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启恩中学2013届高三理科数学专题练习(函数与导数).doc


启恩中学 2013 届高三理科数学专题练习——函数与导数
一、选择题 1.集合 A ? {- , B ? {0,1}, C ? {1, 2},则(A ? B) ? C = 1 0}, A. ? B.{1} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}

2.下列函数中,在 R 上单调递增的是 A. y ? x 3
1

B. y ? log 2 x

C. y ? x

D. y ? 0.5

x

3.函数 f(x)=x2+ax-3a-9 对任意 x∈R 恒有 f(x)≥0,则 f(1)= A.6
2

B.5
x

C.4

D.3

4.已知 f ( x) ? 2 x ? 2 ,则在下列区间中, f ( x) ? 0 有实数解的是 A. (-3,-2) 5.设函数 B. (-1,0) C. (2,3) ,若 x ? ?1 为函数 D. (4, 5)

f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ? a, b, c ? R ? y ? f ? x?
的图象是

f ? x ? e2

的一个极值点,则下

列图象不可能为

二、填空题

f ( x) ?
6.函数 7.

1 ? lg( x ? 1) 1? x 的定义域是
.



?

0

?1

1 ? x2 dx ?

8.已知函数 f (x) 为偶函数,当 x ? ?0,??? 时, f ( x) ? x ? 1 ,则 f ( x) ? 0 的解集 是 .
1 ? 1 3 1 1 8 , a ? b ? lg a 2 ? lg b 2 ;若 M ? 2 4 ? 125 ,

9.定义运算法则如下: a ? b ? a 2 ? b

N ? 2?

1 ,则 M+N= 25
2



10.若函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 在区间 ?a, a ? 2? 上的最大值为 4,则 a 的值为_________. 三、解答题:
第 1 页 共 7 页

11.已知二次函数. f ? x ? ? x ? (2a ? 1) x ? 1 ? 2a
2

(1)判断命题: “对于任意的 a ?R(R 为实数集) ,方程 f(x ) ? 1 必有实数根”的真假, 并写出判断过程 (2) ,若 y ? f ( x) 在区间(?1, )及(0, )内各有一个零点.求实数 a 的范围 0

1 2

? ? b 12 . 设 f ( x) ? x ? ax ? bx ?? 的 导 数 f ' (x ) 满 足 f ' ( ) ? ?a , f ' ( )? ? , 其 中 常 数 a, b ? R .
(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (?, f (?)) 处的切线方程; (2) 设 g ( x) ? f '( x)e
?x

?

?

,求函数 g ( x) 的极值.

13.已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中常数 a, b 满足 a ? b ? 0 .
x x

(1)若 a ? b ? 0 ,判断函数 f ( x) 的单调性; (2)若 a ? b ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时的 x 的取值范围.

14.如图 6, 长方形物体 E 在雨中沿面 P 面积为 S) ( 的垂直方向作匀速移动, 速度为 v(v ? 0) ,
第 2 页 共 7 页

雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c ? R) .E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分: (1) P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与

v?c

×S 成正比,比例系数

1 1 为 10 ; (2)其它面的淋雨量之和,其值为 2 ,记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量,当移 3 动距离 d=100,面积 S= 2 时.
(1)写出 y 的表达式 (2)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v ,使总淋雨量 y 最 少.

15.已知函数 f ? x ? ?

x2 4a ? 1 ? (1 ? 2a) x ? ln(2 x ? 1) . 2 2

(1)设 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 极大值和极小值; (2) a ? R 时讨论函数 f ? x ? 的单调区间.

第 3 页 共 7 页

参考答案
一、选择题: 题号 选项 二、填空题: 1 C 2 A 3 C 4 B 5 D

? 6. (?1,1) ? (1, ??) ; 7. ; 8.
4
三、解答题:

? ?1,1? ;

9. 5; 10. 1 或–1

11.解: “对于任意的 a ?R(R 为实数集) (1) ,方程 f(x ) ? 1 必有实数根”是真命题; 依题意: f(x ) ? 1 有实根,即 x ? (2a ? 1) x ? 2a=0 有实根
2

?? ? (2a ? 1)2 ? 8a ? (2a ? 1) 2 ? 0 对于任意的 a ?R(R 为实数集)恒成立
即 x ? (2a ? 1) x ? 2a=0 必有实根,从而 f(x ) ? 1 必有实根
2

(2)依题意:要使 y ? f ( x) 在区间(?1, )及(0, )内各有一个零点 0

1 2

? ? f ( ?1) ? 0 ? 只须 ? f (0) ? 0 ????(9 分) ? 1 ?f( )?0 ? 2
解得:

? ?3 ? 4 a ? 0 ? 即 ?1 ? 2a ? 0 ?3 ? ?a ?0 ?4

1 3 ? a ? 2 4
2 /

12.解: (1) f ( x) ? 3x ? 2ax ? b 则 f (1) ? 3 ? 2a ? b ? 2a ? b ? ?3 ;
/

f / (2) ? 12 ? 4a ? b ? ?b ? a ? ? 5 f (1) ? , f / (1) ? ?3 2 于是有

3 3 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3x ? 1 2 ;所以 2 ,

故曲线 y ? f ( x) 在点 (?, f (?)) 处的切线方程为: 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 (2)由(1)知 g ( x) ? (3x ? 3x ? 3)e
2 ?x

? g / ( x) ? (?3x 2 ? 9 x)e? x ,



g / ( x) ? 0 ? x1 ? 0, x2 ? 3



第 4 页 共 7 页

于是函数 g ( x) 在 (??,0) 上递减, (0,3) 上递增, (3, ??) 上递减; 所 以 函 数 g ( x) 在 x ? 0 处 取 得 极 小 值 g (0) ? ?3 , 在 x ? 3 处 取 得 极 大 值

g ( 3)? 1 e?3 . 5
13.解:⑴ 当 a ? 0, b ? 0 时,任意 则

x1 , x2 ? R, x1 ? x2



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a(2 x1 ? 2 x2 ) ? b(3x1 ? 3x2 )
x x x x x x x x

1 2 1 2 1 2 1 2 ∵ 2 ? 2 , a ? 0 ? a(2 ? 2 ) ? 0 , 3 ? 3 , b ? 0 ? b(3 ? 3 ) ? 0 ,



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

,函数 f ( x) 在 R 上是增函数.

当 a ? 0, b ? 0 时,同理函数 f ( x) 在 R 上是减函数. ⑵ f ( x ? 1) ? f ( x) ? a ? 2 ? 2b ? 3 ? 0
x x

3 a a ( )x ? ? x ? log1.5 (? ) 2b ,则 2b ; 当 a ? 0, b ? 0 时, 2 3 a a ( )x ? ? x ? log1.5 (? ) 2b ,则 2b . 当 a ? 0, b ? 0 时, 2

3 1 |v?c|? 2, 14.解: (1)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为 20
y?


100 3 1 5 ( | v ? c | ? ) ? (3 | v ? c | ?10) v 20 2 v .

5 5(3c ? 10) y ? (3c ? 3v ? 10) ? ? 15; v v (2)由(1)知,当 0 ? v ? c 时, 5 5(10 ? 3c) y ? (3v ? 3c ? 10) ? ? 15. v v 当 c ? v ? 10 时,
? 5(3c ? 10) ? 15, 0 ? v ? c ? ? v y?? ? 5(10 ? 3c) ? 15, c ? v ? 10 ? v ? 故 .

0?c?
①当

10 3c ymin ? 20 ? 3 时, y 是关于 v 的减函数.故当 v ? 10 时, 2 .
第 5 页 共 7 页

10 ?c?5 ②当 3 时,在 (0, c] 上, y 是关于 v 的减函数;在 (c,10] 上, y 是关于 v 的 50 ymin ? c . 增函数;故当 v ? c 时,
x2 5 1 15.解: (1)? a ? 1,? f ( x) ? ? 3x ? ln(2 x ? 1), x ? ? 2 2 2
f ?( x) = x ? 3 ?

(2 x ? 1)( x ? 3) ? 5 ? 2 x ? 1?? x ? 2 ? 5 = = , 2x ?1 2x ?1 2x ?1

令 f ?( x) =0,则 x =

x
f ?( x) f ( x)

1 或 x =2 2 1 1 1 1 (? , ) ( ,2) 2 2 2 2
+ 0 极大

2 0 极小

(2,+ ? ) +

?

?

?

?

1 5 11 f ? x ?极大 =f ( ) ? ln 2 ? , 2 2 8
(2) f ?( x) = x ? (1+2 a )+ 令 f ?( x) =0,则 x =

f

? x?极小 =

f( 2 ? )

5 2

ln 5 ?

4

4a ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1-2) ? 4a ? 1 ? 2 x ? 1?? x ? 2a ? = = 2x ?1 2x ?1 2x ?1

1 或 x =2 a 2 1 1 i、当 2 a > ,即 a > 时, 2 4 1 1 1 1 x (? , ) ( ,2 a ) 2 a 2 2 2 2
f ?( x) f ( x)
+ 0

(2 a ,+ ? ) +

?

0

?

?

?

所以 f ( x) 的增区间为( ?

1 1 1 , )和(2 a ,+ ? ) ,减区间为( ,2 a ) 2 2 2
2

? 2 x ? 1? 0 在( ? 1 ,+ )上恒成立, 1 1 ii、当 2 a = ,即 a = 时, f ?( x) = ? ? 2x ?1 2 4 2
1 ,+ ? ) 2 1 1 1 1 iii、当 ? <2 a < ,即 ? < a < 时, 2 2 4 4
所以 f ( x) 的增区间为( ?

第 6 页 共 7 页

x
f ?( x) f ( x)

(?

1 ,2 a ) 2 a 2
+ 0

(2 a ,

1 ) 2

1 2
0



1 ,+ ? ) 2
+

?

?

?

?

所以 f ( x) 的增区间为( ? iv、当 2 a ? ?

1 1 1 ,2 a )和( ,+ ? ) ,减区间为(2 a , ) 2 2 2

1 1 ,即 a ? ? 时, 2 4 1 1 x (? , ) 2 2
f ?( x) f ( x)
?

1 2
0



1 ,+ ? ) 2
+

?

?

所以 f ( x) 的增区间为( 综上述:

1 1 1 ,+ ? ) ,减区间为( ? , ) 2 2 2

1 1 1 1 时, f ( x) 的增区间为( ,+ ? ) ,减区间为( ? , ) 4 2 2 2 1 1 1 1 ? < a < 时, f ( x) 的增区间为( ? ,2 a )和( ,+ ? ) , 4 4 2 2 1 减区间为(2 a , ) 2 1 1 a = 时, f ( x) 的增区间为( ? ,+ ? ) 4 2 1 1 1 1 ,减区间为( ,2 a ). a > 时, f ( x) 的增区间为( ? , )和(2 a ,+ ? ) 4 2 2 2

a??

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