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数学课件 2.3 幂函数 课件(人教A版必修1)


2.3 幂函数

目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩

1.通过实例,了解幂函数的概念,结合函数的图象,了 解它们的变化情况. 2.结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y=x ,y=x2的图象, 体验研究具体函数的过程和方法,了解它们的变化情况 和图象特征,会总结幂函数的简单性质.
2 3
-1
1

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研 习 新 知

新 知 视 界 1.幂函数的概念 一般地,形如 y= xα(α∈R)的函数叫做幂函数, 其中 α 为常数, x 为自变量. 1 2.关于幂函数 y=x, y= x2, y=x ,y= ,y= x
1

2

x3 的图象的研究. 用描点法画出图象.

图1

1 3.幂函数 y=x,y=x ,y=x ,y= , x
2

1 2

y=x3 的性质:

y= x y= x 定义域 R R

2

y= x R

3

1 y = x y= (-∞,0)∪ [0, +∞) (0,+∞)


1 x2

(-∞, [0,+ 0)∪ 值域 R [0,+∞) R ∞) (0,+∞) 奇偶 奇 性 偶 非奇非 奇 偶 奇 (-∞,0) 减, (0,+∞) 减 (1,1)

(-∞,0) 减, 单调 增 增 增 (0,+∞) 性 增 (0,0) (1,1) 定点

? 思考感悟 ? 幂函数的图象能过第四象限吗? ? 提示:对幂函数y=xα而言,当x>0时,必有 y>0,故幂函数图象不过第四象限.

? 自我检测
? 1 .下列所给出的函数中,是幂函数的是 ( ) ? A.y=-x3 B.y=x-3 ? C.y=2x3 D . y =x 3-1 ? 答案:B

2.下列函数中,定义域为 R 的是( A.y=x
-2

)

B.y=x2 D.y=x-1

1

C.y=x2

答案:C

3.已知幂函数 f(x)的图象经过点 (2, 2),则 f(4) =________.

解析:设 f(x)=x ,则 2=2 =22,
1 1 1 ∴α= ,f(x)=x2,∴f(4)=42=2. 2

α

α

1

答案:2

? 4.幂函数y=x-1在[-4,-2]上的最小值 为________. 1
解析:∵y=x- 在(-∞,0)上单调递减, ∴y=x-1 在[-4,-2]上递减, 1 ∴y=x 在[-4,-2]上的最小值是- . 2
-1

1 答案:- 2

? 5 .函数 f(x) = (m2 - 3m + 3)xm + 2 是幂函数, 且函数f(x)为偶函数,求m的值. ? 解:∵f(x)=(m2-3m+3)xm+2是幂函数, ? ∴m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0. ? ∴m=1或m=2. ? 当 m = 1 时, f(x) = x3 为奇函数,不符合题 意. ? 当 m= 2时, f(x)= x4为偶函数,满足题目要 求.所以m=2.

互 动 课 堂

典 例 导 悟 类型一 幂函数的概念
1

[例 1] 已知 y=(m2+2m-2) xm2-1 + 2n-3 是 幂函数,求 m, n 的值.

[解]

?m2+ 2m- 2= 1 ? 2 由题意得?m - 1≠ 0 ?2n- 3= 0 ?



?m=- 3 ? 解得? , 3 n= ? 2 ? 3 所以 m=- 3, n= . 2

[ 点评 ]

表达式 y= xα(x∈ R)的要求比较

严格,系数为 1,底数是 x,α∈ R 为常数,如 1 - y= 2= x 2,y= 1= x0 为幂函数,而如 y= 2x2, x y= (x- 1)3 等都不是幂函数.

? 变式体验 1 已知函数 f(x) = (m2 - m - 1)xm2 - 2m - 2 是幂函数,且当 x∈(0 ,+ ∞ ) 时是 减函数,求实数m. 2 - 2m - 2 2 m ? 解: ∵ f(x) = (m - m - 1)·x 是幂函 数. ? 则m2-m-1=1,即m2-m-2=0, ? 解得m=2或m=-1. ? 当m=2时,f(x)=x-2;当m=-1时,f(x)= x.

? 类型二 幂函数的图象问题 ? [例2] 如图2,曲线C1与曲线C2分别是函数 y=xm和y=xn在第一象限的图象,则下列结 论正确的是( ) ? A.n<m<0 ? B.m<n<0 ? C.n>m>0 ? D.m>n>0 ? 图2

? [解析] 由幂函数的图象知,m,n均小于0, 取特殊值,令 x = 2 ,由图象可知, 2m>2n , 而y=2x为增函数,所以0>m>n.故选择A. ? [点评] 此题将幂函数的问题转化为指数函 数来研究,很巧妙,而且使题迎刃而解.

? 变式体验2 ? 幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象 限的图象如图3所示,则a,b,c,d的大小 关系是( ) ? A.a>b>c>d ? B.d>b>c>a ? C.d>c>b>a ? D.b>c>d>a ? 图3

? 解析:本题考查幂函数的性质及图象.由 幂函数的性质可知,当x>1时,幂指数大的 函数值较大,图象位置较高.故有b>c>d>a. 故选D. ? 答案:D

类型三 [例 3]

幂函数的定义域与值域 求下列函数的定义域和值域:


(1)y= x 3; (2)y= x 4.


2

3

[分析 ]

由题目可获取以下主要信息: 本例两个函数

2 3 均为幂函数,且幂指数分别为- ,- . 3 4 解答本题可将分数指数幂化为根式,并使根式有意 义.

[解]

(1)解析式化为 y= x 3=


2

1 3 x2

,其定义域为

{x|x∈ R 且 x≠ 0};值域为(0,+ ∞). (2)解析式化为 y= x 4=


3

1 4 x3

, 其定义域为(0, + ∞);

值域为 (0,+ ∞).

? [点评] 当幂函数的指数为分数形式时,须 将其转化为熟悉的根式,利用根式的有关 要求求出自变量的取值范围.

变式体验 3 求下列函数的定义域、 值域: (1)y=x5;(2)y=x 5;(3)y=x 4.
- -

4

1

1

解:(1)y= x4,由 x4≥0,知 x∈ R,y≥ 0,即定 义域为 R;值域为[0,+∞ ). 1 (2)y= ,由分母不为 0 知,定义域为{x|x≠0}; 5 x 由分子不为 0 知,y≠ 0,值域为{y|y≠0}. 1 (3)y= ,由 x>0 知定义域为(0,+∞ );值域为 4 x (0,+∞ ).

5

? 类型四 比较大小 ? [例4] 比较下列各组中三个数的大小.

? [分析] 本题考查幂函数及指数函数的单调 性.

变式体验 4 已知 x3>x5,求 x 的取值范围.

2

3

图4

解:函数 y= 及函数 y= 的定义域为 R,其中, 函数 y= 的图象分布在一、 二象限, 且关于 y 轴对称, y= 的图象分布在一、三象限,且关于原点对称,如 图 4 所示,由图象可知,若 > ,则 x∈(-∞,0)∪ (1,+∞).
2 x3 3 x5 3 x5 2 x3

2 x3

3 x5

思 悟 升 华 1 .熟练的理解记忆以下五种幂函数的图象及性 质:① y=x,② y= x2,③y= x3,④ y= x- 1,⑤ y= x, 并注意由图象说性质. 2.求幂函数的定义域时,首先改写成分式或根式 形式,再由分式、根式有意义求定义域. 3.从函数的定义域、值域、单调性、奇偶性多角 度了解一般幂函数的特征.

课时作业(21)


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