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江苏省如东县2013届高三12月四校联考数学(理)


2012

2013 学年度第一学期 高三联考试卷 数学

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.设集合 A ? x y ? log2 ( x ? 2) , B ? x x 2 ? 5x ? 4 ? 0 ,则 A ? B = ▲ . 2.已知复数 z 满足 z ? ?1 ? i ? ? 2 ,其中 i 为虚数单位,则 z ? ▲ .

?

?

?

?

3.已知点 A(?1, ?5) 和向量 a ? (2,4) ,若 AB ? 3a ,则点 B 的坐标为 ▲ . 4.已知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 3) x ? 3, x ? [2a ? 3,4 ? a] 是偶函数,则 a ? b ? 5.已知 x ? R ,那么 x2 ? 1是x ? 1 的 “既不充分又不必要”) 6.为了得到函数 y ? sin( 2 x ? 个单位长度 7.若存在实数 x ? [1, 2] 满足 2 x ? ax ? 2 ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 ▲ .
2

▲ .

▲ 条件(“充要”,“充分不必要”,“必要不充分”

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移 ▲

8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为 ▲ . 9.已知 sin ? x ?

? ?

??

1 ? 5? ? ?? ? ? x ? ? sin 2 ? ? x ?的值为 ? ? ,则 sin ? 6? 4 ? 6 ? ?3 ?

▲ .

10.定义 min?a, b, c? 为 a, b, c 中的最小值,设 f ( x) ? min{ 2x ? 4, x ? 1,5 ? 3x} ,
2

则 f ( x) 的最大值是 ▲ . 11.在直角三角形 ABC 中, AB ? AC , AB ? AC ? 1, BD ? 于 12.若 a ? ▲ .

1 DC , 则 AD ? CD 的值等 2

ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? ,则 a,b,c 的大小关系是 ▲ . 2 3 5

13.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 B ,当 ?FAB 的周长 4 3

最大时, ?FAB 的面积是 ▲ .

? 2 x3 ?1 ? ? x ? 1 , x ? ? 2 ,1? , π ? ? ? 14.已知函数 f ( x ) ? ? 函数 g ( x) ? a sin( x) ? 2a ? 2( a ? 0) , 若存在 6 1 1 1 ? ? ? ? x ? , x ? 0, . ? ? 6 ? 2? ? ? 3

x1 , x2 ? ? 0,1? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是 ▲ .
二.解答题:(本大题共 6 个小题,共 90 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 14 分) 已知 A ? {x | 求: (1) A

1 2x ?1 ? 0} ,B ? {x | x 2 ? ax ? b ? 0} , {| ? x ?3 } 且 A B ?x x?2 2
(2)实数 a ? b 的值.

,A

B ? R,

16. (本小题满分 14 分) 如图,斜三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,侧面 AA1C1C ? 底面 ABC, 侧面 AA1C1C 是菱形, ?A1 AC ? 60 ,E、F 分别是 A1C1 、AB 的中点. 求证: (1)EF∥平面 BB1C1C ; (2)平面 CEF⊥平面 ABC. A1 E B1 C1

A F B

C

17. (本小题满分 14 分) 若 a、b、c 是△ABC 三个内角 A、B、C 所对边,且 a sin A sin B ? b cos2 A ? 3a ,

(1)求

b 3 ; (2)当 cos C ? 时,求 cos( B ? A) 的值。 a 3

18. (本题满分 16 分) 如图,开发商欲对边长为 1km 的正方形 ABCD 地段进行市场开发,拟在该地段的一角 建设一个景观,需要建一条道路 EF (点 E、F 分别在 BC、CD 上) ,根据规划要求

?ECF 的周长为 2km .
(1)设 ?BAE ? ? , ?DAF ? ? ,求证: ? ? ? ?

?
4



A

D

(2)欲使 ?EAF 的面积最小,试确定点 E、F 的位置.

F

B

E

C

19. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C :
2 x2 y 2 ,一条准线 l : x ? 2 . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点, M 是 l 上的点, F 为椭圆 C 的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线 与以 OM 为直径的圆 D 交于 P, Q 两点. ①若 PQ ? 6 ,求圆 D 的方程; ②若 M 是 l 上的动点,求证:点 P 在定圆上,并求该定圆的方程. y Q M

O

F P

x

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? b, g ( x) ? a ln x , (1)若 f ( x) 在 x ? ??

3 ? 1 ? ,1? 上的最大值为 ,求实数 b 的值; 8 ? 2 ?

(2)若对任意 x ? ? 1, e? ,都有 g ( x) ? ? x 2 ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) 在 (1) 的条件下, 设 F ( x) ? ?

? f ?x ?, x ? 1 , 对任意给定的正实数 a , 曲线 y ? F ( x) ? g ?x ?, x ? 1

上是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三 角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?请说明理由。

2012

2013 学年度第一学期 数学附加题

高三联考试卷
21. (本小题满分 10 分)

设函数 f ( x) ? x ln x ? (1 ? x)ln(1 ? x)(0 ? x ? 1) ,求 f ( x) 的最小值;

22. (本小题满分 10 分) 已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5), (1)以向量 AB, AC 为一组邻边的平行四边形的面积 S; (2)若向量 a 分别与向量 AB, AC 垂直,且| a |= 3 ,求向量 a 的坐标.

23. (本小题满分 10 分)
2 2 设 p:实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题 q : 实数 x 满足 ?

2 ? ? x ? x ? 6 ? 0, . 2 x ? 2 x ? 8 ? 0. ? ?

(1)若 a ? 1, 且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

24. (本小题满分 10 分) 在棱长为2的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,E 为棱 AB 的中点,点 P 在平面 A1B1C1D1 , D1P⊥平面 PCE.试求: (1)线段 D1P 的长; (2)直线 DE 与平面 PCE 所成角的正弦值;
D1 P A1 C1

B1

D

C

A E

B

2012------2013 学年度第一学期 高三联考试卷 数学参考答案

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)

? ; 7. (??,5) ; 3 2 3 19 ?1 4? 8. ;10. 2;11. ;12. b>a>c;13. 3 ;14. ? ;9. , ? 9 16 3 ?2 3? ?
1. (1,??) ;2. 1 ? i ;3. (5,7) ;4. 25.必要不充分; 6. 二.解答题:本大题共 6 个小题,共 90 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.解: (1)依题意 A ? ( ??,? 2) (2)由 A

1 ( ,? ?) 2

……………4 分 ……8 分,

B ? R, A B ? {x |

1 ? x ? 3} 得 ∴ B ? {x | ?2 ? x ? 3} 2
9分

即方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的解是 x1 ? ?2,x2 ? 3 于是 a ? ?( x1 ? x2 ) ? ?1 , b ? x1 x2 ? ?6 , ∴ a ? b ? ?7 16.证明: (1)取 BC 中点 M,连结 FM, C1M .

…… 12 分 …… 14 分

在△ABC 中,因为 F,M 分别为 BA,BC 的中点, 所以 FM ∥

1 AC. 2

………………………………2 分

因为 E 为 A1C1 的中点,AC ∥ A1C1 , 所以 FM ∥ EC1 . 所以 EF ∥C1M . 从而四边形 EFMC1 为平行四边形, …………………………………………4 分

又因为 C1M ? 平面 BB1C1C , EF ? 平面 BB1C1C , 所以 EF∥平面 BB1C1C .……………6 分
? AC , (2) 在平面 AA1C1C 内, 作 AO O 为垂足. 1
A1 E B1 C1

因为∠ A1 AC ? 600 ,所以

AO ?

1 1 AA1 ? AC , 2 2

A F

O M B

C

从而 O 为 AC 的中点.……8 分 所以 OC ∥ A1 E , 因而 EC ∥ AO . 1 …………………10 分

因为侧面 AA1C1C ⊥底面 ABC,交线为 AC, AO ? AC ,所以 AO ? 底面 ABC. 1 1 所以 EC ? 底面 ABC. 又因为 EC ? 平面 EFC, 所以平面 CEF⊥平面 ABC.
2

…………………………………………12 分

…………………………………………14 分
2

17.解:由正弦定理得 sin A sin B ? sin B cos A ? 3 sin A 即 sin B(sin 2 A ? cos2 A) ? 3sin A 故 sin B ? 3 sin A ,∴

…………2 分

b ? 3 a

…………7 分

(2)由余弦定理

3 a 2 ? 3a 2 ? c 2 ,得 c ? 2a ? 3 2 3a 2
∴B= 90
0

…………9 分

b2 ? a 2 ? c 2

…………11 分

∴ cos( B ? A) ? sin A ? cos C ?

3 …14 分 3

A

D

18. 解: (1) CE ? x, CF ? y(0 ? x ? 1,0 ? y ? 1) , 则 tan ? ? 1 ? x, tan ? ? 1 ? y , 由已知得: x ? y ?
F

x2 ? y 2 ? 2 ,

B

E

C

即 2( x ? y) ? xy ? 2 …………………………4 分

tan(? ? ? ) ?
0 ?? ? ? ?

tan ? ? tan ? 1? x ?1? y 2 ? ( x ? y) 2 ? ( x ? y) ? ? ? ?1 1 ? tan ? tan ? 1 ? (1 ? x)(1 ? y) x ? y ? xy x ? y ? [2 ? 2( x ? y)]
,?? ? ? ?

?
2

?
4



…………………………8 分

(2)由(1)知, S?AEF ?

1 2 2 1 1 2 1 AE ? AF sin ?EAF ? AE ? AF ? ? ? ? ? 2 4 4 cos ? cos ? 4 cos ? cos ?

1 1 1 1 = 2? ? ? ? 2 4 cos ? cos( ? ? ? ) 2 cos ? (sin ? ? cos ? ) sin 2? ? 2 cos ? sin 2? ? cos 2? ? 1 4

=

1

2 sin(2? ? ) ? 1 4 ? ? ? ? 0 ? ? ? ,? 2? ? ? ,即 ? ? 时 ?AEF 的面积最小,最小面积为 2 ? 1 . 4 4 2 8 ? 2 tan ? 8 ,? tan ? ? 2 ? 1,故此时 BE ? DF ? 2 ?1 …………14 分 tan ? 4 1 ? tan 2 ? 8 8
所以,当 BE ? DF ? 2 ?1 时, ?AEF 的面积最小.………………………………16 分
?c 2 ? ? ?a ? 2 ? 2 ,? ? 19. 解: (1)由题设: ? a ,? b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , ? 2 ? ? c ?1 ? a ?2 ? ? c
? 椭圆 C 的方程为:

?



………………………12 分

x2 ? y2 ? 1 2

………………………… 4 分

(2)①由(1)知: F (1,0) ,设 M (2, t ) ,

t t2 则圆 D 的方程: ( x ? 1)2 ? ( y ? )2 ? 1 ? , 2 4
直线 PQ 的方程: 2 x ? ty ? 2 ? 0 ,
2? t2 ?2 2
2

………………………… 6 分 ………………………… 8 分

? PQ ? 6 ,? 2 (1 ?
? t 2 ? 4 ,? t ? ?2

t )?( 4

2

4?t

)2 ? 6 ,

………………………… 10 分

? 圆 D 的方程: ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 或 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

…………… 12 分

②解法(一) :设 P( x0 , y0 ) ,
? t 2 t2 2 ? ( x0 ? 1) ? ( y0 ? ) ? 1 ? 由①知: ? 2 4 , ? 2 x ? ty ? 2 ? 0 0 ? 0

? x 2 ? y02 ? 2 x0 ? ty0 ? 0 ? 即: ? 0 , ? ? 2 x0 ? ty0 ? 2 ? 0
消去 t 得: x02 ? y02 =2
? 点 P 在定圆 x2 ? y 2 =2 上.

………………………… 14 分

………………………… 16 分

解法(二) :设 P( x0 , y0 ) ,

则直线 FP 的斜率为 k FP ?

y0 , x0 ? 1

∵FP⊥OM,∴直线 OM 的斜率为 kOM ? ?

x0 ? 1 , y0

∴直线 OM 的方程为: y ? ?

x0 ? 1 x, y0
…………………………14 分

点 M 的坐标为 M (2, ?

2( x0 ?1) ) . y0

∵MP⊥OP,∴ OP ? MP ? 0 , ∴ x0 ( x0 ? 2) ? y0 [ y0 ?
2( x0 ? 1) ]?0 y?

∴ x02 ? y02 =2,? 点 P 在定圆 x2 ? y 2 =2 上.

…………………………16 分

20.解: (1)由 f ? x ? ? ? x3 ? x2 ? b ,得 f ? ? x ? ? ?3x2 ? 2x ? ? x ? 3x ? 2? , 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 0 或 列表如下:

2 . 3

x
f ?? x?
f ? x?

?

1 2

? 1 ? ? ? ,0 ? ? 2 ?
?

0 0 极小值

? 2? ? 0, ? ? 3?

2 3
0 极大值

?2 ? ? ,1 ? ?3 ?
?

?

1 f (? ) 2

1 3 2 4 1 2 由 f (? ) ? ? b , f ( ) ? ? b , ? f (? ) ? f ( ) , 2 8 3 27 2 3 1 3 3 即最大值为 f (? ) ? ? b ? ,? b ? 0 . 2 8 8
………………………………5 分

(2)由 g ? x ? ? ?x 2 ? ?a ? 2? x ,得 ? x ? ln x ? a ? x2 ? 2x .
x ? ?1, e? ,? ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时取,? ln x ? x,即x ? ln x ? 0 ,

?a ?

x2 ? 2 x x2 ? 2 x 恒成立,即 a ? ( )min . x ? ln x x ? ln x

………………………………7 分

令 t ? x? ?

? x ? 1?? x ? 2 ? ln x ? x2 ? 2 x , , x ??1, e?? ,求导得, t? ? x ? ? 2 x ? ln x ? x ? ln x ?

当 x ??1, e? 时, x ? 1 ? 0,ln x ? 1, x ? 2 ? ln x ? 0 ,从而 t? ? x ? ? 0 ,

?t ? x ? 在 ?1, e? 上为增函数,?tmin ? x ? ? t ?1? ? ?1 ,? a ? ?1 . …………………10 分
?? x3 ? x 2 , x ? 1 (3)由条件, F ? x ? ? ? , ?a ln x, x ? 1

假设曲线 y ? F ? x ? 上存在两点 P, Q 满足题意,则 P, Q 只能在 y 轴两侧, 不妨设 P ?t, F ?t ?? ?t ? 0? ,则 Q ?t, t 3 ? t 2 ,且 t ? 1 .
?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,

?

?

?OP ? OQ ? 0 ,??t 2 ? f ?t ? t 3 ? t 2 ? 0

?

?

?*? ,
…………………12 分

是否存在 P, Q 等价于方程 ?*? 在 t ? 0 且 t ? 1 时是否有解.

①若 0 ? t ? 1 时,方程 ?*? 为 ?t 2 ? ?t 3 ? t 2 t 3 ? t 2 ? 0 ,化简得 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 , 此方程无解; ②若 t ? 1 时, ?*? 方程为 ?t 2 ? a ln t ? t 3 ? t 2 ? 0 ,即

?

??

?

?

?

1 ? ? t ? 1? ln t , a

1 设 h ? t ? ? ? t ? 1? ln t ? t ? 1? ,则 h? ? t ? ? ln t ? ? 1 , t
显然,当 t ? 1 时, h? ? t ? ? 0 ,即 h ? t ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数,
? h ? t ? 的值域为 ? h ?1? , ??? ,即 ? 0, ?? ? ,

? 当 a ? 0 时,方程 ?*? 总有解. ? 对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x ? 上总存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O
为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴 上.………………16 分

2012------2013 学年度第一学期 高三联考数学试卷附加题
21.解:对函数 f ( x) 求导数: f ?( x) ? ( x ln x)? ? [(1 ? x) ln(1 ? x)]?
? ln x ? ln(1 ? x).

-------------------------- 4 分 -------------------------- 6 分

于是 f ?( ) ? 0.

1 2

1 1 当 x ? , f ?( x) ? ln x ? ln(1 ? x) ? 0, f ( x) 在区间 (0, ) 是减函数, 2 2

1 1 当 x ? , f ?( x) ? ln x ? ln(1 ? x) ? 0, f ( x) 在区间 ( ,1) 是增函数. 2 2
所以 f ( x)在x ?

1 1 时取得最小值, f ( ) ? ?1 , 2 2

-------- 10 分

22.解⑴? AB ? (?2,?1,3), AC ? (1,?3,2),? cos ?BAC ? ∴∠BAC=60° ,? S ?| AB || AC | sin 60? ? 7 3 ⑵设 a =(x,y,z),则 a ? AB ? ?2x ? y ? 3z ? 0,

AB ? AC | AB || AC |

?

1 ---3 分 2

------ 5 分

a ? AC ? x ? 3y ? 2z ? 0, | a |? 3 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3
解得 x=y=z=1 或 x=y=z=-1, ∴ a =(1,1,1)或 a =(-1,-1,- 1). 23.解: 由 x ? 4ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ,
2 2

----8 分

--------10 分

又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a ,

…………………………………2 分

(1)当 a ? 1 时,1< x ? 3 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1< x ? 3 . 由?
2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 ,得 2 ? x ? 3 ,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . 2 x ? 2 x ? 8 ? 0 ? ?

若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . ……6 分 (2) ? p 是 ? q 的充分不必要条件,即 ? p ? ? q ,且 ? q 设 A= {x | ?p} ,B= {x | ?q} ,则 A

? ? ?p ,

B,

又 A= {x | ?p} = {x | x ? a或x ? 3a} , B= {x | ?q} = {x ? 2或x ? 3 }, 则0< a ? 2 ,且 3a ? 3 所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 .
0, 2) , 24.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D1 (0 ,
E (2 ,, 1 0) , C (0 , 2, 0) .
D1 P

……………10分
C1



P( x , y, 2)





D1 ? P ( , , x 0 ,y )

A1

B1

EP ? ( x ? 2 , y ? 1, 2) , EC ? (?2 ,, 1 0) .
…………………………2 分
D C

因为 D1 P ? 平面 PCE ,所以 D1 P ? EP ,
A E B

D1 P ? EC ,所以 D1 P EP ? 0 , D1 P EC ? 0 ,

4 ? x? , ? ? x( x ? 2) ? y ( y ? 1) ? 0, ? x ? 0, ? 5 故? 解得 ? (舍去)或 ? … 4分 ? 2 x ? y ? 0 . y ? 0 . ? ? ?y ? 8 . ? 5 ?

即 P(

16 64 4 5 4 8 4 8 ? ? .………………6 分 , , 2) , 所以 D1 P ? ( , , 0) ,所以 D1 P ? 25 25 5 5 5 5 5

4 8 ⑵由⑴知, 设 DE 与平面 PEC 所成角为 ? , D1 P DE ? (2,1,0), D1P ? ( , ,0), D1P ? 平面 PEC , 5 5
D P ? DE ? 与 DE 所成角为 ? ,则 sin ? ? cos ? ? 1 D1 P DE 16 5 5? 80 25 ? 4 5

所以直线 DE 与平面 PEC 所成角的正弦值为

4 . ………………………………………10 分 5


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