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1.1.3 正弦定理、余弦定理及其运用


正弦定理、余弦定理及其运用

本节课内容目录:

? 一、考纲解读 ? 二、正弦定理及其变形 ? 三、余弦定理及其变形 ? 四、实际应用问题中的基本概念和术语 ? 五、例题讲解 ? 六、高考题再现 ? 七、小结

一、考纲解读:
在课标及《教学要求》中对正弦定理、余 弦定理的要求均为理解(B)。在高考试题中

,出现的有关试题大多为容易题,主要考 查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进 行恒等变换的技能及运算能力,以化简、 求值或判断三角形形状为主。

二、正弦定理及其变形:
A
b c a C

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
a b c sin A ? ,sin B ? ,sin C ? 2R 2R 2R

B

a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C
( 其中 R是 ?ABC 外接圆的半径)

a : b : c ? sin A : sin B : sin C
S?ABC

1 1 1 ? bc sin A ? ac sin B ? ab sin C 2 2 2

解决题型:
1、已知两角和任一边,求其他两边和一 角;(三角形形状唯一) 2、已知两边和其中一边的对角,求另一 边的对角。(三角形形状不一定唯一)
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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三、余弦定理及其变形:
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
A
b

b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

c
a C

c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

B

b2 ? c2 ? a 2 cos A ? ; 2bc a ?c ?b cos B ? ; 2ac a 2 ? b2 ? c2 cos C ? . 2ab
2 2 2

解决题型:
1、已知三边,求三个角;(只有一解) 2、已知两边和它们的夹角,求第三边 和其他两个角。(只有一解)
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四、实际应用问题中的基本概念和术语

? 仰角和俯角是与目标视线在同一铅垂平面内
的水平视线和目标视线的夹角,其中目标视 线在水平线上方时叫仰角;目标视线在水平 线下方时叫俯角。 ? 方位角:一般指北方向线顺时针转到目标方 向线的水平角。

五、例题讲解
c 例1.在锐角 ?ABC 中,若 C ? 2 B, 则 b 。 的范围是

b c 解:由 sin B ? sin C 得到

c sin C sin 2 B ? ? ? 2 cos B b sin B sin B

? 00 ? C ? 2B ? 900 ?00 <B<450
c 则 ? 2cos B ? b

?

2, 2

?

(某学生的解)

错因分析:

?ABC是锐角三角形,则要
0 0

00 ? A ? 900 ,

求 0 ? B ? 90 ,00 ? C ? 900.前面解法忽视了对 A 的讨论。

因为

正确解答
b c ? 解:由 sin B sin C 得到

c sin C sin 2 B ? ? ? 2 cos B b sin B sin B
? 00 ? 2B ? 900 ?00 <B<450又? A+B+C=1800

? A=180 -B-C=180 -3B<90
0 0

0



30 <B<45

0

0

c 则 ? 2cosB ? b

?

2, 3

?

例2. 在?ABC中,a ? x, b ? 2, B ? 45 ,
0

若这个三角形有两解,求
C

x 的取值范围。

x
b

B A2

2 x 2

2 解:如图作 CD ? AB, CD ? x b 2

若合题意 的三角形有两个,
A1

则以C为圆心,2为半径画弧应与射线BD有两

D

2 个交点,则要求 x ? 2 ? x,即2 ? x ? 2 2 2

解得情况如下: 在?ABC中,已知a, b和A时,
A为锐角 A为钝角或直 角
C
C a B A B B
1 2

C

C

图形

b A

A

B

A

B

关系 a=bsinA bsinA<a<b 式 解的 个数 一解 两解

a?b
一解

a>b 一解

a?b
无解

a ? b sin A 时,无解; 上表中A为锐角时,

a ? b, a ? b 均无解。 A为直角时,

例3. 在 ?ABC 中,已知 (a2 ? b2 )sin( A ? B) ?
(a2 ? b2 )sin( A ? B) ,判定 ?ABC 的形状。

解法一:原式可化为
(a ? b )sin C ? (a ? b )(sin Acos B ? cos Asin B)
2 2 2 2

即:
2 2 2 2 2 2 a a ? c ? b b b ? c ? a 2 2 2 2 a ? b ? (a ? b )( ? ? ? ) c 2ac c 2bc

2 2 2 2 a ? b a ? b 2 2 a 2 ? b 2 ? (a 2 ? b 2 ) , 即( a ? b ) ( ? ?1 )=0 2 2 c c

得: a ? b 或 a 2 ? b2 ? c 2 即 ?ABC 是等腰三角形或是直角三角形。

解法二:原式可化为
(sin 2 A ? sin 2 B)(sin A ? cos B ? sin B ? cos A) ?

(sin A ? sin B)(sin A ? cos B ? cos A ? sin B) 化简得: 2 2 sin A ? cos A ? sin B ? sin A ? sin B ? cos B ? 0
2 2

也即 sin A ? sin B(sin A ? cos A ? sin B ? cos B) ? 0
? A ? (0, ? ), B ? (0, ? ) ?sin A ? 0,sin B ? 0

则sin 2 A ? sin 2B,即A=B,或A+B=900
即 ?ABC 是等腰三角形或是直角三角形。

点评:
判断三角形形状时,可以将边化到角也可以 将角化到边,或边角同时互化。在转化过程 中,三角形边角具有的基本性质不能忘记。 如内角和为 1800 ,每个内角大于 00 小于1800 等。

例四:?ABC 内角 A, B , C 的对边分别是 ? 2 a, b, c 且满足b ? ac. 求证:0 ? B ?
在?ABC中 证明:
a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac ? cos B ? ? 2ac 2ac 2ac ? ac 1 ? ? ? 又B ? (0, ? ) ? 0 ? B ? 2ac 2 3

3

点评:本题通过基本不等式的运用构造不等关 系,再利用三角形的内角具有的范围,得到 结论.

例五、如图所示,某海岛上一观察哨A上午 0 11时测得一轮船在海岛北偏东 60 的C处,
12时20分测得船在海岛北偏西 60 的B处, 12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海
0

岛5km 的E港口, 如果轮船始终匀速直线前
进,问船速多少?

分析:
已知从C到B及B到E的时间,要知船速度, 只需知道CB,BE或CE中的任一长度即可。 题中只知AE=5km,那么只要将已知长度的 边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三 角形中,或是通过间接的途径纳入到同一个 三角形中,再通过正弦定理或余弦定理进行 计算即可。

解:轮船从C到B用时80分钟, 从B到E用时20

分钟, 而船始终匀速前进,由此 可见:
BC ? 4EB,设 EB ? x ,则 Bc ? 4 x,由已知得
?BAE ? 30 , ?EAC ? 150
0 0

在 ?AEC 中,由正弦定理
EC AE AE ? sin ?EAC ? ? sin C ? sin ?EAC sin C EC

5sin150 1 ? ? 5x 2x

0

在 ?ABC 中,由正弦定理得:
1 4x ? BC AB BC ? sin C 4 3 2 x ? ? AB ? ? ? 0 0 sin C 3 sin120 sin120 3 2

在 ?ABE 中,由余弦定理得:

BE 2 ? AB2 ? AE 2 ? 2 AB ? AE ? cos300
16 4 3 3 31 31 ? 25 ? ? 2 ? 5 ? ? ? , 故BE ? 3 3 2 3 3

所以船速

31 BE v? ? 3 ? 93 1 t 3

六、高考题再现:
1.(2008山东理)已知 a, b, c为 ?ABC 三个内角
?? ? 的对边,向量 m ? ( 3, ?1), n ? (cos A,sin A),

?? ? 若 m ? n,且

a cos B ? b cos A ? c sin C,
_

则角B=_

?? ? ? ? ? ? 分析:由 m ? n, 得到m ? n ? 0. 转化为三角问题。

2.(2009全国Ⅰ理) 在 ?ABC 中,内角 A、B、C的对边 长分别为 a, b, c. 已知
a2 ? c2 ? 2b, 且sin A cos C ? 3cos Asin C,

求b. 分析:求边长,考虑将角向边转化。

3.(2009浙江理) 在?ABC 中,三个内角 A, B, C A 所对的边分别为 a, b, c. 且满足 cos ? 2
? ???? 2 5 ??? , AB ? AC ? 3. 5

(1)求 ?ABC 的面积; (2)若 b ? c ? 6, 求

a 的值.

分析:利用倍角公式求出A的三角函数值, 通过向量的数量积求出 bc 的积,即可。

4.(2010江苏)在锐角三角形 ABC中, A、B、C
tan C tan C ? ? tan A tan B

b a 的对边分别为 a, b, c, ? ? 6 cos C, 则 a b
_ _

分析:可将所求结论切化弦,再利用正弦、 余弦定理求解。

小结:

处理三角形问题,必须结合三角 形全等的判定定理理解斜三角形 的四类基本解型,特别是“边边 角”型可能有两解、一解或无解 的三种情况。
? 三角形中的三角变换,实质就是有条件的
三角式的计算与证明。

祝同学们暑期愉 快、学习进步!

小结作业

1.以三角形为背景求值或证明三角等式, 是三角变换中的两个基本问题,活用正、 余弦定理,从整体进行变形和运算,是 解题的基本思想.
2.利用正、余弦定理化边为角,或者化 角为边,是处理三角形中三角变换问题 的基本策略,是实现三角运算与代数运 算相互转化的主要手段.

作业:P10习题1.1

A组:3.


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