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陕西省咸阳市武功县绿野高中2013届高三上学期摸底考试 数学理


咸阳市武功县绿野高中 2013 届高三上学期摸底考试

数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选

项中,只有一项 是符合题目要求的. ) 1. 已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} A. 3

, B ? {( x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A}
C. ?

,则 B 中所含元素的个数为 D. ??

B. 6

2. 设 α 是第二象限角,

P ? x, 4?

1 cos ? ? x 5 ,则 tan ? = 为其终边上的一点,且 3 C. 4 ? 4 D. 3 ?
D.176

4 A. 3

3 B. 4

3. 在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11= A.58 B.88 C.143 4. 下列判断错误的是
2 2 A. “ am ? bm ”是” a ? b ”的充分不必要条件

2 ?x0 ? R , x0 2 ? x0 ? 1 ? 0 B.命题“ ?x ? R, x ? x ?1 ? 0 ”的否定是“ ”

C.若 p, q 均为假命题,则 p ? q 为假命题 D.若

? ~ B ? 4,0.25 ?

,则

D? ? 1

AC BC CB 5. 在△ ABC 中,若 AB ? AB· ? BA· ? CA· ,则△ ABC 是
A.等边三角形
4

??? 2 ?

??? ? ??? ??? ??? ??? ????? ? ? ? ?

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.直角三角形

1? ? ? 2x ? ? x ? 的展开式中的常数项为 6. ?
A. ?24 B. ?6 C. 6 D. 24

7. 圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 的位置关系为 A.内切 B.相交 C.外切
·1·

D.相离

8.已知

? ? a ? ? m,1? , b ? ?1, n ?1?

1 1 ? m, n 为正数),若 a*b=0,则 m n 的最小值是 (其中
C. 4 D.8

A.2

B. 2 2

9. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积 为

A. 2 3π

8 π B. 3

C. 4 3

16 π D. 3

10. 若实数 x,y 满足 A.0

? x ? y ? 1 ? 0, ? ? x ? y ? 0, ?x ? 0 ?
B. 1

则 z=3x+2y 的最小值是 C. 3 D. 9

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在答题卷相应位置上. ) 2 11.不等式 x -5x+6≤0 的解集为 .

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 2 b 12. 已知点 F、A 分别为双曲线 a 的左焦点、右顶点,点 B(0,b)满足

FB ? AB ? 0 ,则双曲线的离心率为
13. 已知

. .若数列



? x ? 1?

10

? a1 ? a2 x ? a3 x2 ? ? ? a11 x10

a1, a2 , a3 ,?, ak
. .

(1≤K≤11, K∈Z)是一个单调递增数列,则 k 的最大值是

14. 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数” .现从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 个.
·2·

15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A. (不等式选做题)不等式

x ?1 ? x ? 3 ? 0

的解集是



B. (几何证明选做题) 如图,⊙O 的直径 AB =6cm, P 是 延长线上的一点,过点 P 作⊙O 的切线,切点为 C , 连结 AC ,若 ?CAP ? 30? ,则 PC = . .

C . 极 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 中 , 已 知 曲 线 ? ? 2 cos? 与 直 线 (

3? c o s ? 4 s i??a ? 相切,则实数 a 的值为________. ? ? n 0



三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中 , 角

A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c , 点 ( a , b ) 在 直 线

x(sin A ? sin B) ? y sin B ? c sin C 上,
(1)求角 C 的值; (2)若 a ? b ? 6(a ? b) ? 18,求 ?ABC的面积.
2 2

17. (本小题满分 12 分) 3 现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 ,命中得 1 分,没有命中得 0 分; 4 2 向乙靶射击两次,每次命中的概率为 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分.该射手每次射击 3 的结果相互独立,假设该射手完成以上三次射击. (1)求该射手恰好命中一次的概率; (2)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX. 18. (本小题满分 12 分) 1 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点,DC1⊥BD. 2 (1)证明:DC1⊥BC; (2)求二面角 A1-BD-C1 的大小.

·3·

19. (本小题满分 13 分) 已知等差数列 (1)求数列

{an } 的前 n 项和为 Sn ,公差 d ? 0 , S5 = 4a3 + 6 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列.

{an } 的通项公式;

?1? ? ? S (2)求数列 ? n ? 的前 n 项和公式.
20. (本小题满分 13 分) y P

3
已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 2 O

2
的椭圆过点( 2 , 2 ) .

Q

x

(第 20 题) (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点,满足直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成 等比数列,求△OPQ 面积的取值范围.

21. (本小题满分 13 分)

f ( x) ?
已知函数

1 2 x ? ln x 2 .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的最大值、最小值;

(Ⅱ)求证:在区间 [1, ?? ) 上,函数 f ( x ) 的图象在函数

g ( x) ?

2 3 x 3 图象的下方;

·4·

参考答案
一、选择题: 1 D 2 D 3 B 4 D 5 D 6 D 7 B 8 C 9 D 10 B

1. D【解析】要使 x ? y ? A ,当 x ? 5 时, y 可是 1,2,3,4;当 x ? 4 时, y 可是 1,2,3;当 x ? 3 时, y 可是 1,2;当 x ? 2 时, y 可是 1,综上, B 中所含元素共有 10 个.选 D.

2. D 【解析】因为 α 是第二象限角,所以 x ? 0 .由三角函数的定义,有

cos ? ?

1 ? x x 2 ? 42 5 ,解

x



x ? ?3 ? x ? 0 ?

tan ? ?
.所以

4 4 ?? ?3 3.

3. B【解析】由等差数列性质可知,a4+a8=a1+a11=16,S11=

11? a1 ? a11) ( =88. 2

2 2 2 2 4. D 【解析】A 项中, am ? bm ? a ? b ;但 a ? b 不能推出 am ? bm ,例如:当 m ? 0 时,

am2 ? bm 2 ,故 A 正确;B 项显然正确;C 项中, p, q 均为假可以推出 p ? q 为假,正确;D 项
中,

D? ? 4 ? 0.25 ? ?1 ? 0.25? ? 0.75

,故错误.

???? ???? ???? ???? ??? ??? ? ? ??? 2 ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? AB· AB? AC ? BC BA CA · ? AC BC CB 5 . D 【 解 析 】 由 AB ? AB· ? BA· ? CA· , 得 ,得 ??? ??? ??? ? ? ? ???? ??? ???? ???? BC·BC ? AB ? 0 ? ??? ??? ? ? AB· CB? BC· ,得 BC BC· ? 0 ,故 BC ? AC .故△ ABC 是直角 AC ,得

?

?

?

?

?

?

三角形.

Tr ?1 ? C ? 2 x ?
r 4

4? r

6. D【解析】展开式中的通项为
2

r 4? r r 4?2 r ? 1? ? ? ? ? ? ?1? 2 C4 x ? x? ,令 4 ? 2r ? 0 ,得

r

2 2 r ? 2 .所以展开式中的常数项为 T3 ? ? ?1? 2 C4 ? 24

7. B【解析】因为两圆的圆心距为 (2 ? 2)2 ? (1 ? 0) 2 = 17,又因为 3-2< 17<3+2,所以两圆 相交.

m ?1 ? 1? ? n ? 1 ? 0 m ? n ? 1 ? ,即 b 8 . C 【 解 析 】 因 为 a· ? 0 , 所 以 . 又 m, n 为 正 数 , 所 以

·5·

1 1 ? 1 1? ? ? ? ? ? ? m ? n? m n ?m n?

? 2?

n m n m n m 1 1 1 ? ? 2?2 ? ?4 ? m?n? ? m n m n 2 时等号成立.故 m n 的最小 ,当且仅当 m n ,即

值是 4. 9. D【解析】该几何体是个如下图所示的三棱锥 D-ABC,外接球的球心为点 E ,F 为 AC 的中点, 设 EF ? r , DE ? EA ? EC ? EB ,



3 ? r ? 1? r , 解 得
2

r?

3 2 3 R ? 3?r ? 3 ,表面积为 3 .所以外接球的半径为

4πR2 ?

16π 3 .

10. B【解析】作出不等式组

? x ? y ? 1 ? 0, ? ? x ? y ? 0, ?x ? 0 ?

表示的可行域(如下图) ,令 z ' ? x ? 2 y ,可知当直线

z ' ? x ? 2 y 经过点 O ? 0,0? 时, z ' ? x ? 2 y 取得最小值 0,故此时 z ? 3x ? 2 y 取得最小值 1.

11. {x|2≤x≤3}【解析】解不等式得 (x-2) (x-3)≤0,即 2≤x≤3,所以不等式的解集是{x|2≤x≤3}.

e?
12.

1? 5 ??? ??? ? ? 2 2 2 FB ? AB ? ? c, b ? ? ? ?a, b ? ? 0 2 【解析】由 , ? ac ?b ? 0 , 得 所以 ? ac ? c ? a ? 0 , e? 1? 5 1? 5 e? 2 或 2 (舍去) .
·6·

即 ?e ? e ? 1 ? 0 ,解得
2

13. 6 【解析】 由二项式定理,得
1 0 a10 ? C10 , a11 ? C10

10 9 8 7 6 5 4 a1 ? C10 , a2 ? C10 , a3 ? C10 , a4 ? C10 , a5 ? C10 , a6 ? C10 , a7 ? C10 ,

?,

,因为

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7,且数列 a1, a2 , a3 ,…, ak 是一个单调递

增数列,所以 k 的最大值是 6. 14.40【解析】六个数中任取 3 个数共有

C3 ? 20 6

种情况,每一种情况下将最大的一个数放在中间,

又可以组成两个不同的三位数,所以符合“伞数”的情况共有 20 ? 2 ? 40 种. 15.A. {x | x ? 1} B. 3 3 C. 2 或 ?8

16. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题得

a ? sin A ? sin B ? ? b sin B ? c sin C



a b c 2 2 ? ? 2 sin A sin B sin C ,得 a ? a ? b? ? b ? c ,即 a2 ? b ? c2 ? ab .???3 分 由正弦定理
cos C ?
由余弦定理得

a 2 ? b2 ? c2 1 ? 2ab 2,

结合 0 ? C ? ? ,得
2 2

C?

?
3 .??????6 分
2 2

(2)由 a ? b ? 6(a ? b) ?18 ,得 (a ? 3) ? (b ? 3) ? 0 , 从而 a ? b ? 3 .??????9 分

1 1 ? 9 3 S ? ab sin C ? ? 32 ? sin ? 2 2 3 4 . ??????12 分 所以 ?ABC 的面积
17. (本小题满分 12 分) 解: (1)记:“该射手恰好命中一次”为事件 A,“该射手射击甲靶命中”为事件 B,“该射手第一 次射击乙靶命中”为事件 C,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件 D,由题意知 3 2 P(B)= ,P(C)=P(D)= , 4 3 -- - - -- 由于 A=B C D + B C D + B C D, 根据事件的独立性和互斥性得 -- - - -- -- - - -- P(A)=P(B C D + B C D + B C D)=P(B C D )+P( B C D )+P( B C D)
·7·

- - - - - - =P(B)P( C )P( D )+P( B )P(C)P( D )+P( B )P( C )P(D) 3 2 ? 2 3 ? 2 2 3 ? 2 ? 2 = × 1-3?× 1-3?+?1-4?× × 1-3?+?1-4?× 1-3?× ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? 3 4 ? = 7 36 ??????6 分

(2)根据题意,X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性得 3 ? 2 ? 2 1 --- P(X=0)=P( B C D )=[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)]=?1-4?× 1-3?× 1-3?= , ? ? ? ? ? ? 36 3 ? 2 ? 2 1 -- - - P(X=1)=P(B C D )=P(B)P( C )P( D )= × 1-3?× 1-3?= , ? ? ? 12 4 ? 3 2 ? 2 3 ? 2 - - -- - - -- P(X=2)=P( B C D + B C D)=P( B C D )+P( B C D)=?1-4?× × 1-3?+?1-4?× 1-3? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? 2 1 ×= , 3 9 3 2 ? 2 3 ? 2 2 1 - - - - P(X=3)=P(BC D +B C D)=P(BC D )+P(B C D)= × × 1-3?+ × 1-3?× = , ? 4 ? ? 3 3 4 3 ? 3 2 2 1 - P(X=4)=P( B CD)=?1-4?× × = , ? ? 3 3 9 3 2 2 1 P(X=5)=P(BCD)= × × = . 4 3 3 3 故 X 的分布列为 X P 0 1 36 1 1 12 2 1 9 3 1 3 4 1 9 5 1 3

1 1 1 1 1 1 41 所以 EX=0× +1× +2× +3× +4× +5× = . 36 12 9 3 9 3 12 18. (本小题满分 12 分) 解: (1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形. 由于 D 为 AA1 的中点,故 DC=DC1. 1 又 AC= AA1,可得 DC12+DC2=CC12, 2

??????12 分

所以 DC1⊥DC. 而 DC1⊥BD,DC∩BD=D,所以 DC1⊥平面 BCD. BC?平面 BCD,故 DC1⊥BC. ??????????????5 分 (2)由(1)知 BC⊥DC1,且 BC⊥CC1,则 BC⊥平面 ACC1,所以 CA,CB,CC1 两两相互垂 直. → → 以 C 为坐标原点,CA的方向为 x 轴的正方向,|CA|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz.
·8·

由题意知 A1(1,0,2) ,B(0,1,0) ,D(1,0,1) 1(0,0,2) ,C . → 则 A1 D =(0,0,-1) ,BD=(1,-1,1) D C1 =(-1,0,1) , . 设 n=(x,y,z)是平面 A1B1BD 的法向量,则 错误!即错误!可取 n=(1,1,0) . 同理,设 m 是平面 C1BD 的法向量,则错误!可得 m=(1,2,1) . n· m 3 从而 cos〈n,m〉= = . |n|· |m| 2 故二面角 A1-BD-C1 的大小为 30° . 19. (本小题满分 13 分) 解:(1)因为 ??????????????12 分

S5 = 4a3 + 6 ,

所以 因为 所以

5a1 +

5创 d 4 = 4(a1 + 2d ) + 6 2 . ①??????????????3 分

a1 , a3 , a9 成等比数列,
a1 (a1 + 8d ) = (a1 + 2d ) 2
. ② ??????????????5 分

a = 2, d = 2 . 由①②及 d ? 0 ,可得 1
??????????????6 分 所以

an = 2n . an = 2n ,可知
Sn =

??????????????7 分

(2)由

(2 + 2n) n = n2 + n 2 .

??????????????9 分

1 1 1 1 = = S n(n + 1) n n + 1 , 所以 n

??????????????11 分

·9·

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ?+ + = - + - + ?+ - + S1 S2 Sn- 1 Sn 1 2 2 3 n - 1 n n n + 1 ??13 分 所以
20. (本小题满分 13 分)

x2
解: (Ⅰ)由题意可设椭圆方程为 a
2

?

y2 b2

?1
(a>b>0) ,

y P O (第 20 题 题) x



?c 3 , ? ? ?a 2 ? ? a ? 2, ? 2 ? 1 ? 1, ? b ?1 ? a 2 2b 2 ? 故 ? ,
x2
所以,椭圆方程为 4

Q

? y2 ? 1
. ……………5 分

(Ⅱ)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线 l 的方程为 y=kx+m(m≠0) ,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,

? y ? kx ? m, ? 2 x ? 4 y 2 ? 4 ? 0, 由? 消去 y 得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
则△=64 k2b2-16(1+4k2b2) 2-1)=16(4k2-m2+1)>0, (b



x1 ? x2 ?

?8km 1 ? 4k 2 ,

x1 x2 ?

4( m 2 ? 1) 1 ? 4k 2 .

故 y1 y2=(kx1+m) (kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2. 因为直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列,

y1 y2
所以,

x1 x2

?

k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2


?8 k 2 m 2
=k2,即 1 ? 4 k
2

x1 x2

+m2=0,又 m≠0,

1 1 ? 所以 k = 4 ,即 k= 2 .
2

由于直线 OP,OQ 的斜率存在,且△>0,得 0<m2<2 且 m2≠1.

1

1

设 d 为点 O 到直线 l 的距离,则 S△OPQ= 2 d | PQ |= 2 | x1-x2 | | m |= △OPQ 的取值范围为 (0,1) ……………… 13 分 . 21. (本小题满分 13 分)

m2 (2 ? m2 ) ,所以 S

x?
(I)∵f? (x)=

1 x ∴当 x? [1, e] 时,f? (x)>0,
·10·

∴ f ( x ) 在 [1, e] 上是增函数,



f ( x)min ? f (1) ?

1 1 f ( x)max ? f (e) ? e2 ? 1 2, 2 . ------6 分

F ( x) ?
(II)设

1 (1 ? x)(1 ? x ? 2 x 2 ) 1 2 2 F ?( x) ? x ? ? 2 x 2 ? x ? ln x ? x3 x x 2 3 ,则 ,

? ∵ x ? 1 时,∴ F ( x) ? 0 ,故 F ( x ) 在 [1, ?? ) 上是减函数.

1 1 2 2 F (1) ? ? ? 0 x ? ln x ? x3 [1, ??) 上, F ( x ) ? 0 ,即 2 6 3 , 又 ,故在 g ( x) ? 2 3 x 3 的图象的下方. ---------13 分

∴函数 f ( x ) 的图象在函数

·11·


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