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广东省揭阳一中2013届高三第三次模拟考试数学(文)试题


一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U A.
? R , A ? { x | x ? 0} , B ? { x | x ? 1}

,则 C.

A ? CU B

等于( D.


{ x | x ? 1}

{ x | 0 ? x ? 1}
z ? 1 1? i

B.

{ x | 0 ? x ? 1}

{ x | x ? 0}

(其中 i 是虚数单位) ,则在复平面内,复数 z 的共轭复数 z 对 应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.设 p在 ? 0, 5? 上随机地取值,则关于 x 的方程
x ? px ? 1 ? 0 有实数根的概率为(
2

2. 设复数

) D.
4 5

A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

4.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示, 则这个四棱锥的体积是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 |x| 5.下列函数中与函数 y ? ? 3 奇偶性相同且在 (— ? ,0)上单调性也相同的是( A. y D. 6.已知 x
? ? 1 x
2

) C .
y ? x ?1
3

B. y

? log

2

|x|

y ?1? x

? 1, y ? 1, 且

1 4

ln x ,

1 4

,lny 成等比数列,则 xy(



A.有最小值 e B.有最小值 e C.有最值大 e D.有最大值 e 2 7.若曲线 f ? x ? ? a c o s x 与曲线 g ? x ? ? x ? b x ?1 在交点 ? 0 , m ? 处有公切线,则
a?b ?

( B.0
y a
5 4
2 2

) C.1
x b
2 2

A. ? 1 8.已知双曲线

D.2
2

?

? 1 的一个焦点与抛物线 x ? 4 y 的焦点重合,且双曲线的实

轴长是虚轴长的一半,则该双曲线的方程为 ( A. 5 y 2 ?
x ?1
2


x
2

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

y

2

?

?1

D. 5 x 2 ?

5 4

y ?1
2

5

4

5

4

9.已知函数 y ? f ( x ) 的定义域是 R, 若对于任意的正数 a, 函数 g(x)=f(x)-f(x-a) 都是其定义域上的减函数,则函数 y ? f ( x ) 的图象可能是( )

10. 若某同学连续三次考试的名次(第一名为 1,第二名为 2,以此类推且没有并 列名次情况)不超过 3,则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四

位同学过去连续 3 次考试名次数据,推断一定不是尖子生的是( .. A.甲同学:均值为 2,中位数为 2 C.丙同学:中位数为 2,众数为 2



B.乙同学:均值为 2,方差小于 1 D.丁同学:众数为 2,方差大于 1

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11?13 题) 11.设单位向量 e1 , e 2 满 足 e1 ? e 2 12.已知 sin 2?
?? 24 25
?? ?? ? ?? ?? ? ? ? 1 2 ?? ?? ? , 则 e1 ? 2 e 2 ?

.


, ? ? (?

?
2

, 0 ) ,则 sin ? ? cos ? ?

13.实数 x、y

? x ? 1, ? 满足 ? y ? a ( a ? 1), ? x ? y ? 0, ?

若目标函数 z

? x? y

取得最大值 4,则实数 a 的

值为 . (二)选做题(1 4? 15 题,考生只能从 中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题) 在直角坐标系 xO y 中,圆 C 的参数力程是
? x ? 2 cos ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

(θ 为参数) ,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 .

系,则圆心 C 的极坐标是

15. (几何证明选讲选做题)如图,在 ? ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的中点,AE 交 BC 于 F,则
BF FC ?

__________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文 字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 如图所示,已知 ? 的终边所在直线上的一点 P 的坐标为 ( ? 3 , 4 ) , ? 的终边在第 一象限且与单位圆的交点 Q 的纵坐标为 (Ⅰ)求 tan ( 2? (Ⅱ)若
?
2
2 10

.
y
P ?

? ?)

的值; ,0
? ? ?
?
2

?? ??

,求 ?

? ?

.
Q

?
O

?

?
x

17. (本小题满分 12 分) 从某学校的 8 0 0 名男生中随机抽取 5 0 名测量身高,被测学生身高全部介于 1 5 5 cm 和 1 9 5 cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[ 1 5 5 , 1 6 0 ),第二 组[ 1 6 0 , 1 6 5 ),…,第八组[ 1 9 0 , 1 9 5 ],右图是按上述分组方法得到的频率分布直 方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为 4 人. (Ⅰ)求第七组的频率; (Ⅱ)估计该校的 8 0 0 名男生的身高的中位数; (Ⅲ)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他 们的身高分别为 x , y ,事件 E ? { x ? y ? 5 },事件 F ? { x ? y ? 1 5 },求
P(E ? F ) .

18.(本小题满分 14 分) 如图所示, 在棱长为 2 的正方体 A B C D 中点. (Ⅰ)求证: E F //平面 A B C 1 D 1 ; (Ⅱ)求证: E F ? B1C ; (Ⅲ)求三棱锥 B1 ? E F C 的体积.

? A1 B1C 1 D 1

中,E 、F 分别为 D D 1 、D B 的

19. (本小题满分 14 分) 在数列 ? a n ? 中, a 1 ? 2 , a n ? 1 (Ⅰ)证明数列 ? a n
? n?

? 4 an ? 3n ? 1 , n ? N

*



是等比数列;

(Ⅱ)求数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n ; (Ⅲ)证明不等式 S n ? 1 ≤
4 S n ,对任意 n ? N
*

皆成立.

20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率为

3 2

,以原点为圆心,椭圆 c 的

短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切.A、B 是椭圆的左右顶点,直线 l 过 B 点且与 x 轴垂直,如图. (I)求椭圆的标准方程; (II)设 G 是椭圆上异于 A、B 的任意一点,GH 丄 x 轴,H 为垂足,延长 HG 到点 Q 使得 HG=GQ,连接 AQ 并延长交直线 l 于点 M,点 N 为 MB 的中点,判定直 线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 的位置关系,并证明你的结论.

[来源:Zxxk.Com]

21. (本小题满分 14 分) 已知函数
f (x) ? 1 3 x ? ax ? 1 .
3

(1)当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极值,求 a 的值; (2)求 f ( x ) 在[0,1]上的最小值; (3 ) 若对任意 m ? R , 直线 y ? ? x ? m 都不是曲线 y 范围。

求 ? f ( x ) 的切线,

a 的取值

高三文科数学三模参考答案及评分标准

∵ ? 为第一象限角,∴ ta n ? ? ∴ tan ( 2 ? ? ? ) ? ⑵∵ c o s ? ? ? ,
5 3

1 7

,

……… …………4 分

24 1 ? 7 7 24 1 1? ? 7 7
?
2

?

161 73

.
4 5

……6 分 . …………………7 分
1 ? s in
2

?? ??
?
2

,∴ s in ? ?

又 s in ? ?

2 10

,0 ? ? ?

,∴ c o s ? ?

? ?
3 5

7 2 10

.
?

…………………8 分
2 2

∴ sin (? ? ? ) ? sin ? c o s ? ? c o s ? sin ? ? 由
?
2

4 5

?

7 2 10

?

?

2 10

. …………………10 分 ……………………12 分

?? ??

,0 ? ? ?

?
2

,得

?
2

?? ? ? ?

3? 2

,∴ ? ? ? ?

3? 4

.

17. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)第六组的频率为
? 0 .0 8 ,所以第七组的频率为 50 1 ? 0 .0 8 ? 5 ? (0 .0 0 8 ? 2 ? 0 .0 1 6 ? 0 .0 4 ? 2 ? 0 .0 6 ) ? 0 .0 6 ; ……………………… 4 分 4

[来源:学§科§网]

由于 x ? y

m ax

? 1 9 5 ? 1 8 0 ? 1 5 ,所以事件 F ? { x ? y ? 1 5 }是不可能事件, P ( F ) ? 0
7 15

由于事件 E 和事件 F 是互斥事件,所以 P ( E ? F ) ? P ( E ) ? P ( F ) ?

………12 分

(Ⅲ)? C F ? 平 面 B D D 1 B1 ,
? C F ? 平 面 E F B1 且

CF ? BF ?
? EF ? 1 2

2 …………………………………11 分
3
2 2

B D1 ?
2


A1

D1

C1 B1

B1 F ?

BF

2

? B B1 ?

( 2) ? 2
2 2

?
2

6 ,…………12 分
E

B1 E ?

B1 D 1 ? D 1 E
EF
2

?
2

1 ? (2
? B1 E
2

2)

2

?3


?

? B1 F




A

D F B

C

? E F B 1 ? 9 0 ,………………………………13 分

? VB

1

? EFC

? VC ? B EF ?
1

1 3

? S ?B EF ? C F
1

= ?
3

1

1 2

? E F ? B1 F ? C F =

1 3

?

1 2

?

3?

6?

2 ? 1 ………………………………14 分

? ?

1 2

(3 n ? n ? 4 ) ≤ 0 .
2
*

所以不等式 S n ? 1 ≤ 4 S n ,对任意 n ? N 皆成立.……………………………14 分 20. (本小题满分 14 分)

解: (Ⅰ)由题可得:e=

c a

?

3 2



∵ 以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x+y+ 2 =0 相切, ∴
0?0? 1 ?1
2 2

2

=b,解得 b=1.

再由 a2=b2+c2,可解得:a=2. ∴ 椭圆的标准方程:
x
2

? y ? 1 .……………………………………………5
2



4

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:A(-2,0),B(2,0),直线 l 的方程为:x=2. 设 G(x0,y0)(y0≠0),于是 Q(x0,2y0), 且有
x0
2

4

? y0 ? 1 ,即
2

4y02=4-x02.
2 y0 x0 ? 2 ( x ? 2) ,

∴ 直线 AQ 的方程为: y ?
2 y0 ? ( x ? 2), ?y ? x0 ? 2 由? ? x ? 2, ?

? x ? 2, 8y ? 解得: ? 即 M (2, 0 ) , 8 y0 y? , x0 ? 2 ? x0 ? 2 ?

21. (本小题满分 14 分)

(III)因为 ? m ? R ,直线 y ? ? x ? m 都不是曲线 y ? f ( x ) 的切线,
2 所以 f '( x ) ? x ? a ? ? 1 对 x ? R 成立,
2 只要 f '( x ) ? x ? a 的最小值大于 ? 1 即可,

2 而 f '( x ) ? x ? a 的最小值为 f ( 0 ) ? ? a

所以 ? a ? ? 1 ,即 a ? 1

………………14 分

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]


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