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第二章,导数应用练习题答案


导数应用练习题答案
1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件?如满足,请求出定理中的数值 ? 。

(1) f ( x) ? 2x2 ? x ? 3

[?1,1.5] ;

(2) f ( x) ?

1 1 ? x2
2

[ ?2, 2] ;

r />
(3) f ( x) ? x 3 ? x
解: (1) f ( x) ? 2 x2 ? x ? 3

[0,3];
[?1,1.5]

(4) f ( x) ? ex ?1

[?1,1]

该函数在给定闭区间上连续,其导数为 f ?( x) ? 4 x ? 1 ,在开区间上可导,而且 f (?1) ? 0 , f (1.5) ? 0 , 满足罗尔定理,至少有一点 ? ? (?1,1.5) , 使 f ?(? ) ? 4? ? 1 ? 0 ,解出 ? ? 解: (2) f ( x) ?

1 。 4

1 1 ? x2

[ ?2, 2]

该函数在给定闭区间上连续,其导数为 f ?( x) ? 满足罗尔定理,至少有一点 ? ? (?2, 2) , 使 f ?(? ) ?

1 1 ?2 x ,在开区间上可导,而且 f ( ?2) ? , f (2) ? , 2 2 5 5 (1 ? x )

?2? ? 0 ,解出 ? ? 0 。 (1 ? ? 2 ) 2

解: (3) f ( x) ? x 3 ? x

[0,3]
x ,在开区间上可导,而且 f (0) ? 0 , 2 x ?3

该函数在给定闭区间上连续,其导数为 f ?( x) ? 3 ? x ?

f (3) ? 0 ,满足罗尔定理,至少有一点 ? ? (0,3) ,
使 f ?(? ) ? 3 ? ? ?

? ? 0 ,解出 ? ? 2 。 2 ? ?3
[?1,1]
2

解: (4) f ( x) ? ex ?1
2

该函数在给定闭区间上连续, 其导数为 f ?( x) ? 2xex , 在开区间上可导, 而且 f (?1) ? e ? 1 , f (1) ? e ? 1 , 满足罗尔定理,至少有一点 ? ,使 f ?(? ) ? 2? e? ? 0 ,解出 ? ? 0 。
2

2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件?如满足,请求出定理中的数值 ? 。

(1) f ( x) ? x3

[0, a] (a ? 0) ; [?1,0]

(2) f ( x) ? ln x

[1, 2]



(3) f ( x) ? x3 ? 5x2 ? x ? 2
解: (1) f ( x) ? x
3

[0, a] (a ? 0)

该函数在给定闭区间上连续,其导数为 f ?( x) ? 3x2 ,在开区间上可导,满足拉格朗日定理条件,至少有 一点 ? ? (0, a) ,使 f (a) ? f (0) ? f ?(? )(a ? 0) ,即 a3 ? 0 ? 3? 2 (a ? 0) ,解出 ? ? 解: (2) f ( x) ? ln x

a 。 3

[1, 2]
1 ,即在开区间上可导,满足拉格朗日定理条件,至少有 x

该函数在给定闭区间上连续,其导数为 f ?( x) ?

一点 ? ? (1, 2) ,使 f (2) ? f (1) ? f ?(? )(2 ?1) ,即 ln 2 ? ln1 ?

1

?

(2 ? 1) ,解出 ? ?

1 。 ln 2

解: (3) f ( x) ? x3 ? 5x2 ? x ? 2

[?1,0]

该函数在给定闭区间上连续,其导数为 f ?( x) ? 3x2 ?10x ? 1 ,即在开区间上可导,满足拉格朗日定理条 件,至少有一点 ? ? (?1, 0) ,使 f (0) ? f (?1) ? f ?(? )(0 ? 1) , 即 ?2 ? (?9) ? (3? 2 ?10? ? 1)(0 ? 1) ,解出 ? ?

5 ? 43 。 3

3.证明不等式: sin x2 ? sin x1 ? x2 ? x1 证明:设函数 f ( x) ? sin x , ?x1 , x2 ? R ,不妨设 x1 ? x2 , , 该函数在区间 [ x1 , x2 ] 上连续,在 ( x1 , x2 ) 上可导,由拉格朗日中值定理有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ?(? )( x2 ? x1 ) , ( x1 ? ? ? x2 ) 即 sin x2 ? sin x1 ? cos ? ( x2 ? x1 ) ,
故 sin x2 ? sin x1 ? cos ? ( x2 ? x1 ) ,由于 cos ? ? 1 ,所以有 sin x2 ? sin x1 ? x2 ? x1

4.证明不等式: nbn?1 (a ? b) ? an ? bn ? nan?1 (a ? b) (n ? 1, a ? b ? 0)
n 证 明 : 设 函 数 f ( x) ? x , 在 [b, a ] 上 连 续 , 在 (b, a ) 内 可 导 , 满 足 拉 格 朗 日 定 理 条 件 , 故

an ? bn ? n? n?1 (a ? b) ,其中 0 ? b ? ? ? a ,因此 bn?1 ? ? n?1 ? an?1
有 nb
n?1

(a ? b) ? n? n?1 (a ? b) ? nan?1 (a ? b) (a ? b) ? an ? bn ? nan?1 (a ? b)
1 x

所以 nb

n?1

5.证明不等式: 2 x ? 3 ?

( x ? 0, x ? 1)

证明:设 f ( x) ? 2 x ? 3 ?

1 1 1 x x ?1 ,在 x ? 1 时, f (1) ? 0 ,且 f ?( x) ? , ? 2? x x2 x x

当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,函数单调增加,因此 f ( x) ? f (1) ? 0 ; 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,函数单调减少,因此 f ( x) ? f (1) ? 0 ; 所以对一切 x ? 0 ,且 x ? 1 ,都有 f ( x) ? 0 ,即 2 x ? 3 ?

1 x

( x ? 0, x ? 1)

6.利用洛必达法则求下列极限:

e x ? e? x (1) lim ; x ?0 x
解: lim

e x ? e? x e x +e? x ? lim ?2 x ?0 x ?0 x 1
ln x ; x ?1

(2) lim
x ?1

1 ln x 解: lim ? lim x ? 1 x ?1 x ? 1 x ?1 1
x3 ? 3x 2 ? 2 (3) lim 3 ; x ?1 x ? x 2 ? x ? 1
解: lim
x ?1

x3 ? 3x 2 ? 2 3x 2 ? 6 x ? lim 2 ?? x3 ? x 2 ? x ? 1 x?1 3x ? 2 x ? 1

ln( x ? ) 2 ; (4) lim? ? tan x x?
2

?

ln( x ? ) x? 2 2 ? lim 2 ? lim cos x ? lim 2 cos x ? (? sin x) ? 0 解: lim? 1 ? x?? ? ? ?? ?? tan x 1 x? x? x? 2 2 2 x? 2 2 cos x 2

?

1

?

(5) lim

xn x ??? e ax

(a ? 0, n为正整数)

解: lim

xn nx n?1 n! ? lim ? lim n ax ? 0 ax ax x ??? e x ??? a ? e x ??? a ? e

(6) lim x m ln x (m ? 0) ; ?
x ?0

1 ln x xm m x 解: lim x ln x ? lim ? m ? lim ? lim ?0 ? m ?1 x ?0? x ?0? x x ?0? ?mx x ?0? ?m
1 1 (7) lim( ? x ) ; x ?0 x e ?1
解: lim( ?
x ?0

1 x

1 ex ?1 ? x ex ?1 ex 1 1 ) ? lim ? lim x ? lim x x ? lim ? x x x x x ?0 e ? e ? xe x ?0 2 ? x e ? 1 x?0 x(e ? 1) x?0 e ? 1 ? xe 2
1

(8) lim(1 ? sin x) x ;
x ?0

解: lim(1 ? sin x) x ? lim(1 ? sin x) sin x
x ?0 x ?0

1

1

?

sin x x

?e

(9) lim xsin x ; ?
x ?0

解: lim x ?
x ?0

sin x

?e

x?0?

lim sin x ln x

?e

?1 x?0? sin x

lim

ln x

?e

1 x ?2 x?0? ? sin x ?cos x lim

?e

x?0? ? x ?cos x

lim

sin 2 x

?e

x?0?

lim

sin x sin x ? ? x cos x

? e0 ? 1

? ln(1 ? kx) ? 7.设函数 f ( x) ? ? x ??1 ?

x?0 x?0

,若 f ( x ) 在点 x ? 0 处可导,求 k 与 f ?(0) 的值。

解:由于函数在 x ? 0 处可导,因此函数在该点连续,由连续的概念有

lim
x ?0

ln(1 ? kx) kx ? lim ? k ? f (0) ? ?1 ,即 k ? ?1 x ?0 x x

按导数定义有

ln(1 ? x) 1 ?1 ? ?1 f ( x) ? f (0) ln(1 ? x) ? x ?1 1 x f ?(0) ? lim ? lim ? lim ? lim 1 ? x ? lim ?? 2 x ?0 x ?0 x ?0 x ?0 x ? 0 2(1 ? x ) x?0 x x 2x 2

8.设函数

? 1 ? cos x ? x2 ? f ( x) ? ? k ?1 1 ? ? x ? x e ?1
x ?0

x?0 x ? 0 ,当 k 为何值时, f ( x) 在点 x ? 0 处连续。 x?0

解:函数连续定义, lim f ( x) ? lim f ( x) ? f (0) , ? ?
x ?0

1 1 ex ?1 ? x ex ?1 ex 1 1 lim f ( x) ? lim( ? x ) ? lim ? lim x ? lim x x ? lim ? x x x ? ? ? ? ? ? x ?0 x ?0 x x ?0 e ? e ? xe x ?0 2 ? x e ? 1 x?0 x(e ? 1) x?0 e ? 1 ? xe 2

x ? 0?

lim f ( x) ? lim ?
x ?0

1 ? cos x 1 1 ? ,而 f (0) ? k ? lim f ( x) ? ; 2 x ?0 x 2 2

即当 k ?

1 时,函数 f ( x) 在 x ? 0 点连续。 2

9.求下列函数的单调增减区间:

(1) y ? 3x2 ? 6x ? 5 ;
解: y? ? 6 x ? 6 ? 0 ,有驻点 x ? ?1 , 由于当 x ? ?1 时, y? ? 0 ,此时函数单调减少; 由于当 x ? ?1 时, y? ? 0 ,此时函数单调增加;

(3) y ? x4 ? 2x2 ? 2 ;
解: y? ? 4x3 ? 4x ? 4x( x2 ?1) ,令 y? ? 0 ,有 x ? 0, x ? 1, x ? ?1, 当 x ? ?1 时, y? ? 0 ,此时函数单调较少;当 ?1 ? x ? 0 时, y? ? 0 ,此时函数单调增加; 当 0 ? x ? 1 时, y? ? 0 ,此时函数单调较少;当 x ? 1 时, y? ? 0 ,此时函数单调增加

(3) y ?

x2 ; 1? x

解: y? ?

2 x(1 ? x) ? x 2 2 x ? x 2 ,令 y? ? 0 ,有 x ? 0, x ? ?2 ,此外有原函数知 x ? ?1 , ? (1 ? x)2 (1 ? x)2

当 x ? ?2 时, y? ? 0 ,此时函数单调增加;当 ?2 ? x ? ?1 时, y? ? 0 ,此时函数单调减少; 当 ?1 ? x ? 0 时, y? ? 0 ,此时函数单调减少;当 x ? 0 时, y? ? 0 ,此时函数单调增加;

10.证明函数 y ? x ? ln(1 ? x ) 单调增加。
2

证明: y? ? 1 ?

2x (1 ? x)2 ? ? 0, 1 ? x2 1 ? x2

等号仅在 x ? 1 成立,所以函数 y ? x ? ln(1 ? x2 ) 在定义区间上为单调增加。 11.证明函数 y ? sin x ? x 单调减少。 解: y? ? cos x ? 1 ? 0 , 等号仅在孤立点 x ? 2n? (n ? 0, ?1, ?2??) 成立,所以函数 y ? sin x ? x 在定义域内为单调减少。 12.求下列函数的极值:

(1) y ? x3 ? 3x2 ? 7 ;
解: y? ? 3x ? 6 x ? 3x( x ? 2) ,令 y? ? 3x ? 6 x ? 3x( x ? 2) ? 0 ,解出驻点为 x ? 0; x ? 2 ,函数在定义
2 2

域内的单调性与极值见图表所示:

x
f ?( x )
f ( x)

(??, 0)

0

(0, 2)

?
单调增加
20

0 极大 7

?
单调减小

2

(2, ??)

0 极小 3

?
单调增加

10 f ( x)

2

1

0

1

2

3

4

10 x

2x (2) y ? 1 ? x2



解: y? ?

2(1 ? x)(1 ? x) ,驻点为 x ? 1, x ? ?1 ,函数的单调性与极值见表 (1 ? x 2 )2
(??, ?1)

x
f ?( x ) f ( x)

?
单调减小
2 ?x

?1

(?1,1)

1

(1, ??)

极小
?1

?
单调增加

极大
1

?
单调减少
f ( x) 4 2 f ( x) 4 2

2

2 1

1 0 2 4

1 0

2

4

1 2

(3) y ? x e



x 2 x

解: y? ? xe? x (2 ? x) ,驻点为 x ? 0, x ? 2 , 二阶导数为 y?? ? e? x ( x2 ? 4x ? 2) , 显然 y??(0) ? 2, y??(2) ? ?
2 4 ,函数在 x ? 0 点取极小值 0 ,在 x ? 2 处取极大值 2 。 2 e e
2

1.5

f ( x)

1

0.5

1

0

1 x

2

3

(4) y ? 3 ? 3 ( x ? 2) 2



解: y? ? ?

2 3( x ? 2)
1 3

,函数在 x ? 2 处不可导,以此点为界划分区间并给出函数单调性与极值。
(2, ??)

x
f ?( x ) f ( x)

(??, 2)

2

?
单调增加

不存在 极大 3

?
单调减少
f ( x) g( x)

3

2.5

2

1

1.5

0

1

2 x

3

4

5

(5) y ? ( x ? 1) 3 x 2



解:函数导数为 y? ? 见表格所示。

5x ? 2 3x
1 3

,解出驻点为 x ?

2 ,不可导点为 x ? 0 ,函数在各个区间的单调性 5

x
f ?( x )
f ( x)

(??, 0)

0

?
单调增加

2 (0, ) 5

不存在 极大 0

?

2 5

2 ( , ??) 5

0 极小
? 3 3 20 25

?

单调减少

单调增加

(6) y ?

x3 ( x ? 1)2
x 2 ( x ? 3) ,驻点为 x ? 0, x ? 3 ,不可导点为 x ? 1 ,划分区间并判断增减性与极值 ( x ? 1)3

解: y? ?

x
f ?( x ) f ( x)

(??, 0)

0

(0,1)

(1,3)

3

(3, ??)

?
单调增 加

0
无极 值
100

?
单调增 加

?
单调减 少

0
极小 27 4

?
单调增加

f ( x)

50

2

1

0

1 x

2

3

4

13.利用二阶导数,判断下列函数的极值:

(1) y ? ( x ? 3)2 (x ? 2) ;
解: y? ? (3x ? 7)( x ? 3) , y?? ? 2(3x ? 8) ,驻点: x ?

7 , x ? 3, 3

y?? x? 7 ? ?2 ? 0 ,因此在 x ?
3

7 4 点函数取极大值 ; 3 27

y?? x?3 ? 2 ? 0 ,因此在 x ? 3 点函数取极小值 0 ;

(2) y ? 2e x ? e? x
解: y? ?

ln 2 2e 2 x ? 1 , y?? ? 2e x ? e? x ,驻点为 x ? ? , x 2 e ln 2 处函数取得极小值 2 2 。 2

由于 y?? x ?? 1 ln 2 ? 2 2 ? 0 ,因此在 x ? ?
2

14.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:

(1) y ? x4 ? 2x2 ? 5
3

[?2, 2] ;

解: y? ? 4 x ? 4 x ? 4 x( x ? 1)( x ?1) ,令 y? ? 0 ,得驻点为 x ? 0, x ? 1, x ? ?1, 计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为 y(?2) ? 13, y(?1) ? 4, y(0) ? 5, y(1) ? 4, y(2) ? 13 , 比较上述函数值,知最大值为 y(?2) ? y(2) ? 13 ; 最小值为 y (?1) ? y (1) ? 4 。

(2) y ? ln( x2 ? 1)
解 : y? ?
2

[?1, 2] ;

2x , 令 y? ? 0 , 得 驻 点 为 x ? 0 , 计 算 出 驻 点 处 和 区 间 端 点 处 所 有 的 函 数 值 为 x ?1 y(?1) ? ln 2, y(0) ? 0, y(2) ? ln 5 ,比较上述函数值,知最大值为 y (2) ? ln 5 ;最小值为 y(0) ? 0

(3) y ?

x2 1? x

1 [? ,1] ; 2

解: y? ?

( x ? 2)x ,令 y? ? 0 ,得驻点为 x ? 0, x ? ?2 ,计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为 ( x ? 1)2

1 1 1 y (?2) ? ?4, y (0) ? 0, y (? ) ? , y (1) ? ,比较上述函数值, 2 2 2 1 1 知最大值为 y ( ? ) ? y (1) ? ;最小值为 y (0) ? 0 。 2 2

(4) y ? x ? x

[0, 4]

解: y? ?

2 x ?1 ? 0 ,函数单调增加,计算端点处函数值为 y(0) ? 0, y(4) ? 6 , 2 x

知最大值为 y (4) ? 6 ;最小值为 y (0) ? 0

15.已知函数 f ( x) ? ax3 ? 6ax2 ? b 值。

(a ? 0) ,在区间 [?1, 2] 上的最大值为 3 ,最小值为 ?29 ,求 a , b 的

解: f ?( x) ? 3ax2 ?12ax ,令 f ?( x) ? 3ax2 ?12ax ? 3ax( x ? 4) ? 0 ,解出驻点为 x ? 0, x ? (舍) , 4 且 f (?1) ? b ? 7a , f (0) ? b , f (2) ? b ? 16a 因为 a ? 0 ,所以 f (0) ? f (?1) ? f (2) 故 f (0) ? b ? 3 为最大值, f (2) ? b ? 16a 为最小值,即 f (2) ? b ? 16a ? ?29 ,解出 a ? 2 。 16. 欲做一个底为正方形,容积为 108m 的长方体开口容器,怎样做所用材料最省? 解:设底面正方形的边长为 x ,高为 h ,则表面积为 S ? x ? 4 xh ,
2
3

又体积为 V ? x h ,有 h ?
2

V x2

4V 432 dS 432 ? x2 ? ? 2 x ? 2 ? 0 ,解出 x ? 6 , h ? 3 , x x dx x 即取底面边长为 6 ,高为 3 时,做成的容器表面积最大。
得S ? x ?
2

17.欲用围墙围成面积为 216m 的一块矩形土地,并在正中间一堵墙将其隔成两块,问这块土地的长和宽 选取多大的尺寸,才能使所用建筑材料最省? 解:所用的建筑材料为 L ? 3x ? 2 y ,其中面积 xy ? 216 ,因此有 L ? 3 x ?

2

432 , x

dL 432 ? 3 ? 2 ? 0 ,解出 x ? 12 ,即当取宽为 x ? 12 米,长为 y ? 18 米时所用建筑材料最省。 dx x
18.某厂生产某种商品, 其年销量为 100 万件, 每批生产需增加准备费 1000 元, 而每件的库存费为 0.05 元, 如果年销售率是均匀的,且上批销售完成后,立即再生产下一批(此时商品库存数为批量的一半) ,问应 分几批生产,能使生产准备费及库存费之和最小? 解:设 100 万件分 x 批生产,生产准备费及库存费之和为 y ,则

y ? 1000 x ?

1 000 000 25 000 ? 0.05 ? 1000 x ? , 2x x 25 000 y? ? 1000 ? ? 0 ,解出 x ? 5 , x2

问 5 批生产,能使生产准备费及库存费之和最小。 19.某商店每年销售某种商品 a 件,每年购进的手续费为 b 元,而每件的库存费为 c 元/年,若该商品均匀 销售,且上批销售完立即进下一批货,问商店应分几批购进此种商品,能使所用的手续费及库存费总和最 少? 解:设分 x 批进货,手续费及库存费总和为 y ,则

y ? bx ? y? ? b ?

a ?c , 2x ac ? 0 ,解出 x ? 2x2

ac , 2b

所以每年进货

ac 批,手续费及库存费总和最小。 2b

20.确定下列曲线的凹向与拐点:

(1)y ? x2 ? x3 ;
解: y? ? 2 x ? 3x2 , y?? ? 2 ? 6 x , 令 y ?? ? 0, x ?

1 3
1 3

x
f ??( x)
f ( x)

1 (??, ) 3

?

1 ( , ??) 3

0
2 27 小

?





(2) y ? ln(1 ? x2 ) ;
解: y? ?

2x 2 ? 2 x2 ?? ? , ,y 1 ? x2 (1 ? x2 )2

令 y?? ? 0, x ? ?1

x
f ??( x) f ( x)

(??, ?1)

?


?1

(?1,1)

1

(1, ??)

0
ln 2
拐点

?


0

?


ln 2
拐点

(3) y ? x ;

1 3

1 ?2 2 ?5 2 ? ? x 3 , y?? ? ? x 3 ? ? 解: y , 令 y??不存在点, x ? 0 3 5 3 9 x

x
f ??( x) f ( x)
(4) y ? 2x ; 1 ? x2

(??, 0)

0

(0, ??)

?


不存在
0 拐点

?


2 ? 2 x2 4x( x 2 ? 3) 解: y? ? , , y?? ? (1 ? x 2 )2 (1 ? x 2 )3
令 y?? ? 0, x ? 0, x ? ? 3

x
f ??( x) f ( x)

(??, ? 3)

?


? 3

(? 3,0)

0

(0, 3)

0
? 3 2

?


0 0
拐点

?

3

( 3, ??)

0
3 2

?




拐点

拐点

(5) y ? xe x ;
解: y? ? ex (1+x), y?? ? e x (2+x) , 令 y?? ? 0, x= ? 2

x
f ??( x) f ( x)

(??, ?2)

?


?2

(?2, ??)

0

?


2 e2 拐点 ?

(6) y ? e? x
解: y? ? ?e , y?? ? e
?x ?x

?0,

所以 y ? e? x 在

(??, ??) 内是凹的,无拐点。

21.某化工厂日产能力最高为 1000 吨,每天的生产总成本 C (单位:元)是日产量 x (单位:吨)的函数:

C ? C( x) ? 1000 ? 7 x ? 50 x

x ?[0,1000]

(1)求当日产量为 100 吨时的边际成本; (2)求当日产量为 100 吨时的平均单位成本。 解: (1)边际成本 C ?( x) ? 7 ?

25 25 ? 9.5 , C ?(100) ? 7 ? 10 x C (100) 1000 50 C ( x) 1000 50 ? ?7? ? 22 ? ?7? , AC (100) ? 100 100 10 x x x

(2)平均单位成本 AC ( x) ?

1 2 x ,求(1)生产 900 单位时的总 1200 成本和平均单位成本; 生产 900 单位到 1000 单位时的总成本的平均变化率; 生产 900 单位和1000 (2) (3)
22.生产 x 单位某产品的总成本 C 为 x 的函数:C ? C ( x ) ? 1100 ? 单位时的边际成本。

解: (1) C (900) ? 1100 ?

1 9002 ? 1775 , 1200

C (900) 1775 ? ? 1.97 900 900 C (1000) ? C (900) ? 1.58 (2) 1000 ? 900 x (3)边际成本为 C ?( x ) ? , 600 900 1000 C ?(900) ? ? 1.5, C ?(1000) ? ? 1.67 600 600
23.设生产 x 单位某产品,总收益 R 为 x 的函数: R ? R( x) ? 200x ? 0.01x2 ,求:生产 50 单位产品时的 总收益、平均收益和边际收益。 解:总收益 R(50) ? 200 ? 50 ? 0.01? 2500 ? 9975 ,

R( x) R(50) ? 200 ? 0.01x , ? 200 ? 0.01? 50 ? 199.5 , x 50 边际收益 R?( x) ? 200 ? 0.02 x , R?(50) ? 200 ? 0.02 ? 50 ? 199
平均收益 24.生产 x 单位某种商品的利润是 x 的函数: L( x) ? 5000 ? x ? 0.00001x2 ,问生产多少单位时获得的利 润最大? 解: L?( x) ? 1 ? 0.000 02x=0 ,解出 x ? 50 000 所以生产 50 000 个单位时,获得的利润最大?

25.某厂每批生产某种商品 x 单位的费用为 C ( x) ? 5 x ? 200 ,得到的收益是 R( x) ? 10 x ? 0.01x ,问每批
2

生产多少单位时才能使利润最大?

26.某商品的价格 P 与需求量 Q 的关系为 P ? 10 ?

Q ,求(1)求需求量为 20 及 30 时的总收益 R 、平均 5

收益 R 及边际收益 R? ; (2) Q 为多少时总收益最大?

解:总收益函数 R(Q) ? PQ ? (10 ?

Q Q2 )Q=10Q ? 5 5

平均收益函数 R(Q) ?

R(Q) Q ? 10 ? , Q 5
2Q , 5

边际收益函数 R?(Q)=10 ? (1) R(20) ? 200 ?

400 900 =120,R(30) ? 300 ? =120 , 5 5 R(20) 20 R(30) 30 R(20) ? ? 10 ? =6, R(30) ? ? 10 ? =4 , 20 5 30 5

40 60 =2,R?(30)=10 ? = ? 2, 5 5 2Q =0, 解出 Q=25 时总收益最大。 (2) R?(Q)=10 ? 5 27.某工厂生产某产品,日总成本为 C 元,其中固定成本为 200 元,每多生产一单位产品,成本增加 10 元。 该商品的需求函数为 Q ? 50 ? 2 P ,求 Q 为多少时,工厂日总利润 L 最大? 解:成本函数 C ? C (Q) ? 200 ? 10Q , R?(20)=10 ?

L(Q) ? PQ ? C (Q) ?

50 ? Q Q2 Q ? (200 ? 10Q) ? 15Q ? ? 200 , 2 2

令 L?(Q) ? 15 ? Q=0 ,解得 Q=15 , 所以 Q=15 ,总利润 L 最大。


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