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点线面关系知识总结


点线面位置关系总复习

?

知识梳理

一、直线与平面平行 1.判定方法 (1)定义法:直线与平面无公共点。 (2)判定定理:

a ?? b ?? a / /b

a / /?

(3)其他方法:

? / /? a??

/>a / /?

a / /?
2.性质定理: a ? ?

a / /b

? ?? ?b
二、平面与平面平行 1.判定方法 (1)定义法:两平面无公共点。

a / /? b / /?
(2)判定定理: a ? ?

? / /?

b ?? a ?b ? P
(3)其他方法:

a ?? a??

? / /? ;

a / /?

? / /?

? / /?

? / /? 2.性质定理: ? ? ? ? a ? ?? ?b

a / /b

三、直线与平面垂直 (1)定义:如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直,则这条直线和这个平面垂直。 (2)判定方法 ① 用定义.

a?b a?c
② 判定定理: b ? c ? A

a ??

b ?? c ??
③ 推论:

a ?? a / /b

b ??

(3)性质 ①

a ?? b ??

a?b



a ?? b ??

a / /b

四、平面与平面垂直 (1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直线二面角,就说这两个平面互相垂直。 (2)判定定理 (3)性质

a ?? a??

? ??

? ?? ? ?? ?l ①性质定理 a ??
a?l

? ??

? ?? ? ?? ?l ② P ?? P A? ? 垂足为 A
? ?? ? ?? ?l P ?? PA ? ?

A?l



PA ? ?

?

“转化思想” 线面平行 线面垂直 线线平行 线线垂直

面面平行 面面垂直

线面平行证明题 求证:空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过另外两边的平面。 已知:如图空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD 的中点。求证:EF

A

∥平面 BCD 证明:连结 BD AE=EB
? EF∥BD
B

E

F D C

AF=FD

EF ? 平面 BCD BD ? 平面 BCD

? EF∥平面 BCD

评析:要证 EF∥平面 BCD,关键是在平面 BCD 中找到和 EF 平行的直线, 将证明线面平行的问题转化为证明直线的平行 如图,空间四边形 ABCD 被一平面所截,截面 EFGH 是一矩形。 (1)求证:CD∥平面 EFGH; (2)求异面直线 AB、CD 所成的角 证明:⑴依题: 矩形 EFGH ? GH∥EF EF ? 面 ACD GH ? 面 ACD
? GH∥CD ? GH∥面 ACD

A
GH ? 面 BCD 面 BCD∩面 ACD=CD

E B H G C F D

GH ? 面 EFGH CD∥GH,且面 BCD∩面 EFGH=GH ? CD ? 面 EFGH
? CD∥平面 EFGH



如⑴可证 CD∥GH 同理可证 AB∥GF 且
? ∠HGF 即为异面直线 AB 与 CD 所成的角

矩形 EFGH ? ∠HGF=90° ∠HGF=90°
1. 如图所示,已知 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点,且 SA=SB=SC,SG 为△SAB 上的高, D、E、F 分别是 AC、BC、SC 的中点,试判断 SG 与平面 DEF 的位置关系,并给予证明. 解 SG∥平面 DEF,证明如下: 方法一 连接 CG 交 DE 于点 H, 如图所示. ∵DE 是△ABC 的中位线, ∴DE∥AB. 在△ACG 中,D 是 AC 的中点, 且 DH∥AG. ∴H 为 CG 的中点. ∴FH 是△SCG 的中位线, ∴FH∥SG. 又 SG ? 平面 DEF,FH ? 平面 DEF,

∴SG∥平面 DEF. 方法二 ∵EF 为△SBC 的中位线,∴EF∥SB. ∵EF ? 平面 SAB,SB ? 平面 SAB, ∴EF∥平面 SAB. 同理可证,DF∥平面 SAB,EF∩DF=F, ∴平面 SAB∥平面 DEF,又 SG ? 平面 SAB,∴SG∥平面 DEF. 平行四边形的性质,平行线的传递性 2. 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是 BC、CC1、 C1D1、A1A 的中点.求证: (1)BF∥HD1; (2)EG∥平面 BB1D1D; (3)平面 BDF∥平面 B1D1H. 证明 (1)如图所示,取 BB1 的中点 M,易证四边形 HMC1D1 是平行四边形,∴HD1∥MC1. 又∵MC1∥BF,∴BF∥HD1. (2)取 BD 的中点 O,连接 EO, D1O, 则 OE 又 D1G
1 2 1 2

DC,

DC,∴OE ? D1G,

∴四边形 OEGD1 是平行四边形, ∴GE∥D1O. 又 D1O ? 平面 BB1D1D,∴EG∥平面 BB1D1D. (3)由(1)知 D1H∥BF,又 BD∥B1D1,B1D1、HD1 ? 平面 HB1D1,BF、BD ? 平面 BDF,且 B1D1∩HD1=D1, DB∩BF=B,∴平面 BDF∥平面 B1D1H. 3. 如图所示,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,M、N 分别是 BC 和 A1B1 的中点. 求证:MN∥平面 AA1C1. 证明 设 A1C1 中点为 F,连接 NF,FC, ∵N 为 A1B1 中点, ∴NF∥B1C1,且 NF= 1 B1C1,
2

又由棱柱性质知 B1C1 ? BC, 又 M 是 BC 的中点, ∴NF ? MC, ∴四边形 NFCM 为平行四边形. ∴MN∥CF,又 CF ? 平面 AA1C1,MN ? 平面 AA1C1,∴MN∥平面 AA1C1. 平行线分线段成比例 4. 如图所示,四边形 EFGH 为空间四边形 ABCD 的一个截面,若截面为平行四边形. (1)求证:AB∥平面 EFGH,CD∥平面 EFGH. (1)证明 ∵四边形 EFGH 为平行四边形,∴EF∥HG. ∵HG ? 平面 ABD,∴EF∥平面 ABD. ∵EF ? 平面 ABC,平面 ABD∩平面 ABC=AB, ∴EF∥AB.∴AB∥平面 EFGH.同理可证,CD∥平面 EFGH.


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