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选修2-1


第三章 空间向量与立体几何 回顾
一. 平面向量的基本概念与基本运算
①在平面内,既有大小又有方向的量叫向量
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特级教师 王新敞
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1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注: (1)向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的 向量。 (2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
王新敞
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2. 空间向量的运算。 定义: 与平面向量运算一样, 空间向量的加法、 减法与数乘运算如下 (如图) 。

OB ? OA ? AB ? a ? b ; BA ? OA ? OB ? a ? b ; OP ? ?a(? ? R) ? ? ? ? 运算律:⑴加法交换律: a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? ⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ? ? ? ? ⑶数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b
3. 共线向量。 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量 ? ? ? ? 也叫做共线向量或平行向量, a 平行于 b ,记作 a // b 。 ? ? ? ? ? ? 当我们说向量 a 、 b 共线(或 a // b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直 线可能是同一直线,也可能是平行直线。 ? ? ? ? ? ? (2)共线向量定理:空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ) , a // b 存在实数 ? ? λ ,使 a =λ b 。 4. 共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明:空间任意的两向量都是共面的。 (2)共面向量定理:如果两个向量 a , b 不共线, p 与向量 a , b 共面的条件 是存在实数 x, y 使 p ? xa ? yb 。 5.平面向量的基本定理 ? ? ? 如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a ,有且只 ? ? ? ? ? 有一对实数 ?1 , ? 2 使: a ? ?1e1 ? ?2 e2 ,其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有
向量的一组基底
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5. 空间向量基本定理:如果三个向量 a, b , c 不共面,那么对空间任一向量 p , 存在一个唯一的有序实数组 x, y, z ,使 p ? xa ? yb ? zc 。 若三向量 a, b , c 不共面,我们把 {a, b , c} 叫做空间的一个基底,a, b , c 叫做基向 量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三 个有序实数 x, y, z ,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC 。 6.空间两向量的夹角: 已知两个非零向量 、 , 在空间任取一点 O, 作 (两个向量的起点一定要相同) ,则叫做向量 ,且 。 与 , 的夹角,记作

7. 空间向量的直角坐标系: 1.空间直角坐标系 (1)定义:以空间中两两垂直且相交于一点 O 的三条直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴,这时就说建立了空间直角坐标系 Oxyz,其中点 O 叫做坐标 ,x 轴、 y 轴、z 轴叫做 .通过每两个 的平面 叫做 坐标 平面 ,分别 称为 平面、 平面、 平面. (2)画法:在平面上画空间直角坐标系 Oxyz 时,一般使∠xOy= , ∠yOz 0 =90 (1)空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A ,存在唯一的有序实数组
( x , y , z ) ,使 OA ? xi ? yi ? zk ,有序实数组 ( x, y, z ) 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标,记作 A( x, y, z ) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标。

2

(2) 右手直角坐标系:右手握住 z 轴,当右手的四指从正向 x 轴以 90°角度转 向正向 y 轴时,大拇指的指向就是 z 轴的正向;

(3)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正 交基底,用{i, j, k} 表示。 (4)空间向量的直角坐标运算律: ①若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) ,则

a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ,

a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , ? a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R) ,
a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ,

a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) 或 a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 。

a1 a2 a3 ? ? ?? b1 b2 b3

②若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 ) 。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐 标减去起点的坐标。 (5)模长公式:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) , 则 | a |? a ? a ? a1 ? a2 ? a3 , | b |? b ? b ? b1 ? b2 ? b3 (6)夹角公式: cos a ? b ?
2 2 2 2 2 2

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? 。 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3

(7)两点间的距离公式:若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) , 则 | AB |? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 , 或 d A, B ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2 (8)空间线段 P 1 ( x1 , y1 , z1 ), P 2 ( x2 , y2 , z2 ) 的 中 点 M ( x, y, z ) 的 坐 标 :
? x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 ? , , ? ? 2 2 ? ? 2
2

3

(9)球面方程: x 2 ? y 2 ? z 2 ? R2 8. 空间向量的数量积。 (1)空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量 a , b ,在空间任取一点 O , 作 OA ? a, OB ? b ,则 ?AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 ? a, b ? ;且规 定 ? 0 ?? a, b ?? ? ,显然有 ? a, b ??? b , a ? ;若 ? a , b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直, 2 记作: a ? b 。 (2)向量的模:设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模, 记作: | a | 。 (3)向量的数量积:已知向量 a , b ,则 | a | ? | b | ? cos ? a, b ? 叫做 a , b 的数量 积,记作 a ? b ,即 a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a, b ? 。 (4)空间向量数量积的性质: ① a ? e ?| a | cos ? a, e ? 。② a ?b ? a ?b ? 0 。③ | a |2 ? a ? a = (a)2 , a ? (a) 2 (5)空间向量数量积运算律: ① (?a) ? b ? ?(a ? b ) ? a ? (?b ) 。 ② a ? b ? b ? a (交换律) 。 ③ a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) 。 9、空间向量在立体几何证明中的应用:

AB ? (a1 , a2 , a3 ), CD ? (b1 , b2 , b3 )
(1 )证明 AB // CD ,即证明 AB // CD ,也就是证明 a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 或 a1 a2 a3 ? ? ?? b1 b2 b3 (2)证明 AB ? CD ,即证明 AB ? CD ? 0 ,也就是证明 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 (3) 证明 AB // ?(平面) (或在面内) , 即证明 AB 垂直于平面的法向量或证明 AB 与平面内的基底共面; (4)证明 AB ? ? ,即证明 AB 平行于平面的法向量或证明 AB 垂直于平面内的 两条相交的直线所对应的向量; (5)证明两平面 ? // ? (或两面重合) ,即证明两平面的法向量平行或一个面的 法向量垂直于另一个平面; (6)证明两平面 ? ? ? ,即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在另一 个面内。 10. 运用向量的坐标运算解题的步骤: (1)建坐标系,求相关点的坐标 (2)求相关向量的坐标 (3)运用向量运算解题

4

11. 用向量方法来解决立体几何中的空间角的问题: (1) 两条直线的夹角: 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 两直线 l , m 所成的角为 ? ( 0 ≤ ? ≤

?
2

), cos? ?

a?b a b

= cos a, b

(2) 直线与平面的夹角: ? ? 设直线 l 的方向向量分别为 a ,平面 ? 的法向量分别为 u , 直线 l 与平面 ? 所成的角为 ? ( 0 ≤ ? ≤

?
2

), sin ? ?

a?u a u

= cos a, u ;

(3) 二面角: 0 ? ? ? ? ① 方向向量法:



法向量法:
5

法向量的方向: 一进一出,二面角等于法向量夹角; 同进同出,二面角等于法向量夹角的补角 12. 利用“方向向量”与“法向量”来解决距离问题. (1)点与直线的距离:
d ? AP sin ? (先求 cos ? AP , a ?)

(2)点到平面的距离:d=

| PA ? n | |n|

.

如图 A ? ? , 空间一点 P 到平面 ? 的距离为 d,已知平面 ? 的一个法向量为 n ,且

AP 与 n 不共线, 分析:过 P 作 PO⊥ ? 于 O,连结 OA. 则 d=| PO |= | PA | ? cos ?APO.
∵ PO ⊥ ? , n ? ? , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos ? PA, n? |. ∴d=| PA ||cos ? PA, n? |=

| PA ? n | |n|

.

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d ? CD ?

n ? AB n

(3)异面直线间的距离:

已知 a,b 是异面直线,CD 为 a,b 的公垂线, n是直线CD的方向向量, A, B 分别在直 线 a,b 上

d ? CD ?

n ? AB n

(4)其它距离问题: ① 平行线的距离(转化为点到直线的距离) ② 直线与平面的距离(转化为点到平面的距离) ③ 平面与平面的距离(转化为点到平面的距离)

(7)面积射影定理 S' S? cos? .
' (平面多边形及其射影的面积分别是 S 、S ,它们所在平面所成锐二面角的 为 ? ).

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