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2.1数列的概念与简单表示法


第二章

数列

数列的概念与简单表示法

8

7

6

5

4

陛下,赏小 人一些麦粒 请在第一个格 请在第三个格 请在第四个格 子放1颗麦粒 子放4颗麦粒 就可以。 请在第二个格 子放8颗麦粒 依次类推……
子放2颗麦粒

8 7 6 5 4 64个格子 你想得到 个格子 3 什么样的 2 赏赐? 1 3 2 1

OK

?
64个格子

8

7

6

5

4

3

2

1

8 7 6 5 4 3 2 1

你认为国王 有能力满足 上述要求吗

每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的 2倍 且共有 64 格子

2 1

0

2 2 18446744073709551615

2

1

2

3

…… ?63 2

传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题: 传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题:

三角形数 三角形数

1,

3,

6,

10,

.…..

正方形数 1, 4, 9, 16, …… 提问:这些数有什么规律吗? 提问:这些数有什么规律吗?

上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数: 上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数:

1, , , , … 2 2 2 2 …
2 3

63

三角形数: 三角形数:1,3,6,10,··· 正方形数: 正方形数:1,4,9,16,··· 1,2,3,4……的倒数排列成的一列数: , , , 的倒数排列成的一列数: 的倒数排列成的一列数
1 1 1 1, , , , … … 2 3 4

高一( )班每次考试的名次由小到大排成的一列数: 高一(5)班每次考试的名次由小到大排成的一列数:

1,,,, … 35 2 3 4 …

-1的1次幂,2次幂,3次幂,……排列成一列数: 的 次幂 次幂, 次幂 次幂, 次幂 次幂, 排列成一列数: 排列成一列数

? 1,, 1,… … 1 ? 1

无穷多个1排列成的一列数: 无穷多个 排列成的一列数: 排列成的一列数

1 , , , ,… 1 1 1



1,3,6,10,···
2 3

1,4,9,16,···
63

1, , , , … 2 2 2 2 …
1 1 1 1, , , , … … 2 3 4

1,,,, … 35 2 3 4 …

? 1,, 1,… … 1 ? 1

1 , , , ,… 1 1 1 共同特点: 共同特点:
1. 都是一列数; 都是一列数;



2. 都有一定的顺序

定义: 定义:按一定顺序排列着的一列数称为
问1: 数列 :

(数列具有有序性) 数列具有有序性 数列具有有序性 1,2 , 3 ,… ,35 改为
请问:是不是同一数列? 请问:是不是同一数列?

3 , 2 ,1 ,… ,35
问2: 数列

改为: -1,1,-1,1…… 改为: , , ,

1,-1,1,-1……,请问:是不是同一数列? , , , ,请问:是不是同一数列?
想一想: 数列与集合的区别是什么? 想一想 数列与集合的区别是什么?

思考:数列与集合的概念有何区别
中是一列数, (1)数列 n}中是一列数,而集合中的元素 )数列{a 中是一列数 不一定是数; 不一定是数; 中的数是有一定次序的, (2) 数列 n}中的数是有一定次序的,而集 ) 数列{a 中的数是有一定次序的 合中的元素没有次序; 合中的元素没有次序; 中的数可以重复, (3) 数列 n}中的数可以重复,而集合中的 ) 数列{a 中的数可以重复 元素不能重复。 元素不能重复。

数列中的每一个数叫 做这个数列的项 做这个数列的项。 各项依次叫做这个数列 的第1项,第2项,······, 项 项 , 第n项, ······ 项 数列的分类
(1)按项数分: 按项数分 项数有限的数列叫有穷数列 项数有限的数列叫有穷数列 项数无限的数列叫无穷数列 项数无限的数列叫无穷数列
(2)按项之间的大小关系: 关系: 按项之间的大小关系

1, , 2 , 3 , … 2 63 2 2 2 …
有穷数列 无穷数列 递增数列
1 1 1 1, , , , … … 2 3 4

1

2

递减数列
3

1,,,, … 35 2 3 4 …
有穷数列

递增数列 常数列

1 , , , ,… 1 1 1
无穷数列 无穷数列



4

? 1,, 1,… … 1 ? 1

5

递增数列, 递减数列, 递增数列, 递减数列, 常数列。 摆动数列, 常数列。

摆动数列

的第n项 如果数列 {an}的第 项 与项数之间的关系可以用一 个公式来表示, 个公式来表示, 那么这个 公式就叫做这个数列的 通项公式。 通项公式。

… 第n项 项 数列的一般形式可以 数列的一般形式可以 a1 a2 a3 … an 写成: 写成: a1,a2,a3, ,an …, 1 0 , 21 , 22 , …, 2n?1 … , 63 … 2 , 2 简记为{an } 其中 an是数 {2n?1}(n∈N*,n≤ 64) an= 2n?1 1 1 1 …, 1 , … , , 列的第n项 列的第 项。 1 2 1 3 ,
第1项 第2项 第3项 项 项 项
1 (n∈N*) { } ∈ n , …

1

2

n

1, 2 3 , , n , … , 35 3 { n} (n∈N*,n≤ 35) an n =n , … - 1 , 1 , - 1 , … , (-1) 4 an = (-1)n (n∈N*) ∈ 1 , 1 , 1 , …, 1 , … 5 0 n an = 1 或 an n (n∈N*) ∈

an =

1 n

=

写出下面数列的一个通项公式, 例1:写出下面数列的一个通项公式,使 它的前4项分别是下列各数: 它的前4项分别是下列各数:
1 1 1 1 , ? ()1 ? ,, ; 2 3 4 2 ,, ()2 0 2 0 ,;
根据数列的前若干项写 出的通项公式的形式唯 一吗?请举例说明。 一吗?请举例说明。

注意:①一些数列的通项公式不是唯一的 注意:
②不是每一个数列都能写出它的通项公式

为通项的数列, ③ {a n }表示以 a n为通项的数列,即 {a n }表示 L 数列 a1, a 2, a 3, , a n L;而 a n 表示这个 数列 {a n }中的第 n 项,其中 n表示项的位置 序号。 序号。

数列是一种特殊的函数 数列与函数的关系: 数列与函数的关系:
对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个数( 对于数列中的每个序号 都有唯一的一个数(项) 都有唯一的一个数 an与之对应 与之对应. 序号n 序号 1 2 3 4 ……64 (自变量) 自变量) 项 an 1 22 23
n ?1
…… 263

可以认为: 可以认为:

2

(函数值) 函数值)

an = f ( n ) = 2 从函数的观点看, 的函数。 从函数的观点看, 数列的项 是 序号 的函数。
数列可以看作是一个定义域为正整数集 N ( 或它的 的函数, 有限子集{1 {1, 有限子集{1,2,…,n})的函数, = f n,即当自变量 , an 从小到大依次取值时对应的一列函数值。 从小到大依次取值时对应的一列函数值。
?

()

每个序号也都对应着一 例1:设某一数列的通项公式为 an = n n+1 : ( ) 个数( 个数(项)

数列的实质

序号

1

2

3

4



从映射的观点看, 从映射的观点看, 数列可以看作是: 数列可以看作是: 序号 项 2 6 12 20 到 数列项 的映射 高一( ) 例2 高一(2)班考试名次由小到大排成的一列数 从函数的观点看, 从函数的观点看, 35 2 3 序号 1 数列项 是序号 的函数。 的函数。 即,数列可以看作是一 35 个定义域为正整数集 N* 项 1 2 3 或它的有限子集{1 ( 或它的有限子集 ( ) 函数值 y=f(x) 自变量 ,2,…,n})的函数 , , ) ,当自变量从小到大依 序号 正整数 ( n 通项 次取值时对应的一列函 项 或它的有限 数值。 数值 子集) 公式 子集)



… …

a

n

数列是一种特殊函数! 数列是一种特殊函数!
x 1 2 2.5 4 4.5 y 3 4 5 6 7 n

定义域是 N*(或它的 有限子集)

1 2 3 4 5

an a1 a2 a3 a4 a5

通项公式:数列 的第n项 通项公式:数列{an}的第 项an与n的关系式 的第 的关系式

3.数列与函数 3.数列与函数 对于数列中的每个序号n都有唯一的 对于数列中的每个序号 都有唯一的 一个数(项)an与之对应. 一个数( 与之对应
项数n 项数 1 2 3 4 ……64 (自变量 ) 自变量n)
(函数值an )

项 an 1

2

22 23

…… 263

可以认为: 可以认为: n = a

f (n)

数列是一种特殊的函数

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5

an = n n+1)的 象 ( 图
是些孤立点

6

7

8

9

10

5
做出常数数列: 做出常数数列: 4 , 4 , 4 , 4 , … 图象

4 3
做出摆动数列: 做出摆动数列: - 1,, 1,, 图象 1 - 1 …

2

1
0 -1 1 2 3 4 5

我们好孤单! 我们好孤单!

数列用图象表示时的特点——一群孤立的点 一群孤立的点 数列用图象表示时的特点
下图中的三角形称为谢宾斯基三角形 在下图4 谢宾斯基三角形, 例2. 下图中的三角形称为谢宾斯基三角形,在下图4个 三角形中, 三角形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前 请写出这个数列的一个通项公式, 4项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角坐标 系中画出它的图象. 系中画出它的图象.

(1) )

(2) )

(3) )

(4) )

an = 3

n- 1

果 个 列 的 项 如 一 数 {an} 首 a1 =1 从 2项 每 项 于 , 第 起 一 等 它 前 项 2 再 上, 1n ) 的 一 的倍 加 1 即 an = 2an?1 +( >1 a2 = 2a1 +1 那 么 ,
a3 = 2a2 +1 , L 象 样 出 列 方叫 递 法 其 这 给 数 的 法做 推 , 中 an = 2an?1 +( >1 1n )

称 递 公 。 为 推 式
果 知 列 的 1 ( 前 ) 且 一 a 它 如 已 数 {an} 第项 或 n项 , 任 项n与 前 项 ( 前 ) 的 系 以 一公 来 示 的 一 an?1 或 n项 间 关 可 用 个 式 表 , 么 个 式 叫 这数 的 推 式 那 这 公 就 做个 列 递 公 。 递推公式也是数列的一种表示方法。 递推公式也是数列的一种表示方法。

例 : 数 {an}满 3 设 列 足 , ?a1 =1 ? ?a =1+ 1 ( >1 . n ) n ? an?1 ? 写 这 数 的 5项 出 个 列 前 。

3 5 8 1 , , , ,2 2 3 5

二、新课讲解
1 例3.已知 a1 = 1, a n = 1 + ( n ≥ 2), 写出这个数列 a n ?1 的前 5项. 解:∵a1=1
1 1 ∴ a2 = 1 + = 1+ = 2 1 a1

1 1 3 a3 = 1 + = 1+ = a2 2 2 1 2 5 a4 = 1 + = 1 + = a3 3 3 1 3 8 a5 = 1+ = 1+ = 5 5 a4

1.通项公式能够很清楚的表示数列中项数和 1.通项公式能够很清楚的表示数列中项数和 项的关系; 项的关系; 2.由通项公式可以求出数列中的每一项 由通项公式可以求出数列中的每一项. 2.由通项公式可以求出数列中的每一项. 例1: 根据下面数列的通项公式,写出前5项. 根据下面数列的通项公式,写出前5

n (1)an = ; n +1
n

1 2 3 4 5 , , , , . 2 3 4 5 6

(2)an = (?1) ? n
(3)an = (?1) ? n
n+1 2

? 1, 2 , ? 3, 4 , ? 5
1,?4,9,?16,25

例1、 写出下面数列的一个通项公式,使它的 、 写出下面数列的一个通项公式, 项分别是下列各数: 前4项分别是下列各数: 项分别是下列各数

1 ( 1) , 3 , 5 , 7 ;

an = 2n ? 1
2

an = (n + 1) ( 2) ,, , ; 4 9 16 25 1 1 1 n +1 1 ( 3 )1, ? , , ? ; an = (?1) n 2 3 4 n +1 an = 1 + (?1) ( 4) , , ,。 2 0 2 0

例1 根据下面数列{an }的
通项公式,写出它的前 项 通项公式,写出它的前5项:
n (1) a n = ) n +1

(2) a n = (? 1 ) ? n
n

解:(1)在通项公式中依次取 n =1,2, 3,4,5,得到数列 {a n }的前5项为

1 2 3 4 5 , , , , . 2 3 4 5 6
(2)在通项公式中依次取n=1,2, 3,4,5,那么数列 {an } 的前5项为 -1,2, - 3,4, - 5.

写出数列的一个通项公式, 例2 写出数列的一个通项公式, 使它的前4项分别是下列各数 项分别是下列各数: 使它的前 项分别是下列各数: (1)1,3,5,7; ) , , , ; 解:此数列的前四项1,3,5,7都 此数列的前四项 , , , 都 是序号的2倍减去 倍减去1, 是序号的 倍减去 ,所以通项公式 是:

an = 2n ? 1

(2) )

2

2

?1 3 ?1 4 ?1 5 ?1 , , , ; 2 3 4 5
2 2 2

解:此数列的前四项的分母都
是序号加1, 是序号加 ,分子都是分母的平方减 去1,所以通项公式是: ,所以通项公式是:

an

(n + 1) =

? 1 n (n + 2 ) = n +1 n +1
2

1 1 1 1 , ,? , . (3) ? ) 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5
此数列的前4项的绝对值都等 解:此数列的前 项的绝对值都等 于序号与序号加上1的积的倒数, 于序号与序号加上1的积的倒数,且奇数 的积的倒数 项为负,偶数项为正,所以通项公式是: 项为负,偶数项为正,所以通项公式是:

(? 1) an = n (n + 1)
n

思考题: 思考题:
1、 写出下列数列的一个通项公式: 、 写出下列数列的一个通项公式: ,-1, ,- ,-1; (1)1,- ,1,- ; ) ,- (2)2,0,2,0; ) , , , ; (3)9,99,999,9999; ) , , , ; (4)0.9,0.99,0.999,0.9999。 ) , , , 。

答案: (1) (2) (3) (4)

a n = (? 1)
n

n +1 n +1

a n = 1 + (? 1) a n = 10 ? 1 a n = 1 ? 10 ? n

观察下面数列的特点,用适当的数填空, 观察下面数列的特点,用适当的数填空,并写出每个 数列的一个通项公式: 数列的一个通项公式:

( 1 ) 2 , 4 , ( 8 ), 16 , 32 , ( 64 ), 128

( 2 )( 1 ), 4 , 9 ,16 , 25 , (36 ), 49
1 1 1 1 1 1 ( 3 ) - 1, , ( - ), , - , , ( - ) 7 2 3 4 5 6

(4)1, 2, ( 3 ),2, 5 , ( 6 ), 7 n ⑵ an=n2 ⑴a =2

1 (3)an =(?1) n
n

n

(4)an = n

本节课学习的主要内容有: 本节课学习的主要内容有: 1、数列的有关概念 、 2、数列的通项公式; 、数列的通项公式; 3、数列的实质; 、数列的实质; 4、本节课的能力要求是: 、本节课的能力要求是: (1) 会由通项公式 求数列的任一项; 求数列的任一项; (2)会用观察法由数列的前几项 会用观察法由数列的前几项 求数列的通项公式。 求数列的通项公式。


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