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2014届高考数学一轮复习 第九章解析几何9.4直线与圆、圆与圆的位置关系教学案 理 新人教A版


9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系

考纲要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系. 2.能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系. 3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 4.初步了解用代数方法处 理几何问题的思想. 5.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置,会推导空间两点间的距离 公式.
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br />1.直线与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系有三种:____、____、____. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法: ①代数法:把直线方程与圆的方程联立方程组,消去 x 或 y 整理成一元二次方程后,计 >0? ? ? 2 算判别式 Δ =b -4ac?=0? ? ?<0? , , .

②几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 的大小关系: d<r?____, d=r?____, d>r?____. (2)圆的切线方程: 2 2 2 2 2 2 若圆的方程为 x +y =r ,点 P(x0,y0)在圆上,则过 P 点且与圆 x +y =r 相切的切线 方程为____________. 2 2 2 注:点 P 必须在圆 x +y =r 上. 2 2 2 经过圆(x-a) +(y-b) =r 上点 P(x0,y0)的切线方程为______________. (3)直线与圆相交: 2 2 2 直线与圆相交时, 若 l 为弦长, d 为弦心距, r 为半径, 则有 r =______, 即 l=2 r -d , 求弦长或已知弦长求其他量的值,一般用此公式. 2.圆与圆的位置关系 (1)圆与圆的位置关系可分为五种:_____、 _____、_____、_____、_____. (2)判断圆与圆的位置关系常用方法: ①几何法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径为 r1,r2(r1≠r2),则|O1O2|>r1+r2?____; |O1O2|=r1+r2?____;|r1-r2|<|O1O2|<r1+r2?____;|O1O2|=|r1-r2|?____;|O1O2|< |r1-r2|?____. ②代数法: 2 2 ? ?x +y +D1x+E1y+F1=0, ? 方程组 2 2 ?x +y +D2x+E2y+F2=0, ? 有两组不同的实数解?两圆____; 有两组相同的实数解?两圆____; 无实数解?两圆相离或内含. 3.在空间直角坐标系中,O 叫做坐标原点,x,y,z 轴统称为坐标轴,由坐标轴确定的 平面叫做坐标平面. 这儿所 说的空间直角坐标系是空间右手直角坐标系: 即伸开右手, 使拇 指指向______轴的正方向,食指指向______轴的正方向,中指指向______轴的正方向.也可 这样建立坐标系:令 z 轴的正方向竖直向上,先确定 x 轴的正方向,再将其按逆时针方向旋 转 90°就是 y 轴的正方向. 4.空间点的坐标 设点 P(x,y,z)为空间坐标系中的一点,则(1)关于原点的对称点是______;(2)关于 x
1

轴的对称点是______; (3)关于 y 轴的对称点是______; (4)关于 z 轴的对称点是______; (5) 关于 xOy 坐标平面的对称点是______;(6)关于 yOz 坐标平面的对称点是______;(7)关于 xOz 坐标平面的对称点是______. 5.空间两点间的距离 设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|=__________. 1.直线 x-y+1=0 与圆(x+1) +y =1 的位置关系是( ). A.相切 B.直线过圆心 C.直线不过圆心,但与圆相交 D.相离 2 2 2.圆 x +y -4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为( ). A.x+ 3y-2=0 B.x+ 3y-4=0 C.x- 3y+4=0 D.x- 3y+2=0 2 2 2 2 3.两圆 x +y -2y=0 与 x +y -4=0 的位置关系是( ). A.相交 B.内切 C.外切 D.内含 2 2 4.直线 x-y+2=0 被圆 x +y +4x-4y-8=0 截得的弦长等于__________. 5.已知 A(x,2,3),B(5,4,7),且|AB|=6,则 x 的值为__________. 2 2 2 2 6.已知圆 C1:x +y +2x-6y+1=0,圆 C2:x +y -4x+2y-11=0,则两圆的公共 弦所在的直线方程为__________,公共弦长为__________.
2 2

一、直线与圆的位置关系 2 2 2 2 【例 1-1】点 M(a,b)是圆 x +y =r 内异于圆心的一点,则直线 ax+by=r 与圆的交 点个数为( ). A.0 B.1 C.2 D.需要讨论确定 2 2 【例 1-2】已知点 P(0,5)及圆 C:x +y +4x-12y+24=0.若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的弦长为 4 3,求直线 l 的方程. 方法提炼 1.直线与圆的位置关系有两种判定方法:代数法与几何法.由于几何法一般比代数法 计算量小,简便快捷,所以更容易被人接受.同时,由于它们的几 何性质非常明显,所以 利用数形结合,并充分考虑有关性质会使问题处理起来更加方便. 2.直线与圆相交求弦长有两种方法: (1)代数方法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程.在判别 2 式 Δ > 0 的前提下,利用根与系数的关系求弦长.弦长公式 l = 1+k ·|x1 - x2| = Δ 2 2 2 (1+k )[(x1+x2) -4x1x2]= 1+k · .其中 a 为一元二次 方程中的二次项系数. |a| (2)几何方法:若 弦心距为 d,圆的半径长为 r,则弦长 l=2 r -d . 代数法计算量较大,我们一般选用几何法. 请做演练巩固提升 3 二、圆与圆的位置关系 【例 2-1】设两圆 C1,C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2| =( ). A.4 B.4 2 C.8 D.8 2 2 2 【例 2-2】已知圆 C 的圆心在直线 x-y-4=0 上,并且通过两圆 C1:x +y -4x-3= 2 2 0 和 C2:x +y -4y-3=0 的交点, (1)求圆 C 的方程; (2)求两圆 C1 和 C2 相交弦所在直线的方程.
2 2

2

方法提炼 1.判断两圆的位置关系,通常是用几何法,从圆心距 d 与两圆半径长的和、差的关系 入手. 如果用代数法, 从交点个数也就是方程组解的个数来判断, 但有时不能得到准确结论. 2.若所求圆过两圆的交点,则可将圆的方程设为过两圆交点的圆系方程 C1+ λ C2= 0(λ ≠-1). 3.利用两圆方程相减即可得到相交弦所在直线的方程. 请做演练巩固提升 1 三、空间直角坐标系 【例 3】在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2),B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上,且点 M 到点 A 与点 B 的距离相等,则点 M 的坐标是__________. 方法提炼 距离是几何中的基本度量单位, 由平面上两点之间的距离公式可类比得到空间两点之间 的距离公式.利用该公式可解决以下问题:(1)求给定两点间的距离;(2)利用距离公式求参 数值或最值;(3)判断几何图形的形状. 请做演练巩固提升 4 易遗漏对“x=4”的讨论而致误 2 2 【典例】(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x+3) +(y-1) =4 和圆 C2: 2 2 (x-4) +(y-5) =4.

(1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷 多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分 别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求 所有满足条件的点 P 的坐标. 规范解答:(1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y=k(x-4),圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d, 因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3, 所以 d= 2 -( 3) =1.(2 分) |1-k(-3-4)| 由点到直线的距离公式得 d= ,从而 k(24k+7)=0,即 k=0,或 k=- 2 1+k 7 ,所以直线 l 的方程为 y=0,或 7x+24y-28=0.(4 分) 24 (2)设点 P(a,b)满足条件,不妨设直线 l1 的方程为 y-b=k(x-a),k≠0, 1 则直线 l2 的方程为 y-b=- (x-a).(6 分)
2 2

k

因为圆 C1 和 C2 的半径相等, 及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相 等,所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等,即 ?5+1(4-a)-b? ? k ? |1-k(-3-a)-b| ? ? = ,(8 分) 2 1 1+k 1+ 2

k

整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|, 从而 1+3k+ak-b=5k+4-a-bk,或 1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk, 即(a+b-2)k=b-a+3,或(a-b+8)k=a+b-5,
3

因为 k 的取值有无穷多个,(10 分) ?a+b-2=0, ?a-b+8=0, ? ? 所以? 或? ? ? ?b-a+3=0, ?a+b-5=0, 5 ? ?a=2, 解得? 1 ? ?b=-2, 3 ? ?a=-2, 或? 13 ? ?b= 2 .

(11 分)

1? ?5 ? 3 13? 这样点 P 只可能是点 P1? ,- ?,或点 P2?- , ?. 2 2 ? ? ? 2 2? 经检验点 P1 和 P2 满足题目条件.(12 分) 答题指导:解决直线与圆的位置关系问题时,要注意以下几点: (1)根据题设条件,合理选择利用代数方法还是利用几何方法判断其位置关系; (2)凡是涉及参数的问题,一定要注意参数的变化对位置关系的影响,以便确定是否分 类讨论.

1.(2012 山东高考)圆(x+2) +y =4 与圆(x-2) +(y-1) =9 的位置关系为( ). A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 2 2 2.圆 x +y -2x+4y-4=0 与直线 2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为( ). A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能 2 2 3.过原点的直线与圆 x +y -2x-4y+4=0 相交所得弦的长为 2,则该直线的方程为 __________. 4.已知在△ABC 中,A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),则△ABC 的 面积等于__________. 2 2 5.已知点 P(1,-2),以 Q 为圆心的圆 Q:(x-4 ) +( y-2) =9,以 PQ 为直径作圆与 圆 Q 交于 A,B 两点,连接 PA,PB,则∠APB 的余弦值为__________.

2

2

2

2

4

参考答案 基础梳理自测 知识梳理 1.(1)相切 相交 相离 ①相交 相切 相离 ②相交 相切 相离 (2)x0x+y0y=r
2

(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r

2

(3)d +? ? ?2?
2

?l?2

2.(1)相离 外切 相交 内切 内含 ①相离 外切 相交 内切 内含 ②相交 相切 3.x y z 4.(-x,-y,-z) (x,-y,-z) (-x,y,-z) (-x,-y,z) (x,y,-z) (-x,y,z) (x,-y,z) 2 2 2 5. (x1-x2) +(y1-y2) +(z1-z2) 基础自测 |-1-0+1| 1.B 解析:∵圆心(-1,0)到直线 x-y+1=0 的距离 d= =0, 2 ∴直线过圆心. 3 2. D 解析: 设切线方程为 y- 3=k(x -1), 由 d=r, 可求得 k= .故方程为 x- 3 3 y+2=0. 2 2 2 2 3.B 解析:两圆方程可化为 x +(y-1) =1,x +y =4.两圆圆心分别为 O1(0,1), O2(0,0),半径分别为 r1=1,r2=2. ∵|O1O2|=1=r2-r1, ∴两圆内切. 4.2 14 解析:由题意知圆心为(-2,2),r=4, 则圆心到直线的距离 d= 2. 又∵r=4,∴|AB|=2 14. 2 2 2 5.1 或 9 解析:由空间两点间的距离公式,得 (x-5) +(2-4) +(3-7) =6, 2 即(x-5) =16,解得 x=1 或 x=9. 24 6.3x-4y+6=0 解析:设两圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 5 2 2 2 2 则 A,B 两点满足方程 x +y +2x-6y+1=0 与 x +y -4x+2y-11=0,将两个方程相 减得 3x-4y+6=0,即为两圆公共弦所在直线的方程. 易知圆 C1 的圆心 C1(-1,3), 半径 r=3, 用点到直线的距离公式可以求得点 C1 到直线的 |-1×3-4×3+6| 9 距离为:d= = . 2 2 5 3 +4 所以利用勾股定理得到|AB|=2 r -d =
2 2

24 24 ,即两圆的公共弦长为 . 5 5

考点探究突破 2 2 2 【例 1-1】A 解析:由题意知 a +b <r ,

r2 所以圆心(0,0)到直线 ax+by-r =0 的距离 d= 2 >r, a +b2
2

即直线与圆相离,无交点. 2 2 【例 1-2】解:圆的方程可化为(x+2) +(y-6) =16,圆心(-2,6),半径长 r=4. 又直线 l 被圆截得的弦长为 4 3, 所以圆心 C 到直线 l 的距离 d= 4 -(2 3) =2. 当直线 l 的斜率不存在时,直线方程为 x=0,此时符合题意; 当直线 l 的斜率存在时,设直线方程为 y-5=kx,即 kx-y+5=0.
2 2

5



|-2k-6+5| 3 =2,得 k= , 2 4 k +1

3 此时 l 的方程为 x-y+5=0,即 3x-4y+20=0. 4 故所求直线方程为 x=0 或 3x-4y+20=0. 【例 2-1】C 解析:依题意,可设圆心坐标为(a,a),半径为 r,其中 r=a>0,因 2 2 2 2 2 2 2 此圆方程是(x-a) +(y-a) =a ,由圆过点(4,1),得(4-a) +(1-a) =a ,即 a -10a+ 2 17=0,则该方程的两根分别是圆心 C1,C2 的横坐标,|C1C2|= 2× 10 -4×17=8. 【例 2-2】解:(1)因为所求的圆过两已知圆的交点, 2 2 2 2 故设此圆的方程为 x +y -4x-3+λ (x +y -4y-3)=0(λ ≠-1,λ ∈R),即(1+ 4x 4λ y 2 2 2 2 λ )(x + y ) - 4x - 4λ y - 3λ - 3 = 0 , 即 x + y - - -3=0,圆心为 1+λ 1+λ ? 2 , 2λ ?. ?1+λ 1+λ ? ? ? 由于圆心在直线 x-y-4=0 上, 2 2λ 1 ∴ - -4=0,解得 λ =- , 1+λ 1+λ 3 2 2 所求圆的方程为 x +y -6x+2y-3=0. (2)将圆 C1 和圆 C2 的方程相减,得 x-y=0,此即相交弦所在直线的方程. 【例 3】(0,-1,0) 解析:设 M(0,y,0), 2 2 2 由 (1-0) +(0-y) +(2-0) 2 2 2 = (1-0) +(-3-y) +(1-0) , 解得 y=-1,即 M(0,-1,0). 演练巩固提升 1.B 解析:圆 O1 的圆心为(-2,0),r1=2, 2 2 圆 O2 的圆心为(2,1),r2=3,|O1O2|= 4 +1 = 17, 因为 r2-r1<|O1O2|<r1+r2, 所以两圆相交. 2 2 2.C 解析:∵圆的方程可化为(x-1) +(y+2) =9, ∴圆心为(1,-2),半径 r=3. 又圆心在直线 2tx-y-2-2t=0 上, ∴圆与直线相交. 2 2 3.2x-y=0 解析:圆的方程可化为(x-1) +(y-2) =1,可知圆心为(1,2),半径为 1. |k-2| |k-2| 设直线方程为 y=kx,则圆心到直线的距离为 d= ,故有 =0,解得 k=2. 2 2 1+k 1+k 故直线方程为 y=2x,即 2x-y=0. 9 4. 解析:根据空间中两点间的距离公式可得: 2 |AB|= (1+1) +(-2+1) +(-3+1) =3, 2 2 2 |BC|= (-1-0) +(-1-0) +(-1+5) =3 2, 2 2 2 |AC|= (1-0) +(-2-0) +(-3+5) =3. 2 2 2 因为 |AB|=|AC|,且|AB| +|AC| =|BC| , 1 1 9 所以△ABC 是以 A 为直角的等腰直角三角形,故其面积 S= |AB|·|AC|= ×3×3= . 2 2 2 7 5. 解析:由题意可知 QA⊥PA,QB⊥PB, 25 故 PA,PB 是圆 Q 的两条切线, 由以上知∠APB=2∠APQ,
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2 2 2

在 Rt△APQ 中, PQ= (4-1)2+(2+2)2=5. AQ=3,∴AP=4. 2 ∴cos∠APB=2cos ∠APQ-1 7 ?4?2 =2×? ? -1= . 25 ?5?

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