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平面向量的加减法运算和数乘运算


课 题 教 学 目 标 重 点 难 点

平面向量的加减法运算和数乘运算
(1)了解平面向量的加法运算和减法运算 (2)了解平面向量的数乘运算 (3)了解向量线性运算的几何意义 (1)掌握向量加减法运算的的概念和方法 (2)熟练运用向量数乘运算 教学过程

回顾 :对向量概念的理解 ??? ? AB 的字母是有顺序的,起点在前终点

在后,所以我们说有向线段有三个要素:起点、方向、长度;
既有大小又有方向的量,我们叫做向量,有二个要素:大小、方向. 向量不能比较大小;实数与向量不能相加减,但实数与向量可以相乘.

知识点一
1、定义:

向量的加法
来定义的,一般有两种方法,即 (对于两个向量共线不适应)
王新敞
奎屯 新疆

几何中向量加法是用 (“首尾相接,首尾连”)和
王新敞
奎屯 新疆

如图,已知向量 a 、 b 在平面内任取一点 A ,作 AB ? a , BC ? b ,则向量 AC 叫做 a 与 b 的和,记作

??? ?

?

??? ?

?

??? ?

?

?

? ? a ? b ,即

? ??? ? ??? ? ? ? ??? a ? b ? AB ? BC ? AC

C a a+b b B D b a b 三角形法则 A a a+b

C

B

平行四边形法则

(1)

A

特殊情况:
a
b
a ? b

a
b
a ? b

A

B

(2 )

C

C

A

( 3 )

B

对于零向量与任一向量 a ,有

?

? ? ? ? ? a ?0 ? 0?a ? a

注意: (1)两相向量的和仍是一个向量; ? ? ? ? ? ? ? ? (2)当向量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向不同向,且| a + b |<| a |+| b |;
(3)当 a 与 b 同向时,则 a + b 、 a 、 b 同向,且| a + b |=| a |+| b |; 当 a 与 b 反向时,若| a |>| b |,则 a + b 的方向与 a 相同,且| a + b |=| a |-| b |, 若| a |<| b |,则 a + b 的方向与 b 相同,且| a + b |=| b |-| a |. 2、向量加法的交换律: a + b = b + a

? ?

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3.向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) 证:

?

?

?

?

? ?

知识点二

向量的减法
记作

1.用“相反向量”定义向量的减法: “相反向量”的定义: ? ? 规定:零向量的相反向量仍是零向量 ?(? a ) = a
王新敞
奎屯 新疆

任一向量与它的相反向量的和是零向量 a + (? a ) = 0
王新敞
奎屯 新疆

?

?

?

如果 a 、 b 互为相反向量,则 a = ? b , 向量减法的定义:

?

?

?

?

? ? b = ?a ,
?

? ? ? a + b = 0
?

向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差,即: a ? b = a + (? b ) 2.用加法的逆运算定义向量的减法:

?

?

?

?

?

?

3.求作差向量:已知向量 a 、 b ,求作向量 ∵( a ? b ) + b = a + (? b ) + b = a + 0 = a 减法的三角形法则作法:在平面内取一点 O,

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? 作 OA = a , OB = b , 则 BA = a ? b
?

即 a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终 点向量
王新敞
奎屯 新疆

?

?

?

知识点三 向量的数乘运算 ? 1、定义:实数λ 与向量 a 的积是一个 ? ? 规定如下: (1)|λ a |=|λ || a | ? ? (2)λ >0 时λ a 与 a 方向相同;
? ?

,这种运算叫做向量的数乘,记作:

,其长度与方向

λ <0 时λ a 与 a 方向相反;λ =0 时λ a = 0 2、运算定律 结合律:λ (μ a )= 第一分配律:(λ +μ) a = 第二分配律:λ ( a + b )= 3、向量共线定理

?

?

?

?

?

经典例题
例 1、下列命题错误的是(
A 两个向量的和仍是一个向量 B 当向量 a 与向量 b 不共线时,a+b 与 a、b 都不同向,且 a ? b ? a ? b C 当向量 a 与向量 b 同向时,a+b、 a、b 都同向,且 a ? b ? a ? b D 如果向量 a=b,那么 a、b 有相同的起点和终点 )

例 2、在矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 1 ,则向量 ( AB ? AD ? AC) 的长等于(
(A)2 (B) 2 3 (C)3 (D)4



例 3、若 a 与 b 的方向相反,且 a ? b ,则 a+b 的方向与 a 的方向
此时 a ? b



a?b
王新敞
奎屯 新疆

? ? ? ? ? ? ? ? 例 4、已知向量 a 、 b 、 c 、 d ,求作向量 a ? b 、 c ? d

??? ? ? ???? ? ??? ? ??? ? ? ? 例 5、平行四边形 ABCD 中, AB ? a , AD ? b ,用 a , b 表示向量 AC 、 DB

王新敞
奎屯

新疆

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 6、若 3 m +2 n = a , m -3 n = b ,其中 a , b 是已知向量,求 m , n .

A

D

F

例 7、如图,D、E、F 是 ?ABC 的边 AB、BC、CA 的中点,
则 AF ? DB =
B C E

???? ? ?? ??? ? ? ??? ? ? ???? ???? 例 8、在 ? ABCD 中, AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC ,M 为 BC 的中点,则 MN ? _______。 (用 a、 b 表示)

训练
1、下面给出四个命题: ① 对于实数 m 和向量 a 、 b 恒有: m(a ? b) ? ma ? mb ② 对于实数 m 、 n 和向量 a ,恒有 (m ? n)a ? m a ? na ③ 若 ma ? mb(m ? R) ,则有 a ? b ④ 若 m a ? na(m, n ? R, a ? 0) ,则 m ? n 其中正确命题的个数是( (A)1 (B)2 ) (C)3

(D)4

2、已知 D、E、F 分别是△ABC 的边 BC、CA、AB 的中点,且 BC ? a , CA ? b , AB ? c ,则下列各式:

??? ?

??? ?

??? ?

???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 1 1 1 c ? b ;② BE ? a ? b ;③ CF ? ? a ? b ;④ AD ? BE ? CF ? 0 2 2 2 2 2 其中正确的等式的个数为
① EF ?

??? ?



3、若 a、b 为非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则( A 、 a / / b ,且 a 与 b 方向相同 C 、a=—b

) B 、a,b 是共线向量 D 、a,b 无论什么关系均可

4、平面上有三点 A 、B 、C,设 m ? AB ? BC , n ? AB ? BC ,若 m、n 的长度恰好相等,则有( A A、B、C 三点必在同一直线上 B ? ABC 必为等腰三角形且角 B 为顶角 C ? ABC 必为直角三角形且角 B 为直角 D ? ABC 必为等腰直角三角形 5、在 ? ABC 中,D 是 BC 的中点,设 AB ? c , AC ? b, BD ? a, AD ? d , 则 d-a=

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?



??? ?

??? ?

??? ?

????

;d+a=


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