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2014年高考数学(理)二轮复习课件:第1部分-专题7-第1讲函数与方程思想、数形结合思想


第一讲

函数与方程思想、数形结合思想

思想解读 一、函数与方程思想 函数与方程思想是中学数学的基本思想,依据题意,构 建函数,或建立相应的方程来解决问题,是历年高考的重点 和热点. 方程思想与函数思想密切相关:方程 f(x)=0 的解就是函 数 y=f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标;函数 y=f(x)也可以 看作二元方程 f(x)-y=0,通过方程进行研究;方程 f(x)=a 有解, 当且仅当 a 属于函数 f(x)的值域; 函数与方程的这种相 互转化关系十分重要.

函数与方程思想在解题中的应用可从以下几个方面思 考: (1)函数与不等式的相互转化, 对函数 y=f(x), 当 y>0 时, 就转化为不等式 f(x)>0, 借助于函数的图象和性质可解决有关 问题,而研究函数的性质也离不开不等式; (2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数,用 函数的观点处理数列问题十分重要,数列也可用方程思想求 解; (3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能 解决,这都涉及二次方程与二次函数的有关理论;

(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常 需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决,建立空 间直角坐标系后,立体几何与函数的关系更加密切.

二、数形结合思想 数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形 语言有机结合,达到抽象思维和形象思维的和谐统一.通过 对规范图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直观 为精确,从而使问题得到解决.

数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面, 其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观 性来阐明数形之间的联系,即以形作为手段,数作为目的, 比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于 数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,如应用曲线 的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点: (1)要彻底明白一些概念和运算法则的几何意义以及曲线 的代数特征,对题目中的条件和结论既分析其几何意义又分 析其代数意义;

(2)选择好突破口,恰当设参、合理用参,建立关系,由 数思形、以形想数,做好数形转化; (3)挖掘隐含条件,准确界定参数的取值范围,参数的范 围决定图形的范围. 数形结合思想是重要的思维方式,在高考中占有非常重 要的地位,近几年的高考题中的曲线方程问题、函数与不等 式问题、参数范围问题、可行域与目标函数最值、向量两重 性等,都用到了数形结合的思想方法,它不仅是我们解题的 一种思想方法,还是我们进一步学习、研究数学的有力武器.

(2012· 湖南高考)已知函数 f(x)=ex-ax, 其中 a>0. (1)若对一切 x∈R,f(x)≥1 恒成立,求 a 的取值集合; (2) 在函数 f(x) 的图象上取定两点 A(x1 , f(x1)) , B(x2 , f(x2))(x1<x2),记直线 AB 的斜率为 k.证明:存在 x0∈(x1,x2), 使 f′(x0)=k 成立.

【思路点拨】

(1)对 x∈R,f(x)≥1 恒成立,转化为求

f(x)min,使 f(x)min≥1,构建关于“a”的不等式 a-aln a≥1,进 一步构造函数,利用函数方程思想获解.(2)利用零点存在定 理,转化为判定函数 φ(x)=f′(x)-k 在区间(x1,x2)端点函数 值的符号.

【解】 (1)f′(x)=ex-a.令 f′(x)=0 得 x=ln a. 当 x<ln a 时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当 x>ln a 时, f′(x)>0,f(x)单调递增. 故当 x=ln a 时,f(x)取最小值 f(ln a)=a-aln a. 于是对一切 x∈R,f(x)≥1 恒成立, 当且仅当 a-aln a≥1.① 令 g(t)=t-tln t,则 g′(t)=-ln t. 当 0<t<1 时,g′(t)>0,g(t)单调递增;

当 t>1 时,g′(t)<0,g(t)单调递减. 故当 t=1 时,g(t)取最大值 g(1)=1. 因此,当且仅当 a=1 时,①式成立. 综上所述,a 的取值集合为{1}.

f?x2?-f?x1? ex2-ex1 (2)证明 由题意知,k= = -a. x2-x1 x2-x1 ex2-ex1 令 φ(x)=f′(x)-k=e - ,则 x2-x1
x

ex1 φ(x1)=- [ex2-x1-(x2-x1)-1], x2-x1 ex2 φ(x2)= [ex -x -(x1-x2)-1]. x2-x1 1 2 令 F(t)=et-t-1,则 F′(t)=et-1. 当 t<0 时,F′(t)<0,F(t)单调递减; 当 t>0 时,F′(t)>0,F(t)单调递增. 故当 t≠0 时,F(t)>F(0)=0,即 et-t-1>0.

从而 ex2-x1-(x2-x1)-1>0,ex1-x2-(x1-x2)-1>0. ex1 ex2 又 >0, >0,所以 φ(x1)<0,φ(x2)>0. x2-x1 x2-x1 因为函数 y=φ(x)在区间[x1, x2]上的图象是连续不断的一 条曲线,所以存在 x0∈(x1,x2),使 φ(x0)=0,即 f′(x0)=k 成立.

1.本题求解的关键在于恰当构造函数, (1)x∈R,恒有 f(x)≥1,转化为求函数 f(x)min≥1.(2)在第(2)问中判定 φ(x1), φ(x2)符号,构建函数 F(t)=et-t-1,利用单调性加以确定. 2.题目综合考查导数、斜率公式、函数的零点、不等式 等基础知识,灵活利用函数方程思想,有效实施方程、不等 式,函数之间相互转化.

(1)已知函数

?1? f(x)=?3?x,等比数列{an}的前 ? ?

n 项和

为 f(n)-c,则 an 的最小值为( A.-1 B.1

) 2 C.3 2 D.-3

(2)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. ①求数列{an}的通项公式; ②若数列{an}的前 k 项和为-35,求 k 的值.

【思路点拨】

(1)由等比数列定义求 c,进而求 an 的表

达式,借助函数的单调性求 an 的最小值.(2)列出关于基本量 a1 与 d 的方程,求基本量,代入通项与求和公式.

【解】

1 (1)由题设,得 a1=f(1)-c=3-c;

2 a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-9; 2 a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-27, 又数列{an}是等比数列,
? 2? ?1 ? ? 2? 2 ∴?-9? =?3-c?×?-27?,∴c=1. ? ? ? ? ? ?

a3 1 又∵公比 q= = , a2 3
?1? 2?1?n-1 所以 an=- ?3? =-2?3?n,n∈N*. 3? ? ? ?

因此,数列{an}是递增数列, 2 ∴n=1 时,an 有最小值 a1=- .选 D. 3
【答案】 D

(2)①设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3 可得 1+2d=-3. 解得 d=-2. 从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n,n∈N*. ②由①可知 an=3-2n, n[1+?3-2n?] 2 所以 Sn= = 2 n - n , 2 进而由 Sk=-35 可得 2k-k2=-35, 即 k2-2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N*,故 k=7 为所求.

1.等差、等比数列中,通项公式、前 n 项和公式可以看 成 n 的函数,可以用函数方法解决. 2.数列求值问题的实质是解方程,所以,方程思想在数 列问题中也有着重要的作用.

x2 y2 如图 7-1-1 所示,椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的 1 离心率为2,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10,不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点, 且线段 AB 被直线 OP 平分.

图 7-1-1 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求△ABP 面积取最大值时直线 l 的方程.

【思路点拨】 (1)由条件确定关于 a,c 的代数方程,求 得 a, b, c.(2)将△ABP 的面积表示为关于直线 l“截距”的函 数,运用导数求最值,进而求出直线 l 的方程.

【解】 (1)设椭圆左焦点为 F(-c,0),则由题意得 ? ?2+c?2+1= 10, ? ? ?c=1, ?c 1 得? ? = , ?a=2. ? ?a 2 x2 y2 所以椭圆方程为 4 + 3 =1.

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M. 当直线 l 与 x 轴垂直时,l 的方程为 x=0,与不过原点的 条件不符,舍去.故可设直线 l 的方程为 y=kx+m(m≠0),
? ?y=kx+m, 由? 2 2 ? ?3x +4y =12,

消去 y,

整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,①

则 Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0, ? ?x1+x2=- 8km 2, 3+4k ? ? 2 4 m -12 ?x x = 2 . 1 2 ? 3+4k ? 4km 3m 所以线段 AB 的中点为 M(- , ). 3+4k2 3+4k2 -2km 1 3m 因为 M 在直线 OP:y= x 上,所以 2= 2, 2 3+4k 3+4k 3 得 m=0(舍去)或 k=-2.

此时方程①为 3x2-3mx+m2-3=0,则 ?x1+x2=m, ? 2 Δ=3(12-m )>0,? m2-3 x1x2= 3 . ? ? 39 所以|AB|= 1+k · |x1-x2|= 6 · 12-m2,
2

|8-2m| 2|m-4| 设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则 d= 2 . 2= 13 3 +2

设△ABP 的面积为 S,则 1 3 S=2|AB|· d= 6 · ?m-4?2?12-m2?, 其中 m∈(-2 3,0)∪(0,2 3). 令 u(m)=(12-m2)(m-4)2,m∈[-2 3,2 3], u′(m)=-4(m-4)(m2-2m-6) =-4(m-4)(m-1- 7)(m-1+ 7). 所以当且仅当 m=1- 7时,u(m)取到最大值. 故当且仅当 m=1- 7时,S 取到最大值. 综上,所求直线 l 的方程为 3x+2y+2 7-2=0.

1.题目涉及直线和抛物线的位置关系,运用数学语言将 问题中的条件转化为方程加以解决,寻找直线与抛物线交点 3m 坐标的关系. 抓住线段 AB 的中点 M 在直线 OP 上, 发掘 3+4k2 -2km = 是解题的关键. 3+4k2 2.几何最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经
常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的 过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个) 变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.

函数 f(x)= x-cos x 在[0,+∞)内( A.没有零点 C.有且仅有两个零点

)

B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点

(2)设函数

2 ? ?x +bx+c,x≤0, f(x)=? ? x>0. ?2,

若 f(-4)=f(0), f(- )

2)=-2,则关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4

【思路点拨】

讨论方程的解可构造两个函数,使求方

程的解的问题转化为讨论两曲线交点的问题,但用图象法讨 论方程的解,一定要注意图象的精确性、全面性.

【解析】 (1)令 f(x)=0,则 x=cos x,在同一坐标系中 作出 y= x和 y=cos x 的[0, +∞)上的图象(如图), 由图知 f(x) 在[0,+∞)有且仅有一个零点.选 B.

? ?f?-4?=f?0?, (2)? ? ?f?-2?=-2

? ?16-4b+c=c, ?? ? ?4-2b+c=-2

? ?b=4, ?? ? ?c=2.

2 ? ?x +4x+2,x≤0, ∴f(x)=? ? x>0. ?2,

这个函数的图象如图所示:

可知直线 y=x 与 f(x)的图象有三个交点,选 C.
【答案】 (1)B (2)C

用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根 式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法,其 基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表 达式(不熟悉时, 需要作适当变形转化为两熟悉的函数), 然后 在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为 方程解的个数.

?x-y+1≤0, ? (1)若实数 x,y 满足?x>0, ?y≤2, ? 值是________. (2)(2012· 西 安 调 研 ) 已 知 函 数

y 则x的最小

f(x) =

|lg x|, 0<x≤10, ? ? ? 1 若 a, b, c 互不相等, 且 f(a)=f(b) - x+6, x>10, ? ? 2 =f(c),则 abc 的取值范围是( ) A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24)

y 【思路点拨】 (1) 的几何意义表示可行域内的点与原点 x (0,0)连线的斜率,运用几何直观求解.(2)关键是将已知条件 转化为使函数 f(x)有三个互不相等的自变量对应同一个函数 值问题,再结合 f(x)图象探究出 a,b,c 各自的范围,从而求 解.

【解析】

(1)画可行域如图所示.

y 又 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率 x k. 由图知,过点 A 的直线 OA 的斜率最小.

? ?x-y+1=0, 联立? ? ?y=2

得 A(1,2), 2-0 y ∴kOA= =2.∴ 的最小值为 2. x 1-0

(2)a, b, c 互不相等, 不妨设 a<b<c, ∵f(a)=f(b)=f(c), 由图象可知,0<a<1,1<b<10,10<c<12. ∵f(a)=f(b), 1 1 ∴|lg a|=|lg b|,即 lg a=lg ,a= .则 ab=1, b b 所以 abc=c∈(10,12).
【答案】 (1)2 (2)C

y 1.挖掘代数式x的几何意义,完成图形语言与符号语言 的转化是解第(1)题的关键. 2.画出函数图象是一项基本技能,要求从画准确图开始 (列表、描点、连线),达到根据函数性质及关键点、线快速画 草图的水平,最后能够看着函数想出图象.

在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C(0,p)作直 线与抛物线 x2=2py(p>0)相交于 A,B 两点. (1)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求△ANB 面积的最小值; (2)是否存在垂直于 y 轴的直线 l,使得 l 被以 AC 为直径 的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出 l 的方程;若不存 在,请说明理由.

【思路点拨】

利用图形观察△ANB 的构成,从而找到

解题突破口.(1)在直线 AB 变动的过程中,△ABN 中存在一 条长度不变的线段 CN(长为 2p), 将△ABN 面积分割为△ANC 与△BNC 的面积和,∴S△ABN=S△ANC+S△BNC=p|x1-x2|.
(2)求弦长时,构造直角三角形,求解.

【解】

(1)如图所示,依题意,点 N 的坐标为 N(0,-

p),可设 A(x1,y1),B(x2,y2). 直线 AB 的方程为 y=kx+p,与 x2=2py 联立 消去 y 得 x2-2pkx-2p2=0. 由根与系数的关系得 x1+x2=2pk,x1x2=-2p2. 1 于是 S△ABN=S△BCN+S△ACN=2×2p|x1-x2| =p|x1-x2|=p ?x1+x2?2-4x1x2 =p 4p2k2+8p2=2p2 k2+2. ∴当 k=0 时,(S△ABN)min=2 2p2.

(2)如图所示,假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y =a.

设 AC 的中点为 O′,l 与以 AC 为直径的圆相交于点 P、 Q,PQ 的中点为 H.



?x ? ? 1 y1+p? O′H⊥PQ,O′点的坐标为? , ?. 2 2 ? ?

1 1 2 ∵|O′P|=2|AC|=2 x1+?y1-p?2 1 2 2 = y1+p , 2
? y1+p? ? ? 1 |O′H|=?a- =2|2a-y1-p|, ? 2 ? ?

∴|PH|2=|O′P|2-|O′H|2 1 2 2 1 =4(y1+p )-4(2a-y1-p)2
? p? =?a-2?y1+a(p-a), ? ?

∴|PQ| =(2|PH|)

2

2

? ? p =4??a-2?y1+a?p-a??. ? ?

p p 令 a-2=0,得 a=2,此时|PQ|=p 为定值, p 故满足条件的直线 l 存在,其方程为 y= ,即抛物线的 2 通径所在的直线.

1. 本题是一个考查直线与圆锥曲线位置关系的开放性问 题,数形结合思想中一个非常重要的方面是以数解形,通过 方程等代数的方法来研究几何问题,也就是解析法,解析法 与几何法结合来解题,会有更大的功效. 2.此类题目的求解要结合该类图形的几何性质,将条件 信息和结论信息结合在一起,观察图形特征,转化为代数语 言,即方程(组)或不等式(组),从而将问题解决.


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