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1.3简单的逻辑连接词


§ 1.3

简单的逻辑联结词、全称量词与存在 量词
备课人姓名:陈太全 备课组长姓名:黄辉

一、教材分析: 1、教材的地位和作用: 正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思 考、交流,还是从事各项工作,都需要正确的运用逻辑用语表达自己的思维。常 用逻辑用语是认识问题、 研究问题不可缺少的工具;在学习数学

过程中需要准确 全面地理解概念,正确地进行表述、判断和推理,这些都离不开对逻辑知识的掌 握和运用, 所以逻辑用语在数学中也具有很重要的作用。而要正确的使用逻辑用 语首要的就是准确的使用逻辑联结词,因此本节内容在数学具有很重要的地位。 2、教学的重点和难点: 重点:通过数学实例,了解逻辑联结词“或、且”的含义,使学生能正确地 表述相关数学内容。 难点: ( 1) 、正确理解命题“P∧q” “P∨q” “¬p”真假的规定和判定. (2) 、简洁、准确地表述命题“P∧q” “P∨q” “¬p”. 3、教学三维目标: (1)知识与技能: (1)掌握逻辑联结词“或、且、非”的含义 (2)正确应用逻辑联结词“或、且、非”解决问题 (3)掌握真值表并会应用真值表解决问题 (2)过程与方法: 在观察和思考中, 在解题和证明题中,本节课要特别注重学生思维的严密性 品质的培养. (3)情感与态度:

激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极 进取的精神,通过探索、发现知识过程,获得成功的体验,锻炼学生克服困难的 意志,建立学习数学的自信心。 , 二、教法与学法分析 1、教法分析 依据现有学生的年龄特点和心理特征,结合他们的认识水平,在遵循启发式 教学原则的基础上,在本节采用发现法为主,以谈话法,讲解法,练习法为辅的 教学方法,意在通过老师的引导,调动学生学习知识的积极性,从而培养学生观 察问题,发现问题和解决问题的能力。为此,依据新课程的改革要求,本节课采 用师生互动的方式,既是以教师为主导,学生为主体的讨论式学习,真正实现新 课标下的“以学生为主”的教学摸式 。 2、学法分析 现代教学理论认为,教师的“教”不仅要让学生“学会知识” ,更重要的是 让学生“会学知识” ,而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键,因此在本 节的教学中,教师指导学生运用观察,分析讨论,模拟归纳等手段来进行本节课 的学习,实现对知识的理解和应用。 在教学上采取了以下的措施: (1)从学生已有的知识出发,精心设置一组例子,逐步引导学生观察,探 讨,联想,归纳出逻辑联结词的含义,从中体会逻辑的思想。 (2)通过简单命题与复合命题的对比,明确它们存在的区别和联系,加深 对复合命题构成的理解,抓住其本质特点。 三、教学用具:计算机及多媒体教学. 四、教学基本流程设计:

1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的“______”、“______”、“______”叫做逻辑联结词. (2)用来判断复合命题真假的真值表:

P

q

p

q

p或q

p且q

(p 或 q)

(p 且 q)

p或q

p且q

真 真 假 假

真 假 真 假

假 假 真 真

假 真 假 真 假



假 真

假 假 假 真

假 真



2.全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有:“任意一个”、“一切”、“每一个”、“所有的”等. (2)常见的存在量词有: “存在一个”、 “至少有一个”、 “有些”、 “有一个”、 “某个”、

“有的”等. (3)全称命题与特称命题 ①________________的命题叫全称命题. ②________________的命题叫特称命题. 3.命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. (2)“p 或 q”的否定为:“非 p 且非 q”; “p 且 q”的否定为:“非 p 或非 q”. [难点正本 疑点清源] 1.逻辑联结词“或”的含义有三种 逻辑联结词中的“或”的含义, 与并集概念中的“或”的含义相同. 如“x∈A 或 x∈B”, 是指:x∈A 且 x?B;x?A 且 x∈B;x∈A 且 x∈B 三种情况.再如“p 真或 q 真”是指:p 真且 q 假;p 假且 q 真;p 真且 q 真三种情况.因此,在遇到逻辑联结词“或”时,要注 意分析三种情况. 2.正确区别:命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若 p, 则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题, 它既否 定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非 p”,只是否定命题 p 的结论. 命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有且只有一个为真,而原命题与否命 题的真假无必然联系.

1. (课本改编题)命题 p: 有的三角形是等边三角形. 命题綈 p: ___________________________. 2.若命题“存在 x∈R,有 x2-mx-m<0”是假命题,则实数 m 的取值范围是________. 3.(课本改编题)下列命题中,所有真命题的序号是________. ①5>2 且 7>4;②3>4 或 4>3;③ 2不是无理数. 4.(2011· 辽宁)已知命题 p:存在 n∈N,2n>1 000,则綈 p 为 A.?n∈N,2 ≤1 000 B.?n∈N,2 >1 000 C.存在 n∈N,2n≤1 000 D.存在 n∈N,2n<1 000 5.下列命题中的真命题是 3 A.存在 x∈R,使得 sin xcos x= 5 B.存在 x∈(-∞,0),2x>1 C.?x∈R,x2≥x-1 D.?x∈(0,π),sin x>cos x ( )
n n

(

)

题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断 例1 已知命题

p1:函数 y=2x-2 x 在 R 上为增函数,
- -

p2:函数 y=2x+2 x 在 R 上为减函数, 则在命题 q1: p1 或 p2, q2: p1 且 p2, q3: (綈 p1)或 p2 和 q4: p1 且(綈 p2)中, 真命题是________. 探究提高 (1) 判 断 含 有 逻 辑 联 结 词 的 复 合 命 题 的 真 假 , 关 键 是 对 逻 辑 联 结 词 “且”“或”“非”含义的理解. (2)解决该类问题的基本步骤是:①弄清构成复合命题中简单命题 p 和 q 的真假;②明确 其构成形式;③根据复合命题真假规律判断构成新命题的真假. 写出由下列各组命题构成的“p 或 q”、“p 且 q”、“綈 p”形式的复合命 题,并判断真假. (1)p:1 是素数;q:1 是方程 x2+2x-3=0 的根; (2)p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的对角线互相垂直; (3)p:方程 x2+x-1=0 的两实根的符号相同;q:方程 x2+x-1=0 的两实根的绝对值 相等. 题型二 含有一个量词的命题的否定 例2 写出下列命题的否定,并判断其真假. 1 (1)p:对任意 x∈R,x2-x+ ≥0; 4 (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:存在 x0∈R,x2 0+2x0+2≤0; (4)s:至少有一个实数 x0,使 x3 0+1=0. 探究提高 全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别, 否定全称命题和特称 命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要 否定结论.而一般命题的否定只需直接否定结论即可. (原创预测)写出下列命题的否定,并判断真假. (1)p:对任意 x>0,都有 x2-x≤0; (2)q:存在 x∈R,2x+x2≤1. 题型三 根据含有逻辑联结词的命题的真假,求参数的取值范围 1?|x-1| 例 3 设 a 为实数,给出命题 p:关于 x 的不等式? ?2? ≥a 的解集为?,命题 q:函数 f(x) 9? 2 =lg? ?ax +?a-2?x+8?的定义域为 R,若命题“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,求 a 的取 值范围. 探究提高 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假,求出此 时参数成立的条件,再求出含逻辑联结词的命题成立的条件. 已知 a>0,设命题 p:函数 y=ax 在 R 上单调递增;命题 q:不等式 ax2-ax +1>0 对任意 x∈R 恒成立.若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,求 a 的取值范围. 1.借助逻辑联结词求解参数范围问题 试题:(12 分)已知 c>0,且 c≠1,设 p:函数 y=cx 在 R 上单调递减;q:函数 f(x)=x2-2cx

1 ? +1 在? ?2,+∞?上为增函数,若“p 且 q”为假,“p 或 q”为真,求实数 c 的取值范围. 审题视角 (1)p、q 真时,分别求出相应的 a 的范围;(2)用补集的思想,求出綈 p、綈 q 分 别对应的 a 的范围;(3)根据“p 且 q”为假、“p 或 q”为真,确定 p、q 的真假. 规范解答 解 ∵函数 y=cx 在 R 上单调递减,∴0<c<1. [2 分] [3 分] 即 p:0<c<1,∵c>0 且 c≠1,∴綈 p:c>1. 1 1 ? 又∵f(x)=x2-2cx+1 在? ?2,+∞?上为增函数,∴c≤2. 1 1 即 q:0<c≤ ,∵c>0 且 c≠1,∴綈 q:c> 且 c≠1. 2 2 又∵“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,∴p 真 q 假或 p 假 q 真. ①当 p 真,q 假时, 1 ? ? ? 1 ? {c|0<c<1}∩?c|c>2且c≠1?=?c|2<c<1?. ? ? ? ? 1? ? ②当 p 假,q 真时,{c|c>1}∩?c|0<c≤2?=?.
? ? ? 1 ? 综上所述,实数 c 的取值范围是?c|2<c<1?. ? ?

[5 分] [6 分]

[8 分] [10 分] [12 分]

第一步:求命题 p、q 对应的参数的范围. 第二步:求命题綈 p、綈 q 对应的参数的范围. 第三步:根据已知条件构造新命题,如本题构造新命题 “p 真 q 假”或“p 假 q 真”. 第四步:根据新命题,确定参数的范围. 第五步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.

批阅笔记 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来, 然 后转化为集合交、并、补的基本运算. 答题时,可依答题模板的格式进行,这样可使答题思路清晰,过程完整.老师在阅卷时, 便于查找得分点.

方法与技巧 1.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,对照否定结构去写,并注 意与否命题区别;对于命题否定的真假,可以直接判定,也可以先判定原命题,再判定 其否定.判断命题的真假要注意:全称命题为真需证明,为假举反例即可;特称命题为 真需举一个例子,为假则要证明全称命题为真. 2.要把握命题的形成、相互转化,会根据复合命题,或命题的否定来判断简单命题的真假. 3.全称命题与特称命题可以互相转化,即从反面处理,再求其补集.

失误与防范 1.p 或 q 为真命题,只需 p、q 有一个为真即可,p 且 q 为真命题,必须 p、q 同时为真. 2.p 或 q 的否定:非 p 且非 q;p 且 q 的否定:非 p 或非 q. 3.全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. 4.简单逻辑联结词内容的考查注重基础、注重交汇,较多地考查简单逻辑与其他知识的综 合问题,要注意其他知识的提取与应用,一般先化简转化命题,再处理关系.

课时规范训练
(时间:60 分钟) A 组 专项基础训练题组 一、选择题 1.已知命题 p:存在 x∈R,x2+1<2x;命题 q:若 mx2-mx-1<0 恒成立,则-4<m<0,那 么 A.“綈 p”是假命题 C.“p 或 q”为假命题
2

( B.q 是真命题 D.“p 且 q”为真命题 (

)

2.已知命题 p:“对任意 x∈[1,2],x -a≥0”,命题 q:“存在 x∈R,使 x2+2ax+2-a =0”,若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是 A.{a|a≤-2 或 a=1} B.{a|a≥1} C.{a|a≤-2 或 1≤a≤2} D.{a|-2≤a≤1} 3.已知 p:|x-a|<4;q:(x-2)(3-x)>0,若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范 围为 A.a<-1 或 a>6 C.-1≤a≤6 二、填空题 4. 若命题“存在 x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题, 则实数 a 的取值范围是______________. 5. 令 p(x): ax2+2x+1>0, 若对任意 x∈R, p(x)是真命题, 则实数 a 的取值范围是________. b 6. 若命题 p: 关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集是{x|x>- }, 命题 q: 关于 x 的不等式(x-a)(x a -b)<0 的解集是{x|a<x<b},则在命题“p 且 q”、“p 或 q”、“綈 p”、“綈 q”中, 是真命题的有________. 三、解答题 B.a≤-1 或 a≥6 D.-1<a<6 ( ) )

1 ? 1 1 7.已知 c>0,设命题 p:函数 y=cx 为减函数.命题 q:当 x∈? ?2,2?时,函数 f(x)=x+x>c 恒成立.如果 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 c 的取值范围. 8.命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,q:函数 f(x)=(3-2a)x 是增 函数,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围. B 组 专项能力提升题组 一、选择题 a 1.若函数 f(x)=x2+ (a∈R),则下列结论正确的是 x A.对任意 a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数 B.对任意 a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数 C.存在 a∈R,f(x)是偶函数 D.存在 a∈R,f(x)是奇函数 2.命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定 是 .. A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 1 3.已知命题 p:对任意 x∈R,2x2+2x+ <0;命题 q:存在 x∈R,sin x-cos x= 2.则下列 2 判断正确的是 A.p 是真命题 C.綈 p 是假命题 二、填空题 1 4.已知 p: ≤x≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若 p 是綈 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取 2 值范围是________. 5.已知命题 p:“对任意 x∈R,存在 m∈R,4x-2x 1+m=0”,若命题綈 p 是假命题,则


(

)

(

)

( B.q 是假命题 D.綈 q 是假命题

)

实数 m 的取值范围是__________. 6.设 p:方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根,q:方程 x2+2(m-2)x-3m+10=0 无 实根.则使 p 或 q 为真,p 且 q 为假的实数 m 的取值范围是____________. 7.下列结论: ①若命题 p: 存在 x∈R, tan x=1; 命题 q: 对任意 x∈R, x2-x+1>0.则命题“p 且綈 q” 是假命题; a ②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =-3; b ③命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题:“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0”.其中 正确结论的序号为________. 三、解答题 8.已知命题 p:方程 2x2+ax-a2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x0 满足不等
2 式 x0 +2ax0+2a≤0,若命题“p 或 q”是假命题,求 a 的取值范围.

答案
要点梳理 1.(1)或 且 非 真 假 假 真 假 假 真 真 假 真 假 真 真 2.(3)①含有全称量词 ②含有存在量词 基础自测 1.所有的三角形都不是等边三角形 2.[-4,0] 3.①② 4.A 例1 5.C q1,q4 题型分类· 深度剖析 变式训练 1 解 (1)p 或 q:1 是素数或是方程 x2+2x-3=0 的根.真命题. p 且 q:1 既是素数又是方程 x2+2x-3=0 的根.假命题. 綈 p:1 不是素数.真命题. (2)p 或 q:平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题. p 且 q:平行四边形的对角相等且互相垂直.假命题. 綈 p:有些平行四边形的对角线不相等.真命题. (3)p 或 q:方程 x2+x-1=0 的两实根的符号相同或绝对值相等.假命题. p 且 q:方程 x2+x-1=0 的两实根的符号相同且绝对值相等.假命题. 綈 p:方程 x2+x-1=0 的两实根的符号不相同.真命题. 1 2 例 2 解 (1)綈 p:存在 x0∈R,x0 -x0+ <0,假命题. 4 (2)綈 q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3)綈 r:对任意 x∈R,x2+2x+2>0,真命题. (4)綈 s:对任意 x∈R,x3+1≠0,假命题. 变式训练 2 解 (1)綈 p:存在 x>0,使 x2-x>0,为真命题. (2)綈 q:对任意 x∈R,2x+x2>1,为假命题. 例3 解 ①若 p 正确,
|x ?1|

?1? 则由 0< ? ? ?2?

≤1,得 a>1.

9 ②若 q 正确,则 ax2+(a-2)x+ >0 解集为 R. 8 9 当 a=0 时,-2x+ >0 不合题意,舍去; 8 ?a>0 ? 当 a≠0 时,则? , 9 2 ??a-2? -4a×8<0 ? 1 解得 <a<8. 2 ③∵p 和 q 中有且仅有一个正确,

a≤1 ? ?a>1 ? ? ∴? 1 或?1 , ? ? ?a≤2或a≥8 ?2<a<8 1 ∴a≥8 或 <a≤1. 2 变式训练 3 解 ∵函数 y=ax 在 R 上单调递增,∴p:a>1. 不等式 ax2-ax+1>0 对任意 x∈R 恒成立,∴a>0 且 a2-4a<0,解得 0<a<4, ∴q:0<a<4. ∵“p 且 q”为假,“p 或 q”为真, ∴p、q 中必有一真一假. ?a>1 ? ①当 p 真,q 假时,? ,得 a≥4. ?a≥4 ?
? ?0<a≤1 ②当 p 假,q 真时,? ,得 0<a≤1. ? ?0<a<4

故 a 的取值范围为(0,1]∪[4,+∞). 课时规范训练 A组 1.C 2.A 3.C 4.-2 2≤a≤2 2 5.a>1 6.綈 p、綈 q 7.解 由命题 p 为真知,0<c<1, 1 5 由命题 q 为真知,2≤x+ ≤ , x 2 1 1 要使此式恒成立,需 <2,即 c> , c 2 若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题, 则 p、q 中必有一真一假, 1 当 p 真 q 假时,c 的取值范围是 0<c≤ ; 2 当 p 假 q 真时,c 的取值范围是 c≥1. 综上可知,c 的取值范围是 1 ? ? ?c|0<c≤ 或c≥1?. 2 ? ? 8.解 设 g(x)=x2+2ax+4, 由于关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,所以函数 g(x)的图像开口向上 且与 x 轴没有交点, 故 Δ=4a2-16<0,∴-2<a<2. 又∵函数 f(x)=(3-2a)x 是增函数, ∴3-2a>1,∴a<1. 又由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p 和 q 一真一假.

? ?-2<a<2, (1)若 p 真 q 假,则? ?a≥1, ?

∴1≤a<2; (2)若 p 假 q 真, ? ?a≤-2或a≥2 则? ∴a≤-2. ? ?a<1, 综上可知,所求实数 a 的取值范围为 1≤a<2,或 a≤-2. B组 1.C 2.D 3.D 1 0, ? 4.? ? 2? 5.(-∞,1] 6.(-∞,-2]∪[-1,3) 7.①③ a 8.解 由 2x2+ax-a2=0 得(2x-a)(x+a)=0, ∴x= 或 x=-a, 2 a? 2 ∴当命题 p 为真命题时? ?2?≤1 或|-a|≤1,∴|a|≤2.又“只有一个实数 x0 满足 x0+2ax0 +2a≤0”, 即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0 或 a=2. ∴当命题 q 为真命题时,a=0 或 a=2. ∴命题“p 或 q”为真命题时,|a|≤2. ∵命题“p 或 q”为假命题,∴a>2 或 a<-2. 即 a 的取值范围为{a|a>2 或 a<-2}.


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