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第一章 §1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积


§1.3 1.3.1

空间几何体的表面积与体积 柱体、锥体、台体的表面积与 体积 自主学案

自学导引 1. 棱柱、 棱锥、 棱台是由多个平面图形 围成的多面体, 它们的表面积就是各个面的面积的 和 .

扇形 、 2.圆柱、圆锥、 圆台的侧面展开图分别是矩形 、

扇环 .

3.柱体、锥体、台体的表面积、体积公式 侧面积
棱柱 柱 体 圆柱 S=Cl(C为底

表面积
S=S侧+2S底

体积
V=Sh

面周长)
S=2πrl(r为 底面半径,l为 母线长)

(S为底面面 S=2πr(r+l)
积, h为高)

棱锥 锥 体 圆锥 S=πrl(r为底面 半径,l为母线长)

S表=S侧+ S底

V= Sh(S
为底面面

1 3

S=πr(r+l) 积,h为高)
1 V= 3 (S′+ S ?S+S) h

棱台

S表=S侧+ S上底+S下底

台 体

圆台

(S′,S分别 S=π(r′+r)l 为上、下底 (r′,r分别为上、 面面积,h为 2 下底面半径,l为母 S2=π(r′ + 高) r +r′l+rl) 线长)

对点讲练
知识点一 例1 多面体的表面积及体积计算 已知正四棱台(上、下底是正方形,上底面的中

心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为 6, 高和下底面边长都是 12,求它的侧面积.
解 方法一 如图,E 、E 1 分别是 B C 、

B 1C 1 的中点,O 、O 1 分别是下、上底面 正方形的中心,则 O 1O 为正四棱台的高, 则 O 1O =12.
1 连接 O E 、O 1E 1,则 O E = A B 2 1 1 = ×12=6,O 1E 1= A 1B 1=3. 2 2

过 E 1 作 E 1H ⊥O E ,垂足为 H , 则 E 1H =O 1O =12,O H =O 1E 1=3, H E =O E -O 1E 1=6-3=3. 在 Rt△E 1H E 中,E 1E 2=E 1H 2+H E 2=122+32 =32× 42+32=32×17, 所以 E 1E =3 17. 所以 S 侧 =4× × (A B +A 1B 1)×E 1E =2× (12+6)×3 17 =108 17 .
1 2

变式训练 1 已知一个三棱台是两底面边长分别为 20 cm 和 30 cm 的正三角形,侧面是全等的等腰梯 形,且其侧面积等于两底面面积之和, 求棱台的高 和体积. 解 如图,三棱台 ABC—A′B′C′ 中,O、O′为两底面的中心,D、D′ 是 BC,B′C′的中点,则 DD′是梯 1 形 BCC′B′的高,所以 S 侧=2(20+ 30)· DD′· 3=75DD′. 又 A′B′=20,AB=30,则上、下底面面积之和为 3 2 S 上+S 下= (20 +302)=325 3. 4 由 S 侧=S 上+S 下,得 75DD′=325 3,所以 DD′= 13 3 3.

在直角梯形 O ′ ODD ′中, OD = 5 3 , O ′ D ′= 10 3 , O′O= D′D2-(OD-O′D′)2 3 ?13 3? ? 10 3? ? ?2 ? ?2 = ? - =4 3, 5 3 - ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? 即棱台的高 h 为 4 3 cm. 由棱台的体积公式,可得棱台的体积为 h V= (S+S′+ SS′) 3 ? 4 3? 3 2 3 ? 3 ? 2 = · · 20 + · 30 + · 20· 30 ? 3 ? 4 4 ? 4 ? =1 900(cm3).

知识点二 例2

旋转体的表面积及体积计算

圆台的上、下底面半径分别为 10 cm 和 20 cm.

它的侧面展开图扇环的圆心角为 180° ,那么圆台的 表面积和体积分别是多少?(结果中保留 π) 解 如图所示, 设圆台的上底面周长为 c, 因为扇环的
圆心角是 180° , 故 c=π·SA=2π×10, 所以 SA=20,同理可得 SB=40, 所以 AB=SB-SA=20, ∴S 表面积=S 侧+S 上+S 下
2 =π(r1+r2)· AB+πr2 1+πr2

=π(10+20)×20+π×102+π×202=1 100π(cm2). 故圆台的表面积为 1 100π cm2.

h= AB2-(OB-O1A)2= 202-102=10 3, 1 2 V= πh(r1 +r1r2+r2 2) 3 1 7 000 3 2 2 = π×10 3(10 +10×20+20 )= π (cm3). 3 3 7 000 3 2 即圆台的表面积为 1 100π cm ,体积为 π cm3. 3 点评 解决台体的问题通常要还台为锥,求面积时要
注意侧面展开图的应用,上、下底面圆的周长是展开 图的弧长.

变式训练 2

一个圆台的母线所在直线与轴线所在直

线的夹角为 30° ,两底面半径的比为 1∶2,其侧面 展开图是半圆环,面积为 54π,求这个圆台的体积 以及截得这个圆台的圆锥的体积.



如图所示,ABCD 是圆台的轴截

面图,圆台的侧面展开图是半圆环, AD,BC 为上、下底面圆的直径, AD ∠DCB=60° ,根据题意可设 r= 2 BC =x,R= =2x,因为∠DCB=60° , 2 故圆台的高 h=x· tan 60° = 3x. x 母线 l=CD=cos 60° =2x,

πOC2 πOD2 OD 1 又有 - =54π,而OC = , 2 2 2 OC=2OD,又 CO-OD=2x, 所以 OD=2x,OC=4x. π 所以 54π= (OC+OD)(OC-OD). 2 所以 54π=π(2x+x)· 2x,所以 x=3(负根舍去). 于是 r=3,R=6,h=3 3.把它们代入圆台的体积公 式 πh 2 V= (r +rR+R2),得 V=63 3π. 3 设截得圆台的圆锥的高为 h′,则 h′=R· tan 60° = 6 3. 把 R=6 及 h′=6 3代入圆锥的体积公式得 πR2h′ V= =72 3π. 3



由正视图与俯视图可得正三棱锥

的直观图如图所示,且 VA=VB=VC =4,AB=BC=AC=2 3, 取 BC 的中点 D,连接 VD, 则 VD= VB2-BD2= 42-( 3)2= 13, 1 1 ∴S△VBC= ×VD×BC= × 13×2 3= 39, 2 2 1 3 S△ABC= ×(2 3)2× =3 3, 2 2 ∴三棱锥 V—ABC 的表面积为 3S△VBC+S△ABC=3 39+3 3=3( 39+ 3).

知识点三 例3

综合应用

已知正三棱锥 V—ABC(底面是等边三角形,顶

点在底面的射影是底面的中心)的正视图, 俯视图如 图所示,其中 VA=4,AC=2 3,求该三棱锥的表 面积与体积.

点 V 在底面 ABC 上的射影为 H,则 A,H,D 三点 共线, VH 即为三棱锥 V—ABC 的高, ?1 ? 2 2 2 VH= VD -HD = VD -?3AD?2 ? ? = ( 13)2-12=2 3, 1 ∴VV—ABC= S△ABC· VH 3 1 = ×3 3×2 3=6, 3 所以正三棱锥的体积是 6.

点评

把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合

考查是高考的一个热点,解决此类问题的关键是正确 地观察三视图,把它还原为直观图,特别要注意从三 视图中得到几何体的度量,再结合表面积或体积公式 解题.

变式训练 3

(2009· 山东)一空间几何体的三视图如图 ( )

所示,则该几何体的体积为

A.2π+2 3 2 3 C.2π+ 3

B.4π+2 3 2 3 D.4π+ 3

解析

该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成,圆柱

的底面半径为 1,高为 2,体积为 2π,四棱锥的底面 1 2 3 2 边长为 2,高为 3,所以体积为 ×( 2) × 3= , 3 3 2 3 所以该几何体的体积为 2π+ 3 . 答案 C

课堂小结 1.在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时 往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解, 为 此在解此类问题时,要注意直角三角形的应用. 2. 有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴 截面,就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求 解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥,再借助 相似的相关知识求解. 3.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为 1 S′ =S V 柱体 =Sh V 台体 = h(S+ SS′+ S′ ) 3 1 V 锥体 = Sh. 3

S′ =0

课时作业
一、选择题 1.母线和底面圆的直径都为 2 的圆锥的侧面积为 3 A. π 3 ( B ) B.2π C.3π D.4π

2.圆台上、下底面面积分别是 π,4π,侧面积是 6π, 这个圆台的体积是 2 3 A. π B.2 3π 3 ( D ) 7 3 D. π 3

7 3 C. π 6

解析

上底半径 r=1,下底半径 R=2,因为 S 侧=6π,

设母线为 l,则 π(1+2)· l=6π.∴l=2. 所以高 h= l2-(R-r)2= 3. 1 7 3 ∴V=3π· 3(1+1×2+2×2)= 3 π.

3.圆柱的侧面展开图是长 12 cm,宽 8 cm 的矩形, 则这个圆柱的体积为 288 A. cm3 π 288 192 3 C. cm 或 cm3 π π ( 192 B. cm3 π D. 192π cm3

C )

6 解析 (1)12 为底面圆周长,则 2πr=12,所以 r=π, ?6? 288 2 ? ? 所以 V=π· π · 8= π (cm3). ? ? 4 (2)8 为底面圆周长,则 2πr=8,所以 r=π, ?4? 192 2 ? ? 所以 V=π· π · 12= (cm3). π ? ?

4.如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 三棱锥 D1—AB1C 的表面积与正方体 的表面积的比为 A.1∶ 2 C.1∶2
解析

( B ) B.1∶ 3 D. 3∶2

设正方体的棱长为 a,则 S 正=6a2,

正四面体 D1—AB1C 的棱长为 2a, S四面体 2 3 1 3 2 2 S 正四面体=4·4 ( 2a) =2 3a ,所以 = 6 = . S正方体 3

5.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺 寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是( )

4 000 A. cm3 3 C.2 000 cm3

8 000 B. cm3 3 D.4 000 cm3

解析 由几何体的三视图可知,几何体是 四棱锥.如图侧面 P B C ⊥面 A B C D .顶点 P 在底面 A B C D 上的射影 O 是 B C 的中点. 且 A B =B C =20 cm,P O =20 cm. ∴V P —A B C D = ·SA B C D ·PO
1 8 000 = 3 ×20×20×20= (cm3). 3 1 3

答案

B

二、填空题 6.一个长方体的长、宽、高分别为 9,8,3,若在上面 钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化, 则孔的半径 为________ . 3
解析 由题意知, 圆柱侧面积等于圆柱上、 下底面和, 即 2πr×3=2πr2,所以 r=3.

7.如图(1)所示,已知正方体面对角线长为 a,沿阴影 面将它切割成两块,拼成如图 (2)所示的几何体, 2 (2 + 2) a 那么此几何体的表面积为________.

2 解析 由已知可得正方体的边长为 2 a, 新几何体的表 ? 2 ? 2 ?2 2 面积为 S 表=2× 2 a×a+4×? = (2 + 2) a . a ? 2 ? ? ?

三、解答题 8.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图 是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形,侧视图 是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.

(1)求该几何体的体积V; (2)求该几何体的侧面积S.



(1)由该几何体的俯视图、正视图、

侧视图可知,该几何体是四棱锥,且四 棱锥的底面 ABCD 是边长为 6 和 8 的矩 形,高 PO=4,O 点是 AC 与 BD 的交点. ∴该几何体的体积 1 V= ×8×6×4=64. 3

(2)如图所示,侧面 PAB 中,PE⊥AB,则 PE= PO2+OE2= 42+32=5, 1 1 ∴S△PAB= ×AB×PE= ×8×5=20, 2 2 侧面 PBC 中,PF⊥BC, 则 PF= PO2+OF2= 42+42=4 2. 1 1 ∴S△PBC= ×BC×PF= ×6×4 2=12 2, 2 2 ∴该几何体的侧面积 S=2(S△PAB+S△PBC)=40+24 2.

9.如图是一个底面直径为 20 cm 的装 有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放 着一个底面直径为 6 cm,高为 20 cm 圆锥形铅锤,当铅锤从水中取出后, 杯里的水将下降多少?
1 解 因为圆锥形铅锤的体积为3× 62 π×(2) ×20=60π(cm3),设水面下降的高度为 x cm, 20 2 则小圆柱的体积为 π( ) x=100πx. 2 所以有 60π=100πx,解此方程得 x=0.6. 故杯里的水下降为 0.6 cm.


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