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2013-2014学年度第一学期中山市高三期末统一考试(理数)


中山市高三级 2013—2014 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(理科)
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答 题卡上。 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其

它答案,不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设复数 z1 ? 1 ? 3i , z2 ? 1 ? i ,则 z1 ? z2 在复平面内对应的点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 2.设全集 U 是实数集 R, M ? ? x x ? 2或x ? ?2? , N ? x x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 则图中阴影部分所表示的集合是 ( A. {x | ?2 ? x ? 1} C. {x |1 ? x ? 2} ) B. {x | ?2 ? x ? 2} D. {x | x ? 2}
(第 2 题图)

) D.第四象限

?

?

1? , b ? ? x, ? 2 ? ,若 a ∥ b , 3.已知平面向量 a ? ? 2 ,
则 a + b 等于( A. ? ?2, ?1? B. ? 2,1? C. ? 3, ?1? D. ? ?3,1?
(第 4 题图)

)

4. 定义某种运算 S ? a ? b , 运算原理如上图所示, 则式子 ( 2 tan

5? ?1? ) ? ln e ? lg 100 ? ? ? 4 ?3?

?1

的值为( ) A.4 B .8 C.11 D.13 5.把边长为 1的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得平面 ABD ? 平面 CBD ,形成三
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棱锥 C ? ABD 的正视图与俯视图如下图所示,则侧视图的面积为 (



A.

1 2

B.

1 4

C.

2 4

D.

2 2

6.下列四个命题中,正确的有 ①两个变量间的相关系数 r 越小,说明两变量间的线性相关程度越低;
2 ②命题 p :“ ?x0 ? R , x0 ? x0 ? 1 ? 0 ”的否定 ?p :“ ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ”;

③用相关指数 R 2 来刻画回归效果,若 R 2 越大,则说明模型的拟合效果越好; ④若 a ? 0.3 , b ? 2 , c ? log 0.3 2 ,则 c ? a ? b .
2 0.3

A.①③④

B.①④

C.③④

D.②③

7.对 ?a 、 b ? R ,运算“ ? ”、“ ? ”定义为: a ? b = ? 则下列各式其中不恒成立的是( ⑴ a ?b ? a ?b ? a ? b ⑶ [a ? b] ?[a ? b] ? a ? b A.⑴、⑶ C.⑴、⑵、⑶ )

? a, (a ? b) ? a, (a ? b) , a ?b = ? , ?b.( a ? b) ?b.( a ? b)

⑵ a ?b ? a ?b ? a ? b ⑷ [a ? b] ? [a ? b] ? a ? b B. ⑵、⑷ D.⑴、⑵、⑶、⑷

8. 已知函数 y ? f ( x) ( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ,且 x ? [ ?1,1] 时, f ( x) ? ? x ? 1 , 则当 x ? [ ? 10 ,10 ] 时, y ? f ( x) 与 g ( x) ? log 4 x 的图象的交点个数为( A.13 B.12 C.11 D.10 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.已知函数 f ( x) ? ? )

?log 3 x, x ? 0 1 ,则 f ( f ( )) ? x 9 ?2 , x ? 0

.

10.如图,一不规则区域内,有一边长为 1 米的正方形,向 区域内随机地撒 1000 颗黄豆,数得落在正方形区域内 (含边界)的黄豆数为 375 颗,以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面 积为 平方米.(用分数作答)
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11.在二项式 ? x ?
2

? ?

1? 4 ? 的展开式中,含 x 的项的系数是 x?
, cos( ??

5



12.已知 0 ? ? ?

?
2

?
6

)?

3 ,则 cos? ? 5

.

13.已知数列 {an } 为等差数列,若 a2 ? 3 , a1 ? a6 ? 12 , 则 a7 ? a8 ? a9 ? .

14.如图, AB / / MN ,且 2OA ? OM ,若 OP ? xOA ? yOB , (其中 x, y ? R ) ,则终点 P 落在阴影部分(含边界) 时,

??? ?

??? ?

??? ?

y?x?2 的取值范围是 x ?1

.

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 12 分) 设平面向量 a ? (cos x,sin x) , b ? (

?

?

? ? 3 1 , ) ,函数 f ( x) ? a ? b ? 1 . 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的值域和函数的单调递增区间; (Ⅱ)当 f (? ) ?

9 ? 2? 2? ,且 ? ? ? 时,求 sin(2? ? ) 的值. 5 6 3 3

16. (本题满分 12 分) 某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽 出 80 名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布 直方图如图所示. (Ⅰ)估计这次测试数学成绩的平均分和众数; (Ⅱ)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都 不相同,且都超过 94 分.若将频率视为概率,现用 简单随机抽样的方法,从 95,96,97,98,99,100 这 6 个数中任意抽取 2 个数,有放回 地抽取了 3 次,记这 3 次抽取中,恰好是两个学生的数学成绩的次数为 ? ,求 ? 的分布列 及数学期望 E? .
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17. (本小题满分 14 分) 如图,在底面是矩形的四棱锥 P ? ABCD 中,

P E A D

PA ⊥平面 ABCD , PA ? AB ? 2 , BC ? 4 . E 是 PD 的中点,
(Ⅰ)求证:平面 PDC ⊥平面 PAD ; (Ⅱ)求二面角 E ? AC ? D 的余弦值; (Ⅲ)求直线 CD 与平面 AEC 所成角的正弦值 18. (本小题满分 14 分) 数列{ an }的前 n 项和为 S n , S n ? an ? ? B

C

1 2 3 n ? n ? 1(n ? N *) . 2 2

(Ⅰ)设 bn ? an ? n ,证明:数列 ?bn ? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 Tn ; (Ⅲ)若 cn ?

bn 5 ,数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ,证明: Tn ? . 1 ? bn 3
x

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? kx ,. (Ⅰ)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R, f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅱ)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: n ln F (1) ? ln F (2) ? ? ? ln F (n) ? ln(en ?1 ? 2)(n ? N ? ) 2 20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x( x ? a) , g ( x) ? ? x ? (a ? 1) x ? a (其中 a 为常数) ;
2 2

(Ⅰ)如果函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 有相同的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)设 a ? 0 ,问是否存在 x0 ? (?1, ) ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,若存在,请求出实 数 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)记函数 H ( x) ? [ f ( x) ? 1] ? [ g ( x) ? 1] ,若函数 y ? H ( x) 有 5 个不同的零点,求 实数 a 的取值范围.

a 3

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中山市高三级 2013—2014 学年度第一学期期末统一考试

理科数学参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. DAAD BCBC 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.

1 ; 4

10.

8 3

11. 10 ;

12.

4?3 3 ; 10

13. 45;

14. [ , 4]

4 3

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 12 分) 设平面向量 a ? (cos x, sin x) , b ? (

3 1 , ) ,函数 f ( x) ? a ? b ? 1 。 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的值域和函数的单调递增区间; (Ⅱ)当 f (? ) ?

9 ? 2? 2? ,且 ? ? ? 时,求 sin(2? ? ) 的值. 5 6 3 3
3 1 3 1 , ) ?1 ? cos x ? sin x ? 1 ………(2 分) 2 2 2 2

15.解: 依题意 f ( x) ? (cos x, sin x) ? (

? s i nx (?

?
3

(4 分) ) ? ……………………………………………… 1

(Ⅰ) 函数 f ( x) 的值域是 ? 0, 2 ? ;………………………………………………(5 分) 令?

?
2

? 2k? ? x ?

?
3

?

?
2

解得 ? ? 2k? ,

5? ? ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z ) .……………………(8 分) 6 6 ? 9 ? 4 (Ⅱ)由 f (? ) ? sin(? ? ) ? 1 ? , 得 sin(? ? ) ? , 3 5 3 5 ? 2? ? ? ? 3 因为 ? ? ? (10 分) , 所以 ? ? ? ? ? , 得 cos(? ? ) ? ? ,……………………… 6 3 2 3 3 5 2? ? ? ? 4 3 24 sin(2? + ) ? sin 2(? ? ) ? 2sin(? ? ) cos(? ? ) ? ?2 ? ? ?? 3 3 3 3 5 5 25
所以函数 f ( x) 的单调增区间为 [? ……………………………………………………………………(12 分)
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5? ? (7 分) ? 2k? ? x ? ? 2k? ……………… 6 6

16.(本题满分 12 分) 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出 80 名学生,其数学成绩(均为整数) 的频率分布直方图如图所示. (I)估计这次测试数学成绩的平均分; (II)假设在[90,100]段的学生的数学成绩 都不相同,且都超过 94 分.若将频率视为概率, 现用简单随机抽样的方法,从 95,96,97,98, 99,100 这 6 个数中任意抽取 2 个数,有放回地 抽取了 3 次,记这 3 次抽取中,恰好是两个学生 的数学成绩的次数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? . 16. 解: (I)利用中值估算抽样学生的平均分: 45× 0.05+55× 0.15+65× 0.2+75× 0.3+85× 0.25+95× 0.05 =72. 众数的估计值为 75 分 所以, 估计这次考试的平均分是 72 分. …………… (3 分) …………… (5 分) ……………(6 分)

(注:这里的众数、平均值为估计量,若遗漏估计或大约等词语扣一分)
2 (II)从 95, 96,97,98,99,100 中抽 2 个数的全部可能的基本结果数是 C6 ? 15 ,

有 15 种结果,学生的成绩在[90,100]段的人数是 0.005× 10× 80=4(人) ,
2 ? 6, 这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是 C4

6 2 ? . 15 5 随机变量 ? 的可能取值为 0、1、2、3,则有.
两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率 P ?

…………… (8 分)

2 3 ∴ P(? ? k ) ? C3k ( )k ( )3?k , k ? 0,1,2,3 5 5
∴变量 ? 的分布列为:
?

0

1

2

3

P

8 125

36 125

54 125

27 125
…………(10 分)

E? ? 0 ?

8 36 54 54 6 ? 1? ? 2? ? 3? ? 125 125 125 125 5

…………(12 分)

2 解法二. 随机变量 ? 满足独立重复试验,所以为二项分布, 即 ? ~ B(3, ) ………(10 分) 5 E? ? np ? 3 ? 2 6 ? 5 5
…………(12 分)

高三数学(理科)答案

第 2 页(共 9 页)

17. (本小题满分 14 分) 如图,在底面是矩形的四棱锥 P ? ABCD 中,

P E A D

PA ⊥平面 ABCD , PA ? AB ? 2 , BC ? 4 . E 是 PD 的中点, (Ⅰ)求证:平面 PDC ⊥平面 PAD ; (Ⅱ)求二面角 E ? AC ? D 的余弦值;
(Ⅲ)求直线 CD 与平面 AEC 所成角的正弦值 B 17.解法一: (Ⅰ)? PA ? 平面ABCD , CD ? 平面ABC ,

C

(2 分) ? PA ? CD . ---------------------------------------------------------------------------------

? ABCD是矩形 ,
而 PA ? AD ? A ,

? AD ? CD . PA, AD ? 平面 PAD
………………………(4 分)

? CD ? 平面PAD .
CD ? 平面PDC

?平面PDC ? 平面PAD .
∵ PA ? 平面 ABCD , ∴ EO ? 平面 ABCD .

………………………(5 分)

(Ⅱ)连结 AC 、 EC ,取 AD 中点O , 连结 EO , 则 EO // PA , 过 O 作 OF ? AC 交 AC 于 F ,连结 EF , 则 ?EFO 就是二面角 E ? AC ? D 所成平面角. 由 PA ? 2 ,则 EO ? 1 . 在 Rt?ADC 中, AD ? CD ? AC ? h 解得 h ? ……………………… (7 分)

4 5 . 5
………………………(8 分)

因为 O 是 AD 的中点,所以 OF ?

2 5 . 5 3 5 . 5

而 EO ? 1 ,由勾股定理可得 EO ?

………………………(9 分)

2 5 OF 2 cos ?EFO ? ? 5 ? . EF 3 3 5 5
又∵ CD ?

……………………… (10 分)

(Ⅲ)延长 AE ,过 D 作 DG 垂直 AE 于 G ,连结 CG ,

AE ,∴ AE ⊥平面 CDG , 过 D 作 DH 垂直 CG 于 H , 则 AE ? DH ,
高三数学(理科)答案 第 3 页(共 9 页)

? 平面 AGC , 即 DH ? 平面 AEC , 所以 CD 在平面 ACE 内的射影是 CH , ?DCH 是直线与平面所成的角.
所以 DH ……………………… (12 分)

? DG ? AD ? sin ?DAG ? AD ? sin ?OAE ? AD ? 16 ? 5 6 5 ?4? . CD ? 2 ? CG ? 25 5

OE 1 4 5 ? 4? ? . AE 5 5
P E A O F C H G D

4 5 DG 2 ? sin ?DCG ? ? 5 ? .……………(14 分) CG 6 5 3 5
B

解法二:以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴, AP 所在直线为 z 轴建 立空间直角坐标系,则 A (0,0,0) ,

B (2,0,0),

C (2,4,0) ,

D (0,4,0) ,
??? ? CD =(-2,0,0) ,

E (0,2,1) ,

P (0,0,2) . ???? ∴ AB =(2,0,0) , AD =(0,4,0) , ??? ? AE =(0,2,1) , AC =(2,4,0) .
又? CD ? AP ? 0 , ? CD ? AP .

??? ? AP =(0,0,2) ,

……………………(2 分)

……………………(3 分) z P E A D y

(Ⅰ)? CD ? AD ? 0 , ? CD ? AD . ………………………(5 分)

? AP ? AD ? A , ? CD ? 平面PAD ,
而 CD ? 平面PDC , ∴平面 PDC ⊥平面 PAD . (Ⅱ)设平面 AEC 的法向量 n = ………(7 分) x B

?x, y, z ?,令 z ? 1,则 n ? ? x, y,1? .

C

?x ? 1 ? ?2 y ? 1 ? 0 ? ?n ? AE ? 0 ??x, y,1? ? ?0,2,1? ? 0 ?? ?? 由? 即? ?x, y,1? ? ?2,4,0? ? 0 ?2 x ? 4 y ? 0 ? y ? ? 1 ? ?n ? AC ? 0 ? 2 ?
∴ n = ?1,?

? ?

1 ? ,1? . 2 ?

………………………(9 分)

高三数学(理科)答案

第 4 页(共 9 页)

平面 ABC 的法向量 AP =(0,0,2) ,

??? ?

cos? n, AP? ?

n ? AP n ? AP

?

2 2 ? . 3 3 ?2 2

所以二面角 E ? AC ? D 所成平面角的余弦值是 (Ⅲ)因为平面的法向量是 n = ?1,?

2 . 3

……………………(11 分)

? ?

??? ? 1 ? ,1? ,而 CD =(-2,0,0) . 2 ?
. ……………………… (13 分)

?2 2 ?? 3 n ? CD 3 ? 2 2 2 直线 CD 与平面 AEC 所成角的正弦值 3
所以

cos? ?

n ? CD

?

.

………………………(14 分)

18. (本小题满分 14 分) 数列{ an }的前 n 项和为 S n , S n ? an ? ?

1 2 3 n ? n ? 1(n ? N *) . 2 2

(I)设 bn ? an ? n ,证明:数列 ?bn ? 是等比数列; (II)求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 Tn ; (Ⅲ)若 cn ?

bn 5 ,数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ,证明: Tn ? . 1 ? bn 3
1 2 3 2

18. 【解析】 (I)因为 an ? S n ? ? n 2 ? n ? 1 , 所以 ① 当 n ? 1 时, 2a1 ? ?1 ,则 a1 ? ? , ………………………………(1 分) ② 当 n ≥ 2 时,an ?1 ? S n ?1 ? ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 , …………………… (2 分)

1 2

1 3 2 2 所以 2an ? an ?1 ? ? n ? 1 ,即 2(an ? n) ? an ?1 ? n ? 1 ,
所以 bn ?

1 1 bn ?1 (n ≥ 2) ,而 b1 ? a1 ? 1 ? , 2 2

……………………(3 分)
n

1 1 ?1? 所以数列 ?bn ? 是首项为 ,公比为 的等比数列,所以 bn ? ? ? .…………(4 分) 2 2 ?2?
(II)由 (1)得 nbn ?

n . 2n
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1 2 3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? .......... ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 2 2 2 3 4 n ?1 n ② 2Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? .......... ? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2 2 1 1 1 n ②-①得: Tn ? 1 ? ? 2 ? ...... ? n ?1 ? n , 2 2 2 2
所以 ① Tn ?

……………(5 分) ……………(7 分)

?1? 1? ? ? ?2? ? n ? 2? n? 2 Tn ? 1 2n 2n 1? 2 (III) 由(I)知 c ? 1 n 2n ? 1 1 5 c1 ? 1 ?1? 2 ?1 3 成立; (1)当 n ? 1 时,
(2)当 n ? 2 时,? 2 ? 1 ? (3 ? 2
n n ?2

n

.……………(9 分)

…………… (10 分)

……………(11 分)

)?2

n ?2

?1 ? 0 ,

? cn ?

1 1 ? 2 ? 1 3 ? 2n ? 2 ,
n

……………… (13 分) 所以

Tn ? 1 ? ?

1 1 1 1 2 1 2 5 ? 1? ? [1 ? ( ) n ] ? 1 ? [1 ? ( ) n ] ? 1 ? ? . ………(14 分) n?2 3 1? 1 2 3 2 3 3 k ?2 3 ? 2 2
(本题放缩方法不唯一,请酌情给分)
x

n

19. 已知函数 f ( x) ? e ? kx ,. (I)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R, f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (II)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证:

n ln F (1) ? ln F (2) ? ? ? ln F (n) ? ln(en ?1 ? 2)(n ? N ? ) 2
19. 解:(Ⅰ)由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立.………(1 分) 由 f ?( x) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k .
x

高三数学(理科)答案

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①当 k ? (0, 1] 时, f ?( x) ? e x ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) . 此时 f ( x) 在 [0, ? ?) 上单调递增. 故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意.…(3 分) ②当 k ? (1 , ? ?) 时, ln k ? 0 . 当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表: ……………………(4 分)

x
f ?( x) f ( x)

(0, ln k )
?
单调递减

ln k

(ln k, ? ?)

0
极小值

?
单调递增

由此可得,在 [0, ? ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k . 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1 , ?1 ? k ? e . 综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e . (Ⅱ)? F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? e ? e
x ?x

………………(7 分)

? 0,

? ln F ( x1 ) ? ln F ( x2 ) ? ln[(e x1 ? e? x1 )(e x2 ? e ? x2 )]
又 (e 1 ? e 1 )(e 2 ? e
x x ?x ? x2

) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? e x1 ? x2 ? 2 ,
…………………… (10 分)

? ln F (1) ? ln F (n) ? ln(en?1 ? 2) ,

l nF ( 2?) ?? l nF (n ? )
由此得:

lF n n? ( ln F (? 1)

? 1)
n ?1

n ?1

ln? (e 2).

2)
……………………(12 分)

ln? (e

2[ln F (1) ? ln F (2) ? ? ? ln F (n)] ? [ln F (1) ? ln F (n)] ? [ln F (2) ? ln F (n ? 1)] ? ? ? [ln F (n) ? ln F (1)] ? n ln(e n ?1 ? 2)
故 ln F (1) ? ln F (2) ? ? ? ln F (n) ?

n ln(e n ?1 ? 2),n ? N? 成立. ………………(14 分) 2
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高三数学(理科)答案

20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x( x ? a) , g ( x) ? ? x ? (a ? 1) x ? a (其中 a 为常数) ;
2 2

(I)如果函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 有相同的极值点,求 a 的值; (II)设 a ? 0 ,问是否存在 x0 ? (?1, ) ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,若存在,请求出实 数 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. (III)记函数 H ( x) ? [ f ( x) ? 1] ? [ g ( x) ? 1] ,若函数 y ? H ( x) 有 5 个不同的零点,求 实数 a 的取值范围. 20.解: (I) f ( x) ? x( x ? a) ? x ? 2ax ? a x ,则 f ?( x) ? 3x ? 4ax ? a ? (3x ? a)( x ? a) ,
2 3 2 2 2 2

a 3

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a 或 或

a ?1 a a ?1 ,而 g ( x) 在 x ? 处有极大值,∴ ? a ? a ? ?1 , 2 3 2

a ?1 a ………………………………(3 分) ? ? a ? 3 ;综上: a ? 3 或 a ? ?1 . 2 3 a 2 2 (II) 假设存在, 即存在 x ? (?1, ) , 使得 f ( x) ? g ( x) ? x( x ? a) ? [? x ? (a ? 1) x ? a] 3

? x( x ? a)2 ? ( x ? a)( x ? 1) ? ( x ? a)[ x 2 ? (1 ? a) x ? 1] ? 0 ,
当 x ? (?1, ) 时 , 又 a ? 0 , 故 x ? a ? 0 , 则 存 在 x ? (?1, ) , 使 得

a 3

a 3

x2 ? ( 1 ? a ) x ? 1 ? , 0
2

………………………………(4 分)

a ?1 a 3 ?a? ?a? ? 即 a ? 3 时, ? ? ? (1 ? a) ? ? ? 1 ? 0 得 a ? 3或a ? ? ,?a ? 3 ; 1 当 2 3 2 ?3? ?3?
?

………………………………(5 分)

2? 当 ?1 ?

4 ? (a ? 1) 2 a ?1 a ? 0 得 a ? ?1或a ? 3 ,………(6 分) ? 即 0 ? a ? 3 时, 4 2 3
………………………………(7 分)

?a 无解;综上: a ? 3 .

(III)据题意有 f ( x) ? 1 ? 0 有 3 个不同的实根, g ( x) ? 1 ? 0 有 2 个不同的实根,且 这 5 个实根两两不相等.
高三数学(理科)答案 第 8 页(共 9 页)

(ⅰ) g ( x) ? 1 ? 0 有 2 个不同的实根,只需满足 g (

a ?1 ) ? 1 ? a ? 1或a ? ?3 ; 2
………………………………(8 分)

(ⅱ) f ( x) ? 1 ? 0 有 3 个不同的实根,

1? 当

a ? a 即 a ? 0 时, f ( x) 在 x ? a 处取得极大值,而 f (a) ? 0 ,不符合题意,舍; 3
………………………………(9 分)

2? 当
3? 当

a ? a 即 a ? 0 时,不符合题意,舍; 3
a 33 2 a a ;所以 ? a 即 a ? 0 时 , f ( x) 在 x ? 处 取 得极 大值 , f ( ) ? 1 ? a ? 3 2 3 3
………………………………(10 分)

a?

33 2 ; 2

因为(ⅰ) (ⅱ)要同时满足,故 a ?

33 2 3 ; (注: a ? 也对)…………………(11 分) 3 2 4

下证: 这 5 个实根两两不相等, 即证: 不存在 x0 使得 f ( x0 ) ?1 ? 0 和 g ( x0 ) ? 1 ? 0 同时成立; 若存在 x0 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 1 , 由

f ( x0 ) ? g ( x0 )
0





2 2 x ( ) ? ? x0 ? (a ? 1) x0 ? a 0 x0 ? a





(x0 ? ) ( 2 a

?x

0

?a 1, x )0 ?

0x ?

当 x0 ? a 时, f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 ,不符合,舍去; 当 x0 ? a 时,既有 x0 ? ax0 ? x0 ? 1 ? 0
2

①; ②;
3

又由 g ( x0 ) ? 1 ,即 ? x0 ? (a ? 1) x0 ? a ? 1
2

联立①②式,可得 a ? 0 ;
2

而当 a ? 0 时, H ( x) ? [ f ( x) ? 1] ? [ g ( x) ? 1] ? ( x ? 1)(? x ? x ? 1) ? 0 没有 5 个不同的零 点,故舍去,所以这 5 个实根两两不相等. 综上,当 a ?

33 2 时,函数 y ? H ( x) 有 5 个不同的零点. ………………………(14 分) 2
高三数学(理科)答案 第 9 页(共 9 页)


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