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东北育才五校联考高二上期末数学试题及答案(文科)


2008-2009 学年度上学期期末考试 高二年级文科数学试卷
命题学校:辽宁省实验中学 命题人:佟新影 校对人:刘铭
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是 (A)一个命题的逆命题为真,则它的否命题为假 (B)一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题为真 (C

)一个命题的否命题为真,则它的逆命题为真 (D)一个命题的否命题为真,则它的逆否命题为真 2. 命题“ p : ?x ? R ,使得 x ? 2 x ? 2 ? 0 ”的否定是
2

(A) ?x ? R ,使得 x ? 2 x ? 2 ? 0
2

(B) ?x ? R ,使得 x ? 2 x ? 2 ? 0
2

(C) ?x ? R ,使得 x ? 2 x ? 2 ? 0
2

(D) ?x ? R ,使得 x ? 2 x ? 2 ? 0
2

3. 如果命题“ ?( p ? q) ”是假命题,则正确的是 (A) p, q 均为真命题 (C) p, q 均为假命题
*

(B) p, q 中至少有一个为真命题 (D) p, q 中至多有一个为真命题
*

4. “数列 {an } ( n ? N )满足 an ?1 ? an ? q (其中 q 为常数)” “数列 {an } ( n ? N ) 是 是等比数列”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

5. 动点 P 到点 (0, 4) 的距离比到直线 y ? ?3 的距离多 1 ,则动点 P 的轨迹为 (A)圆 (B)椭圆
*

(C)双曲线

(D)抛物线

6. 等 差 数 列 {an } ( n ? N ) 的 前 n 项 和 为 S n . 若 S4 ? 8 , S8 ? 20 , 则

a11 ? a12 ? a13 ? a14 ?
(A) 10 (B) 12 7. 下列判断中,正确的个数是 (C) 16 (D) 18

高二文科数学科试卷共 9 页第 1 页

① ac ? bc ? a ? b
2 2

② a ? b ? ac ? bc
2

2

③ a ? b且ac ? bc ? c ? 0 ④ a ? b且ac ? bc ? c ? 0 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 8. 已知 a ? b 且 c ? d ,若 M ? ac ? bd , N ? ad ? bc ,则 (A) M ? N (B) M ? N (C) M ? N (D)以上都不对 9. 若不等式 (A) ?7
*

x 2 ? 8 x ? 15 ? 0 的解集为 {x | x ? ?4 或 x ? 5} ,则 m ? n 等于 x 2 ? mx ? n
(B) ?9 (C) 13 (D) 11

10. 数列 {an } ( n ? N )满足 an ? (A)

1 ,则数列 {an } 的前 8 项和 S8 ? n(n ? 2)
(C)

29 45
?

(B)

29 90

9 10

(D)

9 20

11. 若 x、y ? R 且 2 x ? y ? 1 ,则

2 1 ? 的最小值为 x y
(C) 5 ? 2 2 (D) 9

(A) 1

(B) 4 ? 2 2

12. 已知等差数列 1, 4,7,10, ?,与等比数列 1, 2, 4,8, ?均有 2009 项,则这两数列的 共同项共有 (A) 5 个 (B) 7 个 (C) 6 个 (D) 8 个 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题卡相应的横线 上. 13. 双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的渐近线方程为 3 4

.

14. 已知两定点 A(?4, 0) 、 B(4,0) ,如果动点 P 满足 | PA | - | PB |= 4 ,则点 P 的轨 迹方程为
2

. .

15. 已知抛物线 y ? x ,则它的焦点坐标是 16. 下列关于函数 f ( x) ? x ? sin x 的叙述中,正确的是 ①函数 f ( x) 的定义域是 R ,值域是 R ;
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②函数 f ( x) 是周期函数; ③函数 f ( x) 有无数个极值点; ④函数 f ( x) 是增函数. 其中正确叙述的序号是 . 三.解答题: 本大题共 6 小题, 74 分, 共 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

?x ? 3 y ? 4 ? 0 ? 已知 x 、 y 满足: ?3 x ? y ? 4 ? 0 . ?x ? y ? 0 ?
(Ⅰ)若 z ? 7 x ? y ,求 z 的最大值和最小值. (Ⅱ)若 w ?

y ,求 w 的最大值和最小值. x?3
x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )与直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 的交 a 2 b2

18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)已知点 A 、B 是椭圆 C :

点.点 M 是 AB 的中点,且点 M 的横坐标为 ? 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知点 A 、 B 是椭圆 C :

1 .若椭圆 C 的焦点为 (?4,0) 和 (4, 0) . .. 2

x2 y 2 ? ? 1 ( m ? 0, n ? 0 )与直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 m2 n2

的交点.点 M 是 AB 的中点,且点 M 的横坐标为 ? 圆 C 的方程(不必写出求解过程). ........ 19. (本小题满分 12 分)

1 .若椭圆 C 的焦距为 8 .写出椭 .. .. 2

函 数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d ( x ? R ) 的 图 象 经 过 原 点 , 且 f (?1) ? 2 和
3 2

f (1) ? ?2 分别是函数 f (x) 的极大值和极小值.
高二文科数学科试卷共 9 页第 3 页

(Ⅰ)求 a, b, c, d ; (Ⅱ)过点 A(1, ?3) 作曲线 y ? f (x) 的切线,求所得切线方程. 20. (本小题满分 12 分)
* 数列 {an } ( n ? N )的前 n 项和 S n 满足 Sn ? n ? 2n ? 1 .
2

(Ⅰ)求 an ;
* (Ⅱ)设 bn ? an ? 2 ( n ? N )的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .
n

21. (本小题满分 12 分) 点 M 为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 的 右 顶 点 , 过 点 N ( 2, 0)作 直 线 l 交 椭 圆 C 于 9 4

A ( x A , y A ) 、 ( xB , yB ) 两点,连接 AM 、 B BM 分别交直线 l0 : x ?
9 Q ( , yQ ) ,且 yP ? yQ . 2
(Ⅰ)用 x A 、 y A 表示 y P ,用 xB 、 y B 表示 yQ ;

9 9 于点 P ( , y P ) 、 2y 2
A Q

??? ???? ? (Ⅱ)证明: NP ? NQ 为常数.
22. (本小题满分 14 分)
*

o
B

N

M

x

P

在 1 与 2 之间插入 n ( n ? N )个正数 a1 、 a2 、 a3 、? an ,使这 n ? 2 个数成等差 数列.在 1 与 2 之间插入 n ( n ? N )个正数 b1 、b2 、b3 、? bn ,使这 n ? 2 个数成等比
*

数列. (Ⅰ)求 ak , bk ,其中 k ? 1, 2,?, n ; (Ⅱ)求证: ak ? bk ( k ? 1, 2,?, n ).

高二文科数学科试卷共 9 页第 4 页

高二年级文科数学参考答案
一.选择题:(C)(B)(B)(B)(D) (D)(C)(A)(D)(A) (D)(B) 二.填空题:13. y ? ? 三.解答题: 17.解:设点 A 为 ?

x2 y 2 3 1 x ; 14. ? ? 1 ( x ? 2 ); 15. (0, ) ; 16.①④. 2 4 12 4

?x ? 3 y ? 4 ? 0 ,即: (1,1) ?x ? y ? 0 ?3 x ? y ? 4 ? 0 ,即: (?1,?1) ?x ? y ? 0 ?x ? 3 y ? 4 ? 0 ,即: (?2,2) ???????????????6 分 ?3 x ? y ? 4 ? 0

设点 B 为 ?

设点 C 为 ?

(Ⅰ)点 A (1,1) 使 z 取得最大值 8 ,点 C (?2,2) 使 z 取得最小值 ?12 . ?????9 分 (Ⅱ)点 C (?2,2) 使 w 取得最大值 2 ,点 B (?1,?1) 使 w 取得最小值 ? 18.解:(Ⅰ)点 M 为 (?

1 .???12 分 2

1 1 , ) .??????????????????????2 分 2 2

? xA2 y A2 ? 2 ? 2 ?1 1 1 ?a b 由题意知:点 A , B 满足: ? 2 ∴ 2 ? 2 x中 ? 2 ? k AB ? 2 y中 ? 0 ?4 分 2 b ? xB ? y B ? 1 a 2 2 ?a b ?
∴?

1 1 1 ? ? ?1 ? 0 a 2 b2 3
2

∴ a ? 3b ????????????????6 分
2 2
2

又∵ c ? 4
2

∴ a ? 24 , b ? 8 ?????????????????8 分
2

经检验, a ? 24 , b ? 8 符合题意

∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .??????????????????10 分 24 8

高二文科数学科试卷共 9 页第 5 页

x2 y 2 (Ⅱ)椭圆 C 的方程为 ? ? 1 .???????????????????12 分 24 8
19.解:(Ⅰ)∵函数 f (x) 的图象经过原点 ∴ f (0) ? d ? 0 ∵ f (?1) ? 2 和 f (1) ? ?2 分别是函数 f (x) 的极大值和极小值. ∴ f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c ? 3a( x ? 1)( x ? 1) ? 3ax ? 3a
2

2

∴ b ? 0 , c ? ?3a 又∵ f (?1) ? 2 , f (1) ? ?2

∴ f ( x) ? ax ? 3ax
3

∴a ?1

经检验, a ? 1 , b ? 0 , c ? ?3a , d ? 0 即: f ( x) ? x ? 3x ????????????????????????6 分
3

(Ⅱ)设切点为 M ( x0 , x0 ? 3x0 ) .
3

则切线方程为: y ? ( x0 ? 3x0 ) ? (3x0 ? 3)( x ? x0 ) ???????????8 分
3 2

∴ ?3 ? ( x0 ? 3x0 ) ? (3x0 ? 3)(1 ? x0 )
3 2

即: 2 x0 ? 3x0 ? 0
3 2

∴ x0 ? 0 或 x0 ?

3 ?????????????10 分 2

∴切线为 y ? ?3x 和 y ?

15 27 x ? .????????????????12 分 4 4

20.解:(Ⅰ)①当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 4 ; ?????????????2 分 ②当 n ? N 且 n ? 2 时,
*

an ? Sn ? Sn ?1 ? (n 2 ? 2n ? 1) ? [(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) ? 1] ? 2n ? 1 ?????4 分
∴ an ? ?

(n ? 1) ?4 ? 2n ? 1 (n ? 2)

(Ⅱ)①当 n ? 1 时, T1 ? 8 ;当 n ? 2 时, T2 ? 28 ;??????????????6 分
高二文科数学科试卷共 9 页第 6 页

②当 n ? N 且 n ? 3 时,
*

Tn ? a1 ? 21 ? a2 ? 22 ? a3 ? 23 ? ? ? an?1 ? 2n?1 ? an ? 2n
∴ 2 ? Tn ? a1 ? 2 ? a2 ? 2 ? a3 ? 2 ? ? ? an ?1 ? 2 ? an ? 2
2 3 4 n 1 2 3 n ?1

∴ (1 ? 2) ? Tn ? a1 ? 2 ? (a2 ? a1 ) ? 2 ? (a3 ? a2 ) ? 2 ? (a4 ? a3 ) ? 2 ? ? ? (an ? an?1 ) ? 2 ? an ? 2
4 n

n ?1

∴ (?1) ? Tn ? 8 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? (2n ? 1) ? 2
2 3 4 n

n ?1

? 8 ? 22 ? 2 ? (23 ? 24 ? ? ? 2n ) ? (2n ? 1) ? 2n?1

? 12 ? 2 ?

23 (1 ? 2n?2 ) ? (2n ? 1) ? 2n?1 1? 2

? 12 ? 2n?2 ? 24 ? n ? 2n?2 ? 2n?1
∴ Tn ? n ? 2
n?2

? 2n ?1 ? 4 ????????????????????????10 分
n?2

由①②得, Tn ? n ? 2

? 2n ?1 ? 4 ( n ? N * )????????????????12 分

21.解:(Ⅰ)点 M 为 (3, 0) . ∵直线 AM 为: y ?

yA ( x ? 3) xA ? 3
即 yP ?

∴点 P 满足 yP ?

yA 9 ( ? 3) xA ? 3 2

3 yA ?????????2 分 2( x A ? 3)

同理 yQ ?

3 yB ???????????????????????4 分 2( xB ? 3)

(Ⅱ) NP ? NQ ? ( ? 2, yP ? 0) ? ( ? 2, yQ ? 0) ?

??? ???? ?

9 2

9 2

9 y A yB 25 25 ? ? yP yQ ? 4 4( x A ? 3)( xB ? 3) 4

(1)当直线 l 的倾斜角不等于 0? 也不等于 90? 时,设其方程为: y ? k ( x ? 2) .

高二文科数学科试卷共 9 页第 7 页

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 ∴点 A 、 B 满足: ? 9 ∴ 4 x ? 9k ( x ? 4 x ? 4) ? 36 4 ? y ? k ( x ? 2) ?
即: (9k ? 4) x ? 36k x ? 36k ? 36 ? 0
2 2 2 2

? ? 362 k 4 ? 4(9k 2 ? 4)(36k 2 ? 36) ? 144(5k 2 ? 4) ? 0

? 36k 2 x A ? xB ? 2 ? ? 9k ? 4 ∴? ???????????????????????6 分 36(k 2 ? 1) ?x x ? ? A B 9k 2 ? 4 ?
∴ NP ? NQ ?

??? ???? ?

25 9k 2 ( x A ? 2)( xB ? 2) 9 y A yB 25 ? ? ????8 分 ? 4 4( x A ? 3)( xB ? 3) 4 4( xA ? 3)( xB ? 3)

??? ???? 25 9k 2 [ x x ? 2( x ? x ) ? 4] ? A B A B ? ∴ NP ? NQ ? 4 4[ x A xB ? 3( x A ? xB ) ? 9]

36(k 2 ? 1) 36k 2 ? 2? 2 ? 4] 25 9k 2 ? 4 9k ? 4 ? ? 36(k 2 ? 1) 36k 2 4 4[ ? 3? 2 ? 9] 9k 2 ? 4 9k ? 4 9k 2 [
25 9k 2 (?20) 5 ? ? ??????????????????10 分 4 4 ? 9k 2 4 ??? ???? 5 ? (2)当直线 l 的倾斜角等于 90? 时, NP ? NQ ? . 4 ?
(3)当直线 l 的倾斜角等于 0? 时,点 P 、 Q 重合,不合题意..

5 成立.???????????????????????12 分 4 1 22. 解 :( Ⅰ ) ak 是 以 1 为 首 项 , 为 公 差 的 等 差 数 列 中 的 第 k ?1 项 , 所 以 n ?1 1 k ,即 ak ? 1 ? ( k ? 1, 2,?, n ). ak ? 1 ? k ? n ?1 n ?1
综上, NP ? NQ ?

??? ???? ?

bk 是以 1 为首项, 2

1 n?1

为公比的等比数列中的第 k ? 1 项,所以 bk ? 1? (2
高二文科数学科试卷共 9 页第 8 页

1 n ?1 k

) ,即

bk ? 2

k n ?1

( k ? 1, 2,?, n ) ???????????????????????4 分
k k ? 2 n ?1 ( k ? 1, 2,?, n ) n ?1
x

(Ⅱ) ak ? bk ? 1 ?

设 f ( x) ? 1 ? x ? 2 ( x ? (0,1) ),下面证明 f ( x) ? 0 ( x ? (0,1) )?????6 分 ∵ f '( x) ? 1 ? ln 2 ? 2 是关于 x 的减函数.
x

又∵ f '(0) ? 1 ? ln 2 ? 2 ? 1 ? ln 2 ? 0 , f '(1) ? 1 ? ln 2 ? 2 ? 1 ? ln 4 ? 0
0 1

∴方程 f '( x) ? 0 在 x ? (0,1) 范围内有且只有一个实数解,设此根为 x0 ∴当 x ? (0, x0 ) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 是单调增的; 当 x ? ( x0 ,1) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 是单调减的.???????????8 分 又∵ f (0) ? 1 ? 0 ? 2 ? 0 且 f (1) ? 1 ? 1 ? 2 ? 0
0 1

∴当 x ? (0,1) , f ( x) ? 0 恒成立.?????????????????12 分 ∵

k ? (0,1) n ?1
k k ? 2 n ?1 ? 0 ( k ? 1, 2,?, n ) n ?1

∴ ak ? bk ? 1 ?

即: ak ? bk ( k ? 1, 2,?, n ).???????????????????14 分

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