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空间几何体的表面积与体积教案


空间几何体的表面积与体积

空间几何体的表面积与体积
一、柱体、锥体、台体的表面积
A.多面体的表面积 1.多面体的表面积求法:求平面展开图的面积
注:把多面体的各个面平铺在平面上,所得图形称之为多面体的平面积展开图.

2.直棱柱的侧面积与全面积 (1)侧面积 ①求法:侧面展开(如图) ; ②公式: S ?

cl (其中 c 为底面周长, l 为侧棱长) ; (2)表面积:侧面积+两底面积. (3)推论: ①正棱柱的侧面积: S ? cl (其中 c 为底面周长, l 为侧棱长). ②长方体的表面积: S ? 2(ab ? bc ? ca) .(其中 a, b, c 分别为长方体的长宽高) ③正方体的表面积: S ? 6a2 ( a 为正方体的棱长). 3.斜棱柱侧面积与全面积 (1)侧面积: ①求法:作出直截面(如图) ;
注:这种处理方法蕴含着割补思想.

②公式: S ? cl (其中 c 为直截面周长, l 为侧棱长) ; (2)表面积:侧面积+两底面积. 4.正棱锥的侧面积与全面积 (1)侧面积 ①求法:侧面展开(如图) ;
1 ②公式: S ? ch? (其中 c 为底面周长, h ? 为斜高) ; 2 (2)表面积:侧面积+底面积.

5.正棱台的侧面积与全面积 (1)侧面积 ①求法:侧面展开(如图) ;
1 ②公式: S ? (c ? c?)h? (其中 c 、 c ? 为底面周长, h ? 为斜高) ; 2 (2)表面积:侧面积+两底面积. 6.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式间的内在联系:
正棱台侧面积公式: S ? 1 (c ? c?)h?
2

c? ? c

h? ? l

c? ? 0

正棱柱侧面积公式: S ? cl

正棱锥侧面积公式:S ? 1 ch?
2

1

空间几何体的表面积与体积

B.旋转体的表面积 1.圆柱的侧面积与全面积 (1)侧面积: ①求法:侧面展开(如图) ; ②公式: S ? 2? rl ( r 为两底半径, l 为母线长) ; (2)表面积: S ? 2? r (r ? l ) . 2.圆锥的侧面积与表面积 (1)侧面积 ①求法:侧面展开(如图) ; ②公式: S ? ? rl ; (2)表面积: S ? ? r (r ? l ) ( r 为两底半径, l 为母线长).
1 事实上:圆锥侧面展开图为扇形,扇形弧长为 2? r ,半径为圆锥母线 l ,故面积为 ? 2? r ? l ? ? rl . 2

l
r

2? r

l

2? r

l
r

3.圆台的侧面积与表面积 (1)侧面积 ①求法:侧面展开(如图) ; ②公式: S ? ? (r ? R)l ;
事实上:圆台侧面展开图为扇环,扇环的弧长分别为 2? r 、 2? R ,半径分别为 x 、 x ? l ,故圆台侧面积为
S? 1 1 x l ? 2? R ? ( x ? l ) ? ? 2? r ? x ? ? ( R ? r ) x ? ? Rl ,∵ ? ? ( R ? r ) x ? rl ,∴ S ? ? (r ? R)l . 2 2 r R?r

x x
r

2? r 2? R

l

R

(2)表面积: ? r 2 ? ? R2 ? ? (r ? R)l .( r 、 R 分别为上、下底面半径, l 为母线长) 4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的内在联系:
圆台侧面积公式: S ? ? (r ? R)l
R?r
r ?0

圆柱侧面积公式:S ? 2? rl ? cl

圆锥侧面积公式: S ? ? Rl ? 1 cl
2

二、柱体、锥体、台体的体积
A.棱柱、棱锥、棱台的体积 1.棱柱体积公式: V ? Sh ( h 为高, S 为底面面积) ; 2.棱锥体积公式: V ? Sh ( h 为高, S 为底面面积) ; 3.棱台体积公式: V棱台 ? (S1 ? S1S2 ? S2 )h ( h 为高, S1 、 S 2 分别为两底面面积).
事实上,设小棱锥高为 x ,则大棱锥高为 x ? h .于是 V ? S2 ( x ? h) ? S1 x ? S2 h ? (S2 ? S1 ) x .
x
S1
1 3 1 3 1 3 1 3

1 3

1 3

h
S2

2

空间几何体的表面积与体积 ∵
S S1 x x ? 1 ? ? ? ( S2 ? S1 ) x ? S1 h , x?h h S2 S2 ? S1
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

∴ V ? S2 h ? ( S2 ? S1 )( S2 ? S1 ) x ? S2 h ? ( S2 ? S1 ) S1 h ? (S1 ? S1S2 ? S2 )h .

4.棱柱、棱锥、棱台体积公式间的内在联系:
圆台侧面积公式: V棱台 ? 1 (S1 ? S1S2 ? S2 )h
3

S1 ? S2 ? S

S1 ? 0 S2 ? S

圆柱侧面积公式: V ? Sh

圆锥侧面积公式: V ? 1 Sh
3

B.圆柱、圆锥、圆台的体积 1.圆柱的体积: V ? ? r 2 h ( h 为高, r 为底面半径). 2.圆锥的体积: V ? ? R2 h ( h 为高, R 为底面半径). 3.圆台的体积: V ? ? (r 2 ? rR ? R2 )h ( r 、 R 分别为上、下底半径, h 为高).
事实上,设小圆锥高为 x ,则大圆锥高为 x ? h (如图). 于是 V ? ? R 2 ( x ? h) ? ? r 2 h ? ? ( R ? r )( R ? r ) x ? ? R 2 h .
1 3 1 3 1 3 1 3

1 3

1 3

x
r

h

l

R



x r x r 1 1 1 ? ? ? ? ( R ? r ) x ? rh ,∴ V ? ? ( R ? r )rh ? ? R 2 h ? ? (r 2 ? rR ? R 2 )h . x?h R h R?r 3 3 3

4.圆柱、圆锥、圆台体积公式间的内在联系:
圆台体积公式:V ? 1 ? (r 2 ? rR ? R 2 )h
3

R?r

r ?0

圆柱体积公式: V ? ? r 2 h

圆锥体积公式: V ? 1 ? R 2 h
3

三、球的体积与表面积
1.球的体积 V ? ? R3 . 2.球的表面积
S ? 4? R2 .

4 3

四、题型示例
A.直用公式求面积、求体积 例 1 (1)一个正三棱柱的底面边长为 4,侧棱长为 10,求其侧面积、表面积和体积;
侧面积:120;表面积:120+ 120+8 3 ;体积 40 3 .

3

空间几何体的表面积与体积

(2)一个圆台,上、下底面半径分别为 10、20,母线与底面的夹角为 60°,求圆台的侧面积、 表面积和体积;
侧面积: 600? ;表面积: 1100? ;体积:
7000 3 ? . 3

(3)已知球的表面积是 64? ,求它的体积.

结果:

256 ? . 3

(4)在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,用截面截下一个棱锥 C ? A1 DD1 ,求棱锥 C ? A1 DD1 的体积与 剩余部分的体积之比.
结果 1:5 .

练习: 1.已知正四棱锥底面正方形的边长为 4cm,高与斜高的夹角为 30? ,求正四棱锥的侧面积和表面 积.
结果: 32cm2 , 48cm2 .

2.已知平行四边形 ABCD 中, AB ? 8 , AD ? 6 , ?DAB ? 60? ,以 AB 为轴旋转一周,得旋转体. 求旋转体的表面积.
结果: 84 3? .

3.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,则沿面对角线 AC 、 AB1 、 CB1 截得的三棱锥 B ? ACB1 的 体积为 A.
1 2

C B.
1 3

C.

1 6

D.1

4.已知正四棱台两底面均为正方形,边长分别为 4cm、8cm,求它的侧面积和体积.
结果:侧面积: 48 15cm3 ;体积:
224 14 cm 3 . 3

5.正四棱锥 S ? ABCD 各侧面均为正三角形,侧棱长为 5,求它的侧面积、表面积和体积.
结果:侧面积: 25 3 ;表面积: 25(1 ? 3) ;体积:
125 2 . 6

6.若正方体的棱长为 2 ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为

.

2 3

B.根据三视图求面积、体积 例 3 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 2? ? 2 3 C. 2? ?
结果:C.

2

2

B. 4? ? 2 3 D. 4? ?
2 3 3

2 2 正(主)视图

2 2 侧(左)视图

2 3 3

俯视图

练习: 1.一个底面为正三角形,侧棱于底面垂直的棱柱的三视图
4

4

3 3

正视图

侧视图

空间几何体的表面积与体积

如图所示,则这个棱柱的体积为
结果: 36 3 .

.

2.下图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图,如果 直角三角形的直角边长均为 1,那么这个几何体的体积为 A.1 C.
1 3

B. D.

1 2
1 6

正视图

侧视图

俯视图

答案:C.

3.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 3 的等腰三角形, 俯视图是半径为 1 的半圆,该几何体的体积是 A. C. ?
答案:A.

2 ? 3

B. D.

2 2 ? 3 4 3 ? 3
2

正视图 俯视图

侧视图

4.已知一个组合体的三视图如图所示,请根据具体的数据, 计算该组合体的体积.
提示:该组合体结构为:上部是一个圆锥,中部是一个圆柱,下部 也是一个圆柱. 结果:
176 ? . 3

2 4 4 10

10

1

正视图

1

侧视图

2

俯视图

5.下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表 面积是 D A. 9? B. 10? C. 11? D. 12? C.几何体表面上最短距离问题 例 三棱锥 P ? ABC 的侧棱长均为 1,且侧棱间的夹角都是 40? ,动 点 M 在 PB 上移动,动点 N 在 PC 上移动,求 AM ? MN ? NA 的最小值. D.与球有关的组合问题 例 1(1)若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
5
结果: 3 .

.

结果: 27? .

空间几何体的表面积与体积

(2)若一个球内切于棱长为 3 的正方体,则该球的体积为

.

结果: ? .

9 2

例 2 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为的铁球,并 注入水,使球浸没在水中并使水面正好与球相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.结果: 15r .
3

变式训练: 1.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 3 , AD ? 4 , AA1 ? 5 ,则其外接球的体积为 2.求棱长为 1 的正四面体的外接球、内切球的表面积.
注:棱长为的正四面体中常用数据: (1)高:
6 6 6 a ,中心到顶点距离: a ,中心到面距离: a ,中心到顶点距离:中心到面的距离=3:1. 3 4 12 2 2 3 a. a .(3)对棱距离: 2 12

.

(2)全面积: 3a2 ,体积:

(4)棱面角: aaiccos

3 1 6 2 2 或 aicsin ,面面角: aic cos 或 aicsin . 3 3 3 3

E.几个重要结论的补充及应用 结论 1 锥体平行截面性质 锥体平行截面与锥体底面相似,且与底面积比等于两锥侧面积面积比,等于两锥全面积面积比, 等于两锥对应线段(对应高、对应斜高、对应对角线、对应底边长)比的平方. 结论 2 结论 3 若圆锥母线长为 l ,底面半径为 r ,侧面展开图扇形圆心角为 ? ,则 ? ?
2? r . l

若圆台母线长为 l ,上、下底面半径分别为 r 、 R ,侧面展开图扇环圆心角为 ? ,则
?
2? r x r x r rl ? ? ? ?x? .∵ , x x?l R l R?r R?r

? ? 2? ?

R?r . l

证明:设小圆锥母线长为 x ,则有 x? ? 2? r ? ? ?
2? r 2? r ( R ? r ) R?r ? ? 2? ? . x rl l

∴? ?

应用 1.一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍,则圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数为 A. 120? B. 180? C. 240? D. 300? 2.一个圆锥的高是 10cm,侧面展开图是半圆,求圆锥的侧面积.
解: 设圆锥底面半径为 r , 圆锥母线长为 l , 则扇形弧长为 2? r ?
200? . 3

B

2? l 10 3 20 3 , l ? 2r .在 Rt△SOA 中,l 2 ? r 2 ? 102 , ∴ 有此得 r ? ,l ? . 3 3 2

∴圆锥侧面积为 S ? ? rl ?

3.露露从纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片(如图) ,用它们恰好能围成一个圆锥模型,若圆 的半径为 1.扇形的圆心角等于 120°,则此扇形的半径为 C A.
1 3

B. 6

C.3
6

D.6

空间几何体的表面积与体积

4.圆台的上、下底面半径分别为 10cm 和 20cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180? ,那么 圆台的表面积是多少?
结果: 1100? cm2 .

5.圆锥母线长为 1,侧面展开图的圆心角为 240? ,则圆锥体积为 A.
2 2 ? 81

C D.
10 ? 81

B.

8 ? 81

C.

4 5 ? 81

6.若圆锥的侧面展开图是圆心角为 120? 、半径为 l 的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是 A. 3: 2 B. 2 :1 C. 4 : 3 D. 5: 3
结果:C.

F.空间几何体体积求法例析 A.公式法 例 1 四棱锥 P ? ABCD 的顶点 P 在底面中的射影恰好是 A , 其三视图如图,则四棱锥 P ? ABCD 的体积为 .
解:根据三视图可已将四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,高为 a , P 利用锥体体积公式 VP ? ABCD
1 1 ? a 2 ? a ? a3 . 3 3
主视图

a
侧视图

a a

点评:1.计算几何体体积需要区别锥体、柱体、台体、 球体.它们的体积各自有不同的特征,注意准确运用体积公式.
A

D B

C
俯视图

2.如果是只求体积,根据“长对正,宽相等,高平齐”分别求出几何体的底面积和高,直接计算体积即可,若几何体比较复杂或涉及面 积等计算时,则需复原几何体(本几何体复原后的图形如图).

例 2 一个几何体的俯视图是一个圆,正视图和侧视图是全等的矩形,它们水平放置时(一边 在水平位置上) 它们的斜二测直观图是边长为 6 和 4 的平行四边形, , 则该几何体的体积为 .
解:斜二测画法原则是“横长不变纵减半”.据此,正视图的长可能是 6 或 4,高是 8 或 12,而且是矩形.可见该几何体是圆柱体,底面直 径可能是 6 或 4,高是 8 或 12.根据圆柱体体积公式, V ? ? ? 32 ? 8 ? 72? 或 V ? ? ? 22 ?12 ? 48? .∴该几何体体积为 72? 或 48? .

例 3 用一块长 3m,宽 2m 的矩形木板,在墙面互相垂直的墙角处,围出一个直三棱柱形谷仓, 在下面的四种设计中,容积最大的是 A

2
45
?

3
45?

2
30?

3
30?

解:略.

3

2

3

2

A B C A B.分割法 例 4 已知一个多面体的表面积为 36,它的内切球的半径为 2,求该多面体的体积.
解:设多面体有 n 个面,每个面的面积分别为 S1, S2 ,???, Sn ,则 S1 ? S2 ? ??? ? Sn ? 36 .∵多面体内切球的球心到多面体个个面的距离都等于 球的半径 R ,运用分割法,以内切球球心为顶点,多面体的每个面为底面,将多面体分割成 n 个棱锥,于是多面体的体积等于这个棱锥的 体积和,即
1 1 1 1 1 V ? S1 R ? S1 R ? ? ? ? ? S1 R ? R( S1 ? S2 ? ? ? ? ? Sn ) ? ? 36 ? 2 ? 24 . 3 3 3 3 3

例 5 如图 3,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形, EF / / AB , EF ?
7

3 , 2

空间几何体的表面积与体积

EF 与 AC 面的距离为 2,则该多面体的体积为
解:取 AB 、 CD 边的中点 M 、 N ,将多 面体分割成斜三棱柱和四棱锥, 利用三棱柱体积公式及四棱锥体积公式,
D
? ? 不难求得多面体积: V ? ? ? 3 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 1 ?2 3 ? 2 1 3 3 2 15 . 2

.
E F
C

E D A
M

F
C

N

A

B

B

点评: 本题中的几何体是不规则的, 设法将几何体分割 (或补) 成规则的常见的几何体, 是解题的关键, 由于 EF / / AB , 并没有说明 ADE 的确切位置,因此可以将其位置特殊化,从而得到直三棱柱 ADB ? MNF 和四棱锥 F ? MNCB ,这是本题解法一个巧妙之处.

C.补形法 例 6 已知三棱柱的一个侧面面积为 S ,相对的棱距离该侧面的
1 距离是 h ,求证:该三棱柱的体积是 V ? Sh . 2
证明:设三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 ABB1 A1 的面积为 S ,侧棱 CC1 到该侧面的距离为 h . 以三棱柱的侧面 ABB1 A1 为底面,将三棱柱补形得到四棱柱,如图.则四棱柱的高恰等于 h .四棱 柱的体积为 V ? Sh ,它的一半,即为三棱柱的体积 V ? Sh .∴三棱柱的体积为 V ? Sh . 点评:本体的结论可以作为结论用.
1 2 1 2

C

C1

D A B
A1

D1

B1

例 7

已知 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直,且 △PAB 、 △PAC 、 △PBC 的面积分别为 1.5 cm2 ,
cm2 .

2 cm2 ,6 cm2 ,则过 P 、 A 、 B 、 C 四点的外接球的体积为

解: PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直, 则以它们为基础, 补形成为一个长方体, 长方体的对角线是外接球的直径.设三条棱长分别为 x, y, z , 则 xy ? 3 , xz ? 4 , yz ? 12 ,解得 xyz ? 12 , x ? 1 , y ? 3 , z ? 4 .从而 (2r)2 ? 12 ? 32 ? 42 , 4r 2 ? 26 , r ?
4 4 ? 26 ? 13 26 ? . 3
26 . 2

3 ∴ V ? ? r3 ? ? ? ?r ? 3 3 ? 2 ? ? ?

点评: 对于三条棱两两互相垂直或者 3 个侧面两两互相垂直的三棱柱以及正四面体或对棱分别相等的三棱锥, 都可以补形成为长方体 或者正方体,它们有共同的外接球,外接球的直径正好是长方体或正方体的体对角线,这样就很容易将球体和三棱锥联系起来.
A1

D.特殊化法 例 8 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 体积为 V ,点 P 、 Q 分别在侧 棱 AA1 、 DD1 上, AP ? D1Q ,则四棱锥 B ? APQD 的体积为 .
解:将条件 AP ? D1Q 特殊化,使得 P 和 A1 重合, Q 和 D 重合,四棱锥 B ? APQD 就 变成三棱锥 B ? ADA1 ,它和直三棱柱等底等高,∴四棱锥 B ? APQD 的体积等于 S△ABD ? h ? V .
1 3 1 3

P
B1

D1

A

Q

D B

E.等体积转化(变换角度) 例 9 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,如果分别过 BC 、 A1 D1 的 2 个平行平面将长方体分成 体积相等的 3 部分,那么
C1 N ? ND1

.
A1

D1

N
B1

C1

解:将长方体站立放置,从而更容易观察到相关的几何体分别是直三棱柱、直四棱柱、

M

D

8
A
G

H B

C

空间几何体的表面积与体积 直三棱柱.∵长方体被分成体积相等的三部分,即 VD HD? AGA ? VD NCH ? A MBG ? VNC C?MB B .由于
1 1 1 1 1 1

它们的等高且等体积,∴底面积也相等,就是说 S△A GA ? S△A MBG ? S△MB B ,
1 1 1



CN 1 AG ? AA1 ? GB ? AA1 ,∴ AG ? 2GB ,∴ 1 ? 2 . ND1 2

例 10 如图,已知 E 、 F 分别是棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 棱 AA1 、 CC1 的中点,求三棱锥 C1 ? B1 EF 的体积.
解: VC ? B EF ? VE ? B FC ? S△B C F ? AB ?
1 1 1 1 1 1

D1 A1 B1

C1

F
C

E
1 3 1 3 a . 12

D B

A

点评:在三棱锥求体积问题中,变换角度就是换顶点、换底面,它是计算三棱锥体积问题长见的转化策略之一,它的基本依据是变换 前后等体积.转换的标准是相应的底面和高是否容易求解.显然本题直接按照题中所给的角度或者转换成三棱锥都不便于求底面和高.

练习: 1.正六棱锥 P ? ABCDEF 中, G 为 PB 的中点,则三棱锥 D ? GAC 与三棱锥 P ? GAC 体积之比为 C A. 1:1 B. 1: 2 C. 2 :1 D. 3: 2

2.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正 方形,且 △ADE 、 △BCF 均为正三角形, EF / / AB , EF ? 2 , 则该多面体的体积为 A A.
2 3

B.

3 3

C.

4 3

D.

3 2

3.某几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,则这个几何体的体积是 B 10 20 10 20
正视图

20
侧视图

20
俯视图

A.

4000 8000 cm3 B. cm3 3 3

C. 2000 cm3

D. 4000 cm3 A
6 正视图

3

3

4.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的表面积为 A. 48 ? 12 2 B. 48 ? 24 2 C. 36 ? 12 2

4

4

D. 36 ? 24 2

6 侧视图

6 3 6 俯视图

5.若正方体外接球的体积是

32 ? ,则正方体的棱长为 3

9

空间几何体的表面积与体积

A. 2 2
选D

B.

2 3 3

C.

4 2 3

D.

4 3 3

7.如图, 已知多面体 ABC ? DEFG , , , 两两垂直, 平面 ABC / / 平面 DEFG , 平面 BEF / / AB AC AD 平面 ADGC , AB ? AD ? DG ? 2 , AC ? EF ? 1 ,则该多面体的体积为 A.2 B.4 C.6 D.8 9.一个长方体的某 3 个面的面积分别是 2 , 3 , 6 .则这个长方体的体积是 . 10.设等边三角形 △ABC 的边长为 a , P 是 △ABC 内的任意一点,且 P 到三边 AB , BC , CA 的
3 ;由以上平面图形的特性类比空间图形:设正四 2 面体 ABCD 的棱长为 a ,P 是正四面体 ABCD 内的任意一点, P 到四个面的距离分别为 d1 , 2 , 3 , 且 d d

距离分别为 d1 , d 2 , d 3 ,则有 d1 ? d2 ? d3 为定值

d 4 ,则有 d1 ? d2 ? d3 ? d4 为定值是

.

结果:

6 . 3

11.某球的外切圆台上下底面半径分别为 r , R ,则该球的体积是

.

12.在三棱锥 A ? BCD 中, AB ? CD ? 6 , AC ? BD ? AD ? BC ? 5 ,则该三棱锥的外接球的表面 积为 .
解:依题意得,该三棱锥的三组对棱分别相等,因此可将该三棱锥补成长方体,设该长方体的长、宽、高分别为 a, b, c ,且其外接球的
? a 2 ? b 2 ? 62 , ? ? c 2 ? a 2 ? 52 ?

半径为 R ,则 ? b 2 ? c 2 ? 52 , ,得 a2 ? b2 ? c2 ? 43 ,即 (2R)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 43 .

∴三棱锥外接球的表面积为 S ? 4? R2 ? 43? .

13.各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为 4,体积为 16,则球的体积是 11.体积为 8 的一个正方体,其全面积与球 O 的表面积相等,则球 O 的体积等于
果:
8 6?

.

结果: 8 6? .

.



?

.

14.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a ? _____.结果:
1 1 3 正视图 俯视图 2 侧视图

3.

15.三棱锥的顶点为 P , PA , PB , PC 为三条侧棱, PA , PB , PC 两两互相垂直,又 PA ? 2 , PB ? 3 , PC ? 4 ,则三棱锥 P ? ABC 的体积为_____. 结果:4. 14.半径为 R 的球的外切圆柱的表面积为 ,体积为 .
结果: 6? R2 ; 2? R3 .

16.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各顶点都在同一球面上,若 AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此 球的表面积等于 .结果: 20?
.

10

空间几何体的表面积与体积

17.三个球的半径 R1 , R2 , R3 , 满足 R1 ? 2R2 ? 3R3 , 则它们的表面积 S1 , S2 , S3 , 满足的关系是
结果: S1 ? 2 S2 ? 3 S3 .

.

18.如图,已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长 的最大值为 a ,最小值为 b ,那么圆柱被截后剩下部分的体积是 .
解:补形(如图) ,结果:
? r 2 (a ? b)
2

a
b
r

.

a ?b

b

r

19.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示.墩的上半部分是正四棱锥 P ? EFGH , 下 半部分是长方体 ABCD ? EFGH .图 5、图 6 分别是该标识墩的正视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧视图; (2)求该安全标识墩的体积.
结果: (1)与正视图一样; (2) 64000 cm3 .

P

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