给图象. 看分界点处的函数值的关系,如本题所给图象.

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? 探究点二

分段函数的值域

由于分段函数的值域为每一段函数值域的并集, 由于分段函数的值域为每一段函数值域的并集,所以分段 函数的值域一般需要进行比较各段最值之间的大小关系后, 函数的值域一般需要进行比较各段最值之间的大小关系后,才 能明确. 能明确.
例 2 已知函数 f(x)=x2+a|lnx-1|(a>0). = - . (1)当 a=1 时,求函数 f(x)在区间 ,e]上的最大值; 当 = 在区间[1, 上的最大值; 在区间 上的最大值 (2)当 x∈[1,+∞)时,求 f(x)的最小值. ,+∞ 的最小值. 当 ∈ ,+ 时 的最小值

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【解答】 (1)当 a=1,x∈[1,e]时,f(x)=x2-lnx+1, 解答】 当 = , ∈ , 时 = + , 1 f′(x)=2x-x≥f′(1)=1, ′ = - ′ = , 上单调递增, 所以 f(x)在[1,e]上单调递增,所以 f(x)max=f(e)=e2. 在 , 上单调递增 = a (2)①当 x≥e 时,f(x)=x2+alnx-a,f′(x)=2x+x, ① ≥ = - ,′ = + 恒成立, ∵a>0,∴f′(x)>0 恒成立, , ′ ,+∞ 上为增函数, ∴f(x)在[e,+∞]上为增函数,故当 x=e 时,ymin=f(e)=e2. 在 ,+ 上为增函数 = = a 2? a?? 2 ?x+ ??x- f(x)= f′ = - ②当 1≤x<e 时, =x -alnx+a,′(x)=2x-x=x + ≤ + , 2?? - ? a (i)当 上为正数, 当 2≤1,即 0<a≤2 时,f′(x)在(1,e)上为正数, , ≤ ′ 在 , 上为正数 在区间[1, 上为增函数 上为增函数, 所以 f(x)在区间 ,e)上为增函数, 在区间 + , = 故当 x=1 时,ymin=1+a,且此时 f(1)<f(e)=e2; =

a? ?. 2?

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(ii)当 1< 当 上大于 0, , 所以
? f(x)在区间?1, 在区间 , ? ? a? a ? ?上为减函数,在? 上为减函数, 上为增函数, ,e?上为增函数, 2? 2 ? ? ? a 3a a a a? ?<f(e)=e2; 时,ymin= 2 -2ln2,且此时 f? = 2 2? ? ? a 2 <e, 2<a<2e 时,′(x)在?1, f′ 在 , 即 2 , ? ? a ? a? ?上小于 0, ? ,e? , 在 2? ? 2 ?

故当 x= =

a (iii)当 上为负数, 当 2≥e,即 a≥2e2 时,f′(x)在(1,e)上为负数, , ≥ ′ 在 , 上为负数 上为减函数, 所以 f(x)在(1,e)上为减函数,故当 x=e 时,ymin=f(e)=e2. 在 , 上为减函数 = = + , ≤ , ?1+a,0<a≤2, ?3a a a 综上所述, 综上所述,函数 y=f(x)的最小值 ymin=? 2 -2ln2,2<a<2e2, = 的最小值 ? 2 ≥ ?e ,a≥2e2.

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点评】 一般地, 【点评】 一般地,含有绝对值符号的函数也是一种分 段函数, 段函数,如本题所给函数 f(x)=x2+a|lnx-1|,所以在研究其 = - , 值域时,首先要通过分类讨论去掉其绝对值, 值域时,首先要通过分类讨论去掉其绝对值,再讨论每一段 函数的单调性,最后再比较各段函数的最小值, 函数的单调性,最后再比较各段函数的最小值,从而求得函 数的最小值. 数的最小值.

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? 探究点三 实际问题中的分段函数模型
在函数的实际应用问题中经常出现分段函数的模型, 在将 在函数的实际应用问题中经常出现分段函数的模型, 题干中的文字语言转化为函数模型时, 要注意不同情况下, 题干中的文字语言转化为函数模型时, 要注意不同情况下, 所 对应的不同函数模型. 对应的不同函数模型.

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某地发生特大地震和海啸,使当地的自来水受到了污染, 例 3 某地发生特大地震和海啸,使当地的自来水受到了污染, 某部门对水质检测后,决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每 某部门对水质检测后,决定往水中投放一种药剂来净化水质. 的药剂后, 毫克/ 投放质量为 m 的药剂后,经过 x 天该药剂在水中释放的浓度 y(毫克 毫克 ?x+2(0<x≤4), ≤ ) ?4 ( 升)满足 y=mf(x),其中 f(x)=? 满足 = , = 当药剂在水中释放 6 ? (x>4), ) - ?x-2 毫克/升 时称为有效净化 时称为有效净化; 的浓度不低于 4(毫克 升)时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度 毫克 毫克/升 且不高于 毫克/升 时称为最佳净化 时称为最佳净化. 不低于 4(毫克 升)且不高于 10(毫克 升)时称为最佳净化. 毫克 毫克 (1)如果投放的药剂质量为 m=4,试问自来水达到有效净化一共 如果投放的药剂质量为 = , 可持续几天? 可持续几天? (2)如果投放的药剂质量为 m,为了使在 7 天(从投放药剂算起包 如果投放的药剂质量为 , 从投放药剂算起包 之内的自来水达到最佳净化, 括 7 天)之内的自来水达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量 m 之内的自来水达到最佳净化 的值. 的值.

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【解答】 解答】 + ( ≤ ) ?x+8(0<x≤4), (1)因为 m=4,所以 y=? 24 因为 = , = ) - ?x-2(x>4).

当 0<x≤4 时,x+8≥4,显然符合题意; ≤ + ≥ ,显然符合题意; 24 综上, 当 x>4 时, ≥4?4<x≤8.综上,0<x≤8. ? ≤ 综上 ≤ x-2 - 所以自来水达到有效净化一共可持续 8 天.

?mx+2m(0<x≤4), ( ≤ ) ?4 (2)由 y=m·f(x)=? 由 = = 6m ) ?x-2(x>4) ?-

知在区间(0,4]上单调递增, 上单调递增, 知在区间 上单调递增

6m 6m 上单调递减, 即 2m<y≤3m,在区间 ≤ ,在区间(4,7]上单调递减,即 5 ≤y<3m,所以 5 ≤y≤3m. 上单调递减 , ≤ 6m 10 为使 4≤y≤10 恒成立,只要 5 ≥4 且 3m≤10 即可,即 m= 3 . ≤ ≤ 恒成立, ≤ 即可, = 10 所以为了使在 7 天之内的自来水达到最佳净化,投放的药剂质量 m 应该为 . 天之内的自来水达到最佳净化, 3

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点评】 【点评】 本题的实际应用题所给函数模型为分段函数 模型,模型无需建立(变式题需要建立模型 本题的难点所 变式题需要建立模型), 模型,模型无需建立 变式题需要建立模型 ,本题的难点所 在是对“有效净化” 最佳净化”这两个词语的转化. 在是对“有效净化”和“最佳净化”这两个词语的转化.

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[2011·湖北卷 提高过江大桥的车辆通行能力可改善 湖北卷] 湖北卷 整个城市的交通状况.在一般情况下, 整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单 单 千米/小时 小时)是车流密度 单位 单位: 千米 的函数. 千米)的函数 位:千米 小时 是车流密度 x(单位:辆/千米 的函数.当桥上的 千米时, 车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0; 千米时 造成堵塞, ; 千米时, 千米/小时 研 小时. 当车流密度不超过 20 辆/千米时, 千米时 车流速度为 60 千米 小时. 究表明: 20≤x≤ 究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次 函数. 函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; 的表达式; 当 ≤ ≤ 的表达式 (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上 当车流密度 为多大时,车流量 单位时间内通过桥上 某观测点的车辆数,单位: 小时 小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大, 可以达到最大, 某观测点的车辆数,单位:辆/小时 = 可以达到最大 并求出最大值. 精确到 小时) 并求出最大值.(精确到 1 辆/小时 小时

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【解答】 (1)由题意: 当 0≤x≤20 时 ,v(x)=60;当 解答】 由题意: ≤ ≤ = ; 由题意 ?200a+b=0, + = , ? 20≤x≤200 时, v(x)=ax+b, ≤ ≤ 设 = + , 再由已知得? ?20a+b=60, + = , ? 1 ? =- ?a=-3, 解得? ?b=200. = 3 ? , ≤ , ?60,0≤x<20, ? 故函数 v(x)的表达式为 v(x)=?1 的表达式为 = - ) ≤ ≤ ?3(200-x),20≤x≤200. ?

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, ≤ , ?60x,0≤x<20, ? (2)依题意并由 可得 f(x)=?1 依题意并由(1)可得 依题意并由 = ( - ) ≤ ≤ ?3x(200-x),20≤x≤200. ? 为增函数, 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 ≤ ≤ 为增函数 = 60×20=1200; × = ; - )? 1 1?x+(200-x)?2 10000 ? + f(x)= 当 20≤x≤200 时, =3x(200-x)≤3? ≤ ≤ - ≤ ? = 3 . 2 ? ? 等号成立. 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. = - , = 10000 所以, 在区间[20,200]上取得最大值 所以,当 x=100 时,f(x)在区间 = 在区间 上取得最大值 3 . 10000 综上, 在区间[0,200]上取得最大值 综上 , 当 x= 100 时 , f(x)在区间 = 在区间 上取得最大值 3 ≈3333, , 千米时, 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大 千米时 车流量可以达到最大, 小时. 值约为 3333 辆/小时. 小时

专题二 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼 1.分段函数在概念上的理解易出问题,会以为它是几个 .分段函数在概念上的理解易出问题, 函数,要明确的是分段函数不论分几段,都是一个函数, 函数,要明确的是分段函数不论分几段,都是一个函数,只不 过是每一个部分有着不同的解析式和图象. 过是每一个部分有着不同的解析式和图象. 2.分段函数的函数值和相关不等式是高考的常考点,难 .分段函数的函数值和相关不等式是高考的常考点, 度不大, 年所考查的题. 度不大, 2010 和 2011 年所考查的题. 如 分段函数的单调性和 值域以及实际问题中分段函数的模型是高考考查分段函数的 重点, 尤其是含参数的分段函数性质, 重点, 尤其是含参数的分段函数性质, 此时用好分类讨论和数 形结合这两个思想,会起到事半功倍的效果. 形结合这两个思想,会起到事半功倍的效果. 3.分段函数的奇偶性很少考查,如有涉及,可画出分段 .分段函数的奇偶性很少考查,如有涉及, 函数的图象,转化为图象的对称性进行研究 象的对称性进行研究. 函数的图象,转化为图象的对称性进行研究.

专题二 │ 江苏真题剖析
江苏真题剖析
[2011· 江 苏 卷 ] 已 知 实 数 a≠0 , 函 数 f(x) = 例 ≠ ?2x+a,x<1, , ? + , ? 若 f(1 - a) = f(1 + a) , 则 a 的 值 为 ?-x-2a,x≥1, - , ≥ , ? ________. .
3 答案】 【答案】 -4 解析】 f(1- = - + =- =-1- = + , 【解析】 当 a>0 时, -a)=2-2a+a=- -3a=f(1+a), 3 a=- <0,不成立;当 a<0 时,f(1-a)=- +a-2a=2+2a+a =-1+ - = + + =-2 ,不成立; - =- 3 =f(1+a),a=-4. + , =-

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[ 2011·福建卷 已知函数 福建卷] 福建卷
?2x,x>0, , ? f(x)=? = ?x+1,x≤0. ? + , ≤

若 f(a)

的值等于( ) +f(1)=0,则实数 a 的值等于 = , A.- B.- .-3 .-1 C.1 D.3 . .- .- . A 【解析】 由已知,得 f(1)=2; 解析】 由已知, = ; 又当 x>0 时,f(x)=2x>1,而 f(a)+f(1)=0, = , + = , =-2, ∴f(a)=- ,且 a<0, =- , =-2, =-3, ∴a+1=- ,解得 a=- ,故选 A. + =- =-

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已知函数
?x3,x≤0, ≤ , ? f(x)=? = ?ln(x+1),x>0. ? ( + )

若 f(2-x2)>f(x), - ,

的取值范围是________. 则实数 x 的取值范围是 .
(-2,1) - 【解析】 画出函数的图象,如下图所示, 解析】 画出函数的图象,如下图所示,

由图象可得, 该函数是定义在 R 上的增函数, 2-x2>x, 上的增函数, - 由图象可得, 故 , 解得- 解得-2<x<1.


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